潮汐現(xiàn)象的力學(xué)分析

1、潮汐現(xiàn)象的力學(xué)分析地球上的海洋周期性的漲落稱為海洋潮汐。我國自古有“晝漲稱潮，夜?jié)q稱汐”的說法川。在公元前 2 世紀(jì)已記載月望（滿月）之日可以看到十分壯觀的海潮（枚乘：七發(fā)140 B.C）,東漢王充在 論衡中已寫道“濤之起也，隨月盛衰，大小，滿損不齊同”指出潮汐與月球的關(guān)系，其后更有余 靖、張君房、燕肅、沈括、郭守敬等人關(guān)于潮汐觀測得到相當(dāng)精確的結(jié)果，李約竜（JosephNeeham.19001995多余歐洲的。古人稱白天為“朝”，晚上為“夕”，所以以海洋潮汐為例，白天海水上漲為“潮”，晚上海水上漲為“汐”。 潮汐隨之有兩次跌落”。這一注解容易使人誤認(rèn)為海水的潮汐就是一晝夜的兩漲兩落現(xiàn) 象。事

2、實(shí)上潮汐有多種，就海洋潮汐而言，就有根據(jù)太陽、月亮、地球排列位置分的“大潮”和“小潮”；根 據(jù)月球與地球距離分的“近地潮”和“遠(yuǎn)地潮”； 根據(jù)引潮力方向分“順潮”和“關(guān)于潮”等。以一晝夜高、低潮 出現(xiàn)的次數(shù)不同又可分為以下幾類：半日潮：是指一晝夜內(nèi)出現(xiàn)兩次高潮和兩次低潮。全日潮：是指一晝夜內(nèi)只有一次高潮和一次低潮?；旌铣保菏侵敢粋€月內(nèi)有些日子出現(xiàn)兩次高潮和兩次低潮.有些日子出現(xiàn)一次高潮和一次低潮。所以潮汐現(xiàn)象不僅僅是一晝夜中海水的兩漲兩落現(xiàn)象。下面以海水的半日潮為例分析其形成進(jìn)程 及物理本質(zhì)。潮汐現(xiàn)象的力學(xué)分析引潮力產(chǎn)生的分析月球關(guān)于海水的引力是造成潮汐的主要原因，太陽的引力也起一定的作用。潮

3、汐現(xiàn)象的特點(diǎn)（半日 潮）是每晝夜有兩次高潮。所以，在同一時刻，圍繞地球的海平面總有兩個突起部分，在理想的情況 下它們訣別出現(xiàn)在地表離月球最近和最遠(yuǎn)的地方。如果僅把潮汐看成是月球引力造成的，那么在離月 球最近的地方海水隆起，是可以理解的。為什么離月球最遠(yuǎn)的地方海水也隆起呢？如果說潮汐是萬有 引力引起的，潮汐力在大小就應(yīng)該與質(zhì)量成正比，與距離平方成反比。太陽的質(zhì)雖比月球大2.7xlO7 倍，而太陽到地球距離的平方只比月球的大 1.5xlO5 倍，兩者相除，似乎太陽關(guān)于海水的引力比月球1/11還應(yīng)該大 180 倍，為什么實(shí)際上月球關(guān)于潮汐起主要作用？受到的重力和慣性力“精確”抵消，從廣義相關(guān)于論的觀

4、點(diǎn)看，牛 頓力學(xué)所謂“真實(shí)的引力”和“因加速度產(chǎn)生的慣性力”是等價的，實(shí)際中無法區(qū) 分。但這種等價性在大尺度范圍內(nèi)就不再是“精確的”了，如果那個“太空工作 站”足夠大，當(dāng)其中引力場的不均勻性不能忽略時，慣性力就不能把引力完全 抵消了。如圖15在中央.即系統(tǒng)BC的左右，。和已訣別在C的上下?？紤]到引力是遵從平方反比律且圈1指向地心的，與中央質(zhì)點(diǎn) C 所受的引力相比，A 和 B 受到的引力略向中間偏斜，。因離地心 稍遠(yuǎn)而受力稍小，E 因離地心稍近而受力稍大。由于整個參考系是以質(zhì)心C 的 加速度運(yùn)動的，其中的慣性力只把C 點(diǎn)所受的引力精確抵消，它2 B C、 E CC 處有個較大的 水珠的話，嚴(yán)格地

5、說它也不是球形，而是沿上下拉長了橢球。圖32/11圖4把地球當(dāng)做一個關(guān)于象，其中引力不均勻性造成的應(yīng)是很大的。地球表面 70 %的面積為海水所覆 蓋，地球自轉(zhuǎn)造成的慣海水形成的一個巨大的水滴。如果沒有外部引力的不均 勻性，這個大水滴將精確地呈球形?，F(xiàn)在考慮月球引力的影響。如圖3 所示，在地心參考系中各地海水所受月球的有效引力是“真實(shí)的引力和地心的離心加速度造成的“慣性離心力”之和。這有效引力的分 布就像圖4 所示那樣，把海水沿地月聯(lián)線方向拉長為一個橢球。這就是為什么在地球相關(guān)于位置會同時現(xiàn)潮汐，使得每天有兩次潮，而不是一次的原因。引潮力的計算3 C C，訣別是地球和月球的質(zhì)心,O 是它們共通的

6、 質(zhì)心，P Am IP|地面上一點(diǎn)到月球質(zhì)心的距離，地 面上一點(diǎn)到地心的距離網(wǎng)=莎|。Am的海水受月球的吸引力為”2 y ”3=叱（i-2-i）任何質(zhì)心在地心參考系內(nèi)所受的慣性力，等于把它放在地心處所受引力的負(fù)值,因此地球上一切物體受到的慣性力為(122 )/和焉合成為引力幾扁=/ + 爲(wèi)=GSM,”(1-2-3 )由圖可以看出：/ =1 r-/? 1= ylr2 + R2-2rRcos0 ,故Lt(呂(1-2-4 )取直角坐標(biāo)的 X 軸沿 cc，y 軸與之垂直，如圖 3 所示，則3/11（r= r-Rcos0 ,（戸一R）=-Rsin8(1-2-5 )1-cos 匚 1。2R a R2(1r

7、cosG + r-)-r1一蘭 COS0竺 COS&-11rr(/潮)y圖 32G4帆RcosOGSinMm7? 4/11(1-2-6 )(1-2-7 )圖 4在以上兩式中/?實(shí)為地球的半徑&，實(shí)為地月距離幾，歸納以上結(jié)果，我們得到引潮力公式的分量形式如下/、2GSmM仏)廣cose(/潮),=-學(xué)sine(1-2-8 )(129 )引潮力在地表上的分布如圖 4 ,在&=0 和龍?zhí)帲措x月球最近和最遠(yuǎn)處）是背離地心的，在這些地方形成海水的高峰；在 0=/2 處指向地心，形成海水低谷。隨著地球的自轉(zhuǎn)，一晝夜之間有兩個高 峰和兩個低谷掃過每個地方,形成兩次高潮和兩次低潮。上式同樣也適用于太陽，只是

8、其中的 M 九和匚應(yīng)訣別代之以太陽的質(zhì)星和日地距離 z;,經(jīng)替代后可得/ 。、 2GSM、仏）廣嚴(yán)(1-2-10 )仏)廣.3sm 0(1-2-11 )經(jīng)過上述推導(dǎo)表明引潮力與質(zhì)量成正比，與距離的立方成反比，故月潮和日潮大小之比為(Al)”心) =伊1 s m_ 7.35x1 ()22 檢(1.50 x10 映? 丫一 l99xl0“kgl 3.84x10蚣丿= 2.20這個結(jié)果說明，不管地球上太陽的引力比月球的大 180 兩倍,這就解釋了為什么月球而不是太陽關(guān)于潮汐起著主要作用。其原因也可以認(rèn)為是：潮汐力與引力場的當(dāng)大，而關(guān)于相距甚遠(yuǎn)的太陽的場則近乎不變（變化小的多）。假如橫過地球時場的變化

9、為零,那么不管此場多強(qiáng)，也不會產(chǎn)生潮汐現(xiàn)象。月球地球圖 5 (b)5/11圖 5 (a)日月引潮力的效果是線性疊加的，合成的結(jié)果與日、月的相關(guān)于方位有關(guān)。在朔日和望日，月球、 太陽和地球簡直在同一直線上（如圖 5a）,太陰潮和太陽潮彼此相加，就形成每月的兩次大潮。上弦月 和下弦月時月球和太陽的黃經(jīng)相距 90（如圖 5b）,太陰潮被太陽潮抵消了一部分，就形成每月里的小 潮叫潮汐漲落公式的推導(dǎo)經(jīng)過上面的力學(xué)推導(dǎo)，我們知道在引潮力的作用下海平面可以周期性的漲落，那么海平面到底可 以升高多少呢？我們可以利用牛頓力學(xué)來推導(dǎo)，也可以利用等勢面的方法來推導(dǎo)。下面首先利用牛頓設(shè)計的一種方法來計算潮汐漲落的高度

10、。牛頓推導(dǎo)何如圖 6 所示，設(shè)想在地球內(nèi)疋和 y 方向訣別挖一個豎井直達(dá)地心 相通。二井深度訣別為加和心，截面積為$ ,井內(nèi)充滿水。先計算井普中的水在地心處產(chǎn)生的壓強(qiáng)竹。以。表示水的密度， 視為常數(shù)。一段內(nèi)水的質(zhì)屋為（加7 =，它受地球的引力為g（r）r 處的重力加速度。此處潮汐力可利用引潮力公式表示，只是用廠取代其中的 R,。由此可得也一段水產(chǎn)生的壓強(qiáng)=pg(r)rs_jG*JpMs/匕=P 鞏廠）(1-3-1 )將此式關(guān)于整個井深仏積分，可得勺井底的壓強(qiáng)同樣的道理得出心井底的壓強(qiáng)rrPi卩； +r竺廠L6/11(1-3-2 )(1-3-3 )在穩(wěn)定情況下門=卩 3，即fg(J-2GM”+

11、%mr r=r g(crm移項(xiàng)可得fg（必g （弓仏+J：斗#rr(1-3-4 )皿此式在左側(cè)積分可合并且為 f g（訕。由于勺和仏都和地球半徑心相差不多，g（ 就可取地球表面皿的重力加速度值（ /） = 卑。這樣R；g=(S(&)=響r其中兒=hf 可視為潮高。上式右側(cè)可取h=h.=Re而合并且為r由此可給出GMe f 3GMlv.而潮高(1-3-5 )將 M 加=7.35x10% f rm =3.8xl05bn, Me =5.98xl024 , =6.4x10 嘆加代入上式，可得到 月球引起的潮汐太陰潮之高：/匕=0.56 加上述分析同樣可以用來分析太陽在地球上引起的潮汐一一太陽潮。與上式

12、類似，太陽潮高為：(1-3-6)將太陽的質(zhì)量 M、= 1.99x10 猟 g ,它到地心的距離/ = 1.5x10%“代入上式，可得A/?v = 0.25/n實(shí)際上潮高為久和乞 的矢量疊加。在朔日和望日月球、太陽和地球簡直在同一直線上，太陽r潮和太陰潮相加形成大潮，高潮可達(dá)到 0.81/no 在上弦月或下弦月時，月球和地球的方位垂直，二者 相消一部分,形成小潮，潮高為 0.31/7/0 （如圖 5 ）個月內(nèi)大潮和小潮個出現(xiàn)兩次。和實(shí)際觀測相 比以上潮高的計算值偏小，該計算值約適用于開擴(kuò)的洋面。7/11利用等勢面推導(dǎo)海水受到來自月球的引潮力的作用，致使海水發(fā)生全球范圍的大變化，損壞了原來的平衡狀

13、態(tài)， 于是壓強(qiáng)大的海水?dāng)D向壓強(qiáng)小的海水，使的這部分海水凸出來了，直到海面的壓強(qiáng)相等達(dá)到新的平衡 為止，我們知道平衡液面是等勢面，根據(jù)這一原理我們討論潮汐的漲落的漲落公式。如圖 3,在地心參照系中，考察某點(diǎn)”處的海水，除了月球的引力勢能叫及地球本身的引力勢能 匕外,因慣性力是恒力，可以認(rèn)為是關(guān)于位置的函數(shù),故引入一個慣性場力的等勢能。具體地說,首先月球關(guān)于點(diǎn)引力的關(guān)于應(yīng)勢為K=G+qR1- 2 cos0 +L rR2+l2-cos+=_GR R?1+cos+y(3cos2 0-1)+q其次，地球關(guān)于p點(diǎn)引力關(guān)于應(yīng)的勢能為匕叫,設(shè)/?=心+九其中力為P點(diǎn)到平均海平面的高度，尺為平均海平面到地心的距

14、離，即地心半徑。因?yàn)閯tP點(diǎn)的引力勢能匕可近似等于重力 勢能，即V2 = mgh +c2GSmMcR2最后，海平面上一點(diǎn) P 受到慣性場力的關(guān)于應(yīng)等效勢能匕為21GMlM 小(1-3-8 )匕=RCOS&+C3(1-3-9 )故當(dāng)海面處于平衡狀態(tài)時，根據(jù)平衡液面是等勢面的理論有常數(shù)）(1-3-10 )R21 + COS 0 + 7(3cos2 & -1) +c+塔叫+ 纟叫論 + K ；r8/11-G h =c，RRe = 0 ,因此(1-3-11 )利用（1-3-11 ）可以在勺，平面上描出一條閉合曲線，其形狀正好是起潮時的海面的形狀。將1/81. &1/60. 00 90 代入上式可得/?=

15、0.57 加（升），/?0?（降）關(guān)于比兩種推導(dǎo)方法的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)相當(dāng)接近,從而表明他們理論上的可罪性。引力就形成一關(guān)于大小不等的力，近的一頭比遠(yuǎn)的一頭稍大，且由于大的力片與 AB 垂線的夾角比小的 力八與 AB 垂線的夾角小，所以合起來就形成一個阻止地球自轉(zhuǎn)的力矩。潮汐的這種制動作用一點(diǎn)點(diǎn) 地減緩著地球的自轉(zhuǎn)。3 400 365（1/4）造成的。不要以為引 潮力是引力場的高階效應(yīng)，作用不會太強(qiáng)烈。天文上有許多伴星圍繞主星運(yùn)行，若伴星的軌道小到某一臨界半徑之內(nèi)，它就會被主星的引潮力撕成碎片。下面我們來計算這一臨界半徑。M R pF密度為/o8x 軸沿兩星的中心9/11聯(lián)線，原點(diǎn)在伴星的中心

16、o。撕裂伴星的力有二：主星給它的引潮力和它自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力:團(tuán)結(jié) 伴星的力有二：伴星自身的引力和化學(xué)接合力。比起自身引力化學(xué)接合力往往可以忽略。下面我們只 考慮三個力：引潮力、慣心離心力、伴星自身引力心）。撕裂總是首先沿 X 方向進(jìn)行的，關(guān)于于伴星的一個質(zhì)元 A/ H = pAV，三個力沿 x 的分量為必嚴(yán)斗翼止匕（2-1）引潮力慣性離心力( 2-2 )伴星自身引力伴星被撕裂的條件是三力之和大于 01,|(2-3)(2-4)等號關(guān)于應(yīng)著臨界狀態(tài)。如果伴星做同步自轉(zhuǎn)，則自轉(zhuǎn)角速度等于公轉(zhuǎn)角速度。按開普勒定律，有則上式化為或都用密度表示，有4兀GpR、4/rG/； n 0因此解出臨界條件為均密

17、度）關(guān)于于地月系統(tǒng)pe/pm= 1.44/?經(jīng)過計算可以得出臨界半徑為：/=（其中 Q 為主星平均密度；為伴星平=5/3 ,從而月球被地球引潮力撕碎的臨界距離為 （門”=必（3 久/“”）=1.7 心。可見，一旦月球向地球撞來，在它未與地面接觸之前已被引潮力 撕得粉碎。月球撞擊地球！簡直是不可能的設(shè)想的。不過太陽系中從火星到木星之間有幾十萬個1300 多個彗星撞擊地球的可能性更鮮明。早在導(dǎo)出（2-5 ）式之前，洛希就推出了流體星的撕裂條件10/11=R3ps 丿=2.45539/?匕(2-6)這就是洛希極限。土星環(huán)平均半徑 r 與土星半徑 R 之比為 2.31 ,就土星來說，若土星環(huán)中的顆粒物

18、質(zhì)與土星本身的密度相等，則這距離已在臨界距離之內(nèi)，環(huán)中物質(zhì)應(yīng)解體不能形成一個整的橢球形衛(wèi) 星，所以它就一直以塵粒狀伴隨在土星周圍形成土星光環(huán)。1994 7 9 號彗星撞擊9 1992 7 月進(jìn)入臨界距離后被撕碎。哈勃空間望遠(yuǎn)鏡確也觀測A、B、C、. U、V、W 20 P、Q P 的一塊碎片又分裂為兩片叫3 總結(jié)綜上所述，在牛頓力學(xué)中，引潮力是在非慣性參考系中引力與慣性力疊加的必然結(jié)果，從更為本 質(zhì)的意義上來說，按廣義相關(guān)于論的觀點(diǎn)，引潮力則是時空彎曲的反映 I。以上分析是在地球表面全部被海水所覆蓋的情況下進(jìn)行的，實(shí)際上，由于地月的相關(guān)于運(yùn)動，再加 上海岸線形狀、海陸分布、海洋深度等各種因素的影響，潮汐也隨之呈現(xiàn)出豐富多姿的自然景觀。潮汐現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，海洋潮汐的分析、計算及預(yù)報關(guān)于沿海農(nóng)田水利、港灣業(yè)、捕撈、鹽業(yè) 等建設(shè)及潮汐能利用都有很重要的作用。隨著其它能源的減少，開發(fā)潮汐能已經(jīng)引起了人們的重視， 巨大的潮汐能如太陽能一樣，正等待人們?nèi)ラ_發(fā)。我國海岸線很長，入海河道眾多，蘊(yùn)藏著巨大的潮 汐能源。研究潮汐現(xiàn)象同時關(guān)于我們觀察和研究天體間相互接近時的運(yùn)動規(guī)律也是大有幫助