余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃同步練習(xí)

1、余弦定理教師：郭慶友語言表達(dá)三角形中任何一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)1、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，c2a2b22abcosC余弦定理證明如上圖所示，ABC，在c上做高，依據(jù)射影定理，可獲得：將等式同乘以c獲得：運(yùn)用相同的方式能夠獲得：將兩式相加：向量證明b2c2a2a2c2b2a2b2c22、余弦定理的推論：cos2bc，cos2ac，cosC2ab3、設(shè)a、b、c是C的角、C的對(duì)邊，則：若a2b2c2，則C90o；若a2b2c2，則C90o；若a2b2c2，則C90o注：此法能夠進(jìn)行三角形形狀的判斷：

2、主要判斷最大角的余弦值的正負(fù)號(hào)，若最大角的余弦值為負(fù)數(shù)，也即最大角為鈍角，所以此三角形為鈍角三角形；若最大角的余弦值為0，也即最大角為直角，所以此三角形為直角三角形；若最大角的余弦值為正數(shù)，也即最大角為銳角，所以此三角形為銳角三角形；4、余弦定理的合用范圍余弦定理是揭露三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決兩類問題：已知三角形兩邊及夾角求第三邊；是已知三個(gè)邊求角的問題.若對(duì)余弦定理加以變形并合適移于其余知識(shí)，則使用起來更為方便、靈巧。注：在兩邊一對(duì)角的三角問題中，也能夠運(yùn)用余弦定理方便快捷的求出第三邊；余弦定理的應(yīng)用要比正弦定理范圍寬泛。直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余

3、弦值例題：1在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A；分析：（1）b2a2c22accosB=(23)2(62)2223(62)COS450=12(62)243(31)=8b22.已知ABC中，abc26(31)，求ABC求A能夠利用余弦定理，也能夠利用正弦定理：各角的度數(shù)解法一：cosAb2c2a2(22)2(62)2(23)21,2bc222(62)20A60.解法二：sinAasinB23sin450,b22又622.41.43.8,2321.83.6,ac，即00A900,0A60.例2：思路點(diǎn)撥：由題目可獲得以下主要信息：已知三邊比率；1在ABC中，已知a26，b623，c

4、43，求三角形的三內(nèi)角求角A，B，C.分析：解答本題可應(yīng)用余弦定理求出三個(gè)角在ABC中，由余弦定理得，cosCa2b2c226262324322ab22662331242312.22C45，sinC2.題后感悟本題為“已知三邊，求三角形的三個(gè)角”種類問題，基本解法是先利用余弦定解題過程abc26(31)，理的推論求一個(gè)角的余弦，再判斷此角的取值，求得第一個(gè)角，再用正弦定理求出另一個(gè)角，令a2k，b6k，c(31)k.最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角(一般地，先求最小角，再求最大角)由余弦定理，有cosAb2c2a2631242，2bc26312A45.cosBa2c2b24312612ac

5、22，231B60.C180AB180456075.262由正弦定理得：sinAasinC21c43.2例3：ac，AC，A30.B180(AC)180(3045)105.已知：在ABC中，b3，c3，B30，解此三角形解題過程方法一：由余弦定理：b2a2c22accosB得(3)2a2322a3cos30a233a60a3或a23當(dāng)a3時(shí)，b3，A30，C120.當(dāng)a23時(shí)，由正弦定理sinAasinB23sin301.b3A90，C60.方法二：由bcsin30本題有兩解知331由正弦定理，得sinCcsinB23b32C60或120.當(dāng)C60時(shí)，A90由勾股定理ab2c223.當(dāng)C120

6、時(shí)，A30，ABC為等腰三角形a3.題后感悟可比較兩種方法，從中領(lǐng)會(huì)各自的長處，三角形中已知兩邊及一角，有兩種解法，進(jìn)而探索出合適自己思想的解題規(guī)律和方法方法一利用余弦定理列出對(duì)于a的等量關(guān)系成立方程，運(yùn)用解方程的方法求出a邊的長，這樣可免除判斷棄取的麻煩方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊2若將題中條件改為“b3，c2，A30”，應(yīng)怎樣求解三角形分析：直接運(yùn)用余弦定理：a2b2c22bccosA32(23)22323cos303，進(jìn)而a3，22222261，cosBacb32332ac2323122B60，C180AB180306090.3在ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的三邊長分別為a，b

7、，c，若a23，b6，A45，求邊長c.分析：方法一：在ABC中，依據(jù)余弦定理可得a2b2c22bccosA，即c223c60，所以c33.由于c0，所以c33.方法二：在ABC中，由正弦定理得sinBbsinAa26212，由于ba，所以B30，C105，sinCsin10532sin(4560)sin45cos60cos45sin6062，4262asinC34則csinA233.2考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀例5：在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀思路點(diǎn)撥：由題目可獲得以下主要信息：邊角之間的關(guān)系：b2sin2Cc2sin2B2bccosBc

8、osC；確立三角形的形狀解答本題先由正弦定理將邊轉(zhuǎn)變?yōu)榻牵笥扇呛愕仁竭M(jìn)行化簡(jiǎn)，得出結(jié)論；也可先由余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變成邊之間的關(guān)系，而后由邊的關(guān)系確定三角形形狀方法二：將已知等式變形為b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC，2分222a2b2c222a2c2b22()即有bcb2ab)c2aca2c2b2a2b2c22bc2ac2ab，4分22a2b2c2a2c2b22即bc4a24a44a2a2，即b2c2a2，10分ABC為直角三角形.12分abc規(guī)范作答方法一：由sinAsinBsinC2R，則條件轉(zhuǎn)變?yōu)?R2sin2Csin2B4R2sin2Cs

9、in2B8R2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC，6分即cos(BC)0.8分又0BCba且ABC為鈍角三角形，C為鈍角另一個(gè)角，最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角由余弦定理得cosCa2b2c224k122abk2kk20.要解三角形，一定已知三角形的一邊的長若已知條件中一條邊的長也不給出，k24k120，解得2k0，故由知0kba且ABC為鈍角三角形，C為鈍角a2b2c2k24k12由余弦定理得cosC2kk20，2abk24k120，解得2kk4，k2，【錯(cuò)因】忽視隱含條件k(k2)k4，即k2，由可知2k0.余弦定理同步練習(xí)一、選擇題1在ABC中，a2c2b2ab，則角為（）300600450或13501200在ABC中，已知46，cosB6，邊上的中線5，則sin36的值為（）7070701017121414在ABC中，若(abc)(bca)3bc，并有sinAsinBco