3.1.4《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示-》

1、3.1.4空間向量的正交 分解及其坐標(biāo)表示 如圖，設(shè)i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量p= ,設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)P在i,j所確定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在 ,k所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數(shù)對(duì)(x,y)，使得. xi+yj從而 zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：xyzkijQPO如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，對(duì)空間任一個(gè)向量p，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得p=xi+yj+zk.我們稱xi,yj,zk為向量p在i,j,k上的分向量。都叫做基向量叫做空間的

2、一個(gè)基底 單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用 表示 正交基底：空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直。二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底 ,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別 以 的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸,這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示xyzOijkP記作 =(x,y,z)由空間向量基本定理，對(duì)于空間任一向量 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使 PP1已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，

3、b2aC .a,2b，bc Dc，ac，acCDBCBADAEFxyz練習(xí) 2BANCOMQP例2、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)。用向量 表示 和 。3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.距離公式（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。二、距離與夾角2.兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng) 時(shí)，同向；（2）當(dāng) 時(shí)，反向；（3）當(dāng) 時(shí)，。思考：當(dāng) 及 時(shí)，夾角在什么范圍內(nèi)？在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則（3）空間兩點(diǎn)間的距離公式4.設(shè)則 ， AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 例1.設(shè) (1,5，1)， (2,3,5)(1)若( )( 3 )，求 ；(2)若( )( 3 )，求 .練習(xí)1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分別是 的中點(diǎn),并且 ,求證:證明: 分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)