3.1.4《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示-》_第1頁(yè)
3.1.4《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示-》_第2頁(yè)
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1、3.1.4空間向量的正交 分解及其坐標(biāo)表示 如圖,設(shè)i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,且有公共起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量p= ,設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)P在i,j所確定的平面上的正投影,由平面基本定理可知,在 ,k所確定的平面上,存在實(shí)數(shù)z,使得而在i,j所確定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序之前數(shù)對(duì)(x,y),使得. xi+yj從而 zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理:xyzkijQPO如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,對(duì)空間任一個(gè)向量p,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得p=xi+yj+zk.我們稱xi,yj,zk為向量p在i,j,k上的分向量。都叫做基向量叫做空間的

2、一個(gè)基底 單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直,且長(zhǎng)都為1,則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用 表示 正交基底:空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直。二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底 ,以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別 以 的正方向建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示xyzOijkP記作 =(x,y,z)由空間向量基本定理,對(duì)于空間任一向量 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使 PP1已知a,b,c是不共面的三個(gè)向量,則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是()A.2a,ab,a2bB2b,ba,

3、b2aC .a,2b,bc Dc,ac,acCDBCBADAEFxyz練習(xí) 2BANCOMQP例2、如圖,M,N分別是四面體OABC的邊OA,BC的中點(diǎn),P,Q是MN的三等分點(diǎn)。用向量 表示 和 。3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.距離公式(1)向量的長(zhǎng)度(模)公式注意:此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。二、距離與夾角2.兩個(gè)向量夾角公式注意:(1)當(dāng) 時(shí),同向;(2)當(dāng) 時(shí),反向;(3)當(dāng) 時(shí),。思考:當(dāng) 及 時(shí),夾角在什么范圍內(nèi)?在空間直角坐標(biāo)系中,已知、,則(3)空間兩點(diǎn)間的距離公式4.設(shè)則 , AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 例1.設(shè) (1,5,1), (2,3,5)(1)若( )( 3 ),求 ;(2)若( )( 3 ),求 .練習(xí)1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分別是 的中點(diǎn),并且 ,求證:證明: 分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)

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