《圓錐曲線解題十招全歸納》

1、圓錐曲線解題十招全歸納招式一 ：弦的垂直平分線問題例題 1 、過點 T(-1,0) 作直線 與曲線 N ： 交于 A 、 B 兩點，在 x 軸上是否存在一點 E( ,0) ，使得 是等邊三角形，若存在，求出 ；若不存在，請說明理由。解： 依題意知，直線的斜率存在，且不等于 0 。設(shè)直線 ， ， ， 。由 消 y 整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得 即 由韋達定理，得： 。則線段 AB 的中點為 。線段的垂直平分線方程為： 令 y=0, 得 ，則 為正三角形， 到直線 AB 的距離 d 為 。 解得 滿足 式此時 ?！旧婕暗较业拇怪逼椒志€問題】 這種問題主要是需要用到弦 AB 的垂直平分線 L

2、 的方程，往往是利用 點 差 或 者 韋 達 定 理 產(chǎn)生弦 AB 的中點坐標 M ，結(jié)合弦 AB 與它的垂直平分線 L 的斜率互為負倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線 L 的方程，然后解決相關(guān)問題，比如：求 L 在 x 軸 y 軸上的截距的取值范圍，求 L 過某定點等等。有時候題目的條件比較隱蔽，要分析后才能判定是有關(guān)弦 AB 的中點問題，比如：弦與某定點 D 構(gòu)成以 D 為頂點的等腰三角形（即 D 在 AB 的垂直平分線上）、曲線上存在兩點 AB 關(guān)于直線 m 對稱等等。例題分析 1 ：已知拋物線 y=-x 2 +3 上存在關(guān)于直線 x+y=0 對稱的相異兩點 A 、 B ，則 |AB| 等于解：設(shè)

3、直線 的方程為 ，由 ，進而可求出 的中點 ，又由 在 直線 上可求出 ， ，由弦長公式可求出 招式二 ：動弦過定點的問題例題 2 、已知橢圓 C ： 的離心率為 ，且在 x 軸上的頂點分別為 A 1 (-2,0),A 2 (2,0) 。（ ）求橢圓的方程；（ ）若直線 與 x 軸交于點 T, 點 P 為直線 上異于點 T 的任一點，直線 PA 1 ,PA 2 分別與橢圓交于 M 、 N 點，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論解：（ ）由已知橢圓 C 的離心率 ， , 則得 。從而橢圓的方程為（ ）設(shè) ， ，直線 的斜率為 , 則直線 的方程為 ，由 消 y 整理得 是方程的兩

4、個根， 則 ， ，即點 M 的坐標為 ，同理，設(shè)直線 A 2 N 的斜率為 k 2 ，則得點 N 的坐標為， 直線 MN 的方程為： ， 令 y=0 ，得 ，將點 M 、 N 的坐標代入，化簡后得：又 ， 橢圓的焦點為 ，即故當 時， MN 過橢圓的焦點。招式三 ：過已知曲線上定點的弦的問題例題 4 、已知點 A 、 B 、 C 是橢圓 E ： 上的三點，其中點 A 是橢圓的右頂點，直線 BC 過橢圓的中心 O ，且 ， ，如圖。 ( ) 求點 C 的坐標及橢圓 E 的方程； ( ) 若橢圓 E 上存在兩點 P 、 Q ，使得直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 對稱，求直線 PQ 的斜率。 解

5、： ( ) ，且 BC 過橢圓的中心 O又 點 C 的坐標為 。A 是橢圓的右頂點， ，則橢圓方程為：將點 C 代入方程，得 ， 橢圓 E 的方程為( ) 直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 對稱， 設(shè)直線 PC 的斜率為 ，則直線 QC 的斜率為 ，從而直線 PC 的方程為：，即 ，由 消 y ，整理得：是方程的一個根，即 同理可得： 則直線 PQ 的斜率為定值 。招式四 ：共線向量問題1 ： 如圖所示，已知圓 為圓上一動點，點 P 在 AM 上，點 N 在 CM 上，且滿足 的軌跡為曲線 E. （ I ）求曲線 E 的方程； （ II ）若過定點 F （ 0 ， 2 ）的直線交曲線 E 于

6、不同的兩點 G 、 H （點 G 在點 F 、 H 之間），且滿足 ，求 的取值范圍 .解：（ 1 ） NP 為 AM 的垂直平分線， |NA|=|NM|又 動點 N 的軌跡是以點C （ 1 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ）為焦點的橢圓 . 且橢圓長軸長為焦距 2c=2. 曲線 E 的方程為 （ 2 ）當直線 GH 斜率存在時，設(shè)直線 GH 方程為得 設(shè) ，又當直線 GH 斜率不存在，方程為 2 ： 已知橢圓 C 的中心在坐標原點，焦點在 軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 的焦點，離心率為 . （ 1 ）求橢圓 C 的標準方程；（ 2 ）過橢圓 C 的右焦點作直線 交橢圓 C 于 、 兩點，

7、交 軸于 點， 若 ， ，求證： .解：設(shè)橢圓 C 的方程為 （ ）拋物線方程化為 ，其焦點為 ， 則橢圓 C 的一個頂點為 ，即 由 ， ，橢圓 C 的方程為 （ 2 ）證明：右焦點 ，設(shè) ，顯然直線 的斜率存在，設(shè)直線 的方程為 ，代入方程 并整理，得 ， 又 ， ， ， ，而 ， ，即 ， ， ，所以 類型 1 求待定字母的值例 1 設(shè)雙曲線 C ： 與直線 L ： x+y=1 相交于兩個不同的點 A 、 B ，直線 L 與 y 軸交于點 P ，且 PA= ，求 的值思路： 設(shè) A 、 B 兩點的坐標，將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標表達式，再利用韋達定理，通過解方程組求 a 的值。 解： 設(shè) A

8、(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， P(0,1) PA= x 1 = . 聯(lián)立 消去 y 并整理得， (1 a 2 )x 2 +2a 2 x 2a 2 =0 (*) A 、 B 是不同的兩點， 0a 且 a 1. 于是 x 1 +x 2 = 且 x 1 x 2 = ，即 ，消去 x 2 得， = ， a= ， 0a0 ）過 M （ 2 ， ） ， N( ,1) 兩點， O 為坐標原點，（ I ）求橢圓 E 的方程；（ II ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 ？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB | 的取值范圍，若不存

9、在說明理由。解 : （ 1 ）因為橢圓 E: （ a,b0 ）過 M （ 2 ， ） ， N( ,1) 兩點 ,所以 解得 所以 橢圓 E 的方程為 （ 2 ）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 , 設(shè)該圓的切線方程為 解方程組 得 , 即 , 則 = , 即 , 要使 , 需使 , 即 , 所以 , 所以 又 , 所以 , 所以 , 即 或 , 因為直線 為圓心在原點的圓的一條切線 , 所以圓的半徑為 , , , 所求的圓為 , 此時圓的切線 都滿足 或 , 而當切線的斜率不存在時切線為 與橢圓 的兩個交點為 或 滿足 , 綜上 , 存在圓心

10、在原點的圓 ，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 .因為 ,所以 , 當 時 因為 所以 , 所以 ,所以 當且僅當 時取 ”=”. 2 當 時 , .3 當 AB 的斜率不存在時 , 兩個交點為 或 , 所以此時 ,綜上 , |AB | 的取值范圍為 即 : 2 、 在平面直角坐標系 中，經(jīng)過點 且斜率為 的直線 與橢圓 有兩個不同的交點 和 （ ）求 的取值范圍；（ ）設(shè)橢圓與 軸正半軸、 軸正半軸的交點分別為 ，是否存在常數(shù) ，使得向量 與 共線？如果存在，求 值；如果不存在，請說明理由解：（ ）由已知條件，直線 的方程為 ，代入橢圓方程得 整理得 直線 與橢圓

11、有兩個不同的交點 和 等價于 ，解得 或 即 的取值范圍為 （ ）設(shè) ，則 ，由方程 ， 又 而 所以 與 共線等價于 ， 將 代入上式，解得 由（ ）知 或 ，故沒有符合題意的常數(shù) 3 、 設(shè) 、 分別是橢圓 的左、右焦點 . （ ）若 P 是該橢圓上的一個動點，求 的最大值和最小值； （ ）是否存在過點 A （ 5 ， 0 ）的直線 l 與橢圓交于不同的兩點 C 、 D ，使得 |F 2 C|=|F 2 D| ？若存在，求直線 l 的方程；若不存在，請說明理由 . 解：易知 ，設(shè) P （ x ， y ），則 ， ，即點 P 為橢圓短軸端點時， 有最小值 3 ；當 ，即點 P 為橢圓長軸端點

12、時， 有最大值 4 （ ）假設(shè)存在滿足條件的直線 l 易知點 A （ 5 ， 0 ）在橢圓的外部，當直線 l 的斜率不存在時，直線 l 與橢圓無交點，所在直線 l 斜率存在，設(shè)為 k ，直線 l 的方程為 由方程組依題意 當 時，設(shè)交點 C ， CD 的中點為 R ，則又 |F 2 C|=|F 2 D| 20k 2 =20k 2 4 ，而 20k 2 =20k 2 4 不成立， 所以不存在直線 ，使得 |F 2 C|=|F 2 D| 綜上所述，不存在直線 l ，使得 |F 2 C|=|F 2 D| 4 、 橢圓 G ： 的兩個焦點為 F 1 、 F 2 ，短軸兩端點 B 1 、 B 2 ，已知

13、 F 1 、 F 2 、 B 1 、 B 2 四點共圓，且點 N （ 0 ， 3 ）到橢圓上的點最遠距離為 （ 1 ）求此時橢圓 G 的方程；（ 2 ）設(shè)斜率為 k （ k0 ）的直線 m 與橢圓 G 相交于不同的兩點 E 、 F ， Q 為 EF 的中點，問 E 、 F 兩點能否關(guān)于過點 P （ 0 ， ）、 Q 的直線對稱？若能，求出 k 的取值范圍；若不能，請說明理由解：（ 1 ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段 F 1 F 2 與線段 B 1 B 2 互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心 故該橢圓中 即橢圓方程可為 ， H （ x,y ）為橢圓上一點，則， ，則 有最大值 ， （舍去

14、）， ， 所求橢圓方程為（ 2 ）設(shè) ，則由 兩式相減得 又直線 PQ 直線 m 直線 PQ 方程為 將點 Q （ ）代入上式得， 由 得 Q （ ）， Q 點必在橢圓內(nèi)部 ，由此得 故當 時， E 、 F 兩點關(guān)于點 P 、 Q 的直線對稱5 、 已知橢圓 的離心率為 ，過右焦點 F 的直線 與 相交于 、 兩點，當 的斜率為 1 時，坐標原點 到 的距離為 （ I ）求 ， 的值；（ II ） 上是否存在點 P ，使得當 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時，有 成立？若存在，求出所有的 P 的坐標與 的方程；若不存在，說明理由。解：（ ）設(shè) 當 的斜率為 1 時，其方程為 到 的距離為 ，故 ， ，

15、由 ，得 ， = （ ） C 上存在點 ，使得當 繞 轉(zhuǎn)到某一位置時，有 成立。由 （ ）知橢圓 C 的方程為 + =6. 設(shè) ( ) 假設(shè) 上存在點 P ，且有 成立， 則 ， 整理得 故 將 于是 , = , ， 代入 解得， ，此時 于是 = ， 即 因此， 當 時， ， ； 當 時， ， 。（ ）當 垂直于 軸時，由 知， C 上不存在點 P 使 成立。綜上， C 上存在點 使 成立，此時 的方程為 .6 、 已知直線 經(jīng)過橢圓 的左頂點 A 和上頂點 D ，橢圓 的右頂點為 ，點 是橢圓 上位于 軸上方的動點，直線 與直線 分別交于 兩點。 （ I ）求橢圓 的方程； （ ）求線段

16、MN 的長度的最小值； （ ）當線段 MN 的長度最小時，在橢圓 上是否存在這樣的點 ，使得 的面積為 ？若存在，確定點 的個數(shù)，若不存在，說明理由（ I ）由已知得，橢圓 的左頂點為 上頂點為 故橢圓 的方程為 （ ）直線 AS 的斜率 顯然存在，且 ，故可設(shè)直線 的方程為 ，從而 由 得 0設(shè) 則 得 ，從而 即 又 ， 由 得 故 又 ，當且僅當 ，即 時等號成立 時，線段 的長度取最小值 （ ）由（ ）可知，當 取最小值時， 此時 的方程為 要使橢圓 上存在點 ，使得 的面積等于 ，只須 到直線 的距離等于 ，所以 在平行于 且與 距離等于 的直線 上。設(shè)直線 ， 則由 解得 或 7

17、、 已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ， ，過點 的動直線與雙曲線相交于 兩點（ I ）若動點 滿足 （其中 為坐標原點），求點 的軌跡方程；（ II ）在 軸上是否存在定點 ，使 為常數(shù)？若存在，求出點 的坐標；若不存在，請說明理由解：由條件知 ， ，設(shè) ， 解法一：（ I ）設(shè) ，則 ， ，由 得即于是 的中點坐標為 當 不與 軸垂直時， ，即 又因為 兩點在雙曲線上，所以 ， ，兩式相減得，即 將 代入上式，化簡得 當 與 軸垂直時， ，求得 ，也滿足上述方程所以點 的軌跡方程是 （ II ）假設(shè)在 軸上存在定點 ，使 為常數(shù)當 不與 軸垂直時，設(shè)直線 的方程是 代入 有 則 是上述方程的

18、兩個實根，所以 ， ，于是因為 是與 無關(guān)的常數(shù)，所以 ，即 ，此時 = 當 與 軸垂直時，點 的坐標可分別設(shè)為 ， ，此時 故在 軸上存在定點 ，使 為常數(shù)8 、 在平面直角坐標系 中，已知圓心在第二象限、半徑為 的圓 與直線 相切于坐標原點 橢圓 與圓 的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為 (1) 求圓 的方程； (2) 試探究圓 上是否存在異于原點的點 ，使 到橢圓右焦點 的距離等于線段 的長若存在，請求出點 的坐標；若不存在，請說明理由解： (1) 設(shè)圓心坐標為 (m ， n) （ m0 ） , 則該圓的方程為 (x-m) 2 +(y-n) 2 =8 已知該圓與直線 y=x 相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即 =4 又圓與直線切于原點，將點 (0 ， 0) 代入得 ， m 2 +n 2 =8 聯(lián)立方程和組成方程組解得 ， 故圓的方程為 (x+2) 2 +(y-2) 2 =8 (2) =5 ， a 2 =25 ，則橢圓的方程為 其焦距 c= =4 ，右焦點為 (4 ， 0) ，那么 =4 。要探求是否存在異于原點的點 Q ，使