流動(dòng)分析基礎(chǔ)課件

1、B1 流體及物理性質(zhì)B2 流動(dòng)分析基礎(chǔ)B3 微分形式的基本方程B4 量綱分析與相似原理B5 積分形式的基本方程B 基 礎(chǔ) 篇B1 流體及物理性質(zhì)B 基 礎(chǔ) 篇B2 流動(dòng)分析基礎(chǔ)本章討論流體力學(xué)三要素中第二要素“運(yùn)動(dòng)”。 由于流體的易變形性，流體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)比剛體和固體更為復(fù)雜，描述的方法也有所不同。主要內(nèi)容： 流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)和幾何描述；流場(chǎng)的概念；通過分析一點(diǎn)鄰域的流動(dòng)細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)流場(chǎng)；流動(dòng)分類；常用的流動(dòng)分析方法。重點(diǎn)：（1）建立流場(chǎng)的概念； （2）用歐拉坐標(biāo)表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)； （3）拋棄剛體運(yùn)動(dòng)模式，建立質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流動(dòng)模型； （4）用簡化模型表示實(shí)際流動(dòng)，并明確其局限性。 B2 流動(dòng)分析基

2、礎(chǔ)本章討論流體力學(xué)三要素中第二要素“運(yùn)動(dòng)”B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 為方便大家對(duì)流體運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的理解，先介紹一下城市公共交通部門統(tǒng)計(jì)客流量的兩種方法： 在每一輛公交車上設(shè)安排記錄員，記錄每輛車在不同時(shí)刻（站點(diǎn)）上下車人數(shù)，此法稱為隨體法； 在每一站點(diǎn)設(shè)記錄員，記錄不同時(shí)刻經(jīng)過該站點(diǎn)的車輛上下車人數(shù)，此法稱為當(dāng)?shù)胤?。在流體力學(xué)中，我們用相似的方法來描述流體運(yùn)動(dòng)。B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 拉格朗日法 拉格朗日法又稱隨體法：跟隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，記錄該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中物理量隨時(shí)間變化規(guī)律。設(shè)某質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為（a,b,c），該質(zhì)點(diǎn)的物理量B的拉格朗日表示式為式中(a,b,c)稱為拉格朗日

3、坐標(biāo)，可用某特征時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置的空間坐標(biāo)定義，不同的（a,b,c）代表不同質(zhì)點(diǎn)。 任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量（矢徑）的拉格朗日表示式為 上式代表任意流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 拉格朗日法B2.1 描述流體思考題: 請(qǐng)判斷拉格朗日法適合于描述 下列哪一類流動(dòng)：（A）研究一污染粒子在水中運(yùn)動(dòng)的軌跡；（B）研究無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)群的運(yùn)動(dòng)；（C）研究一個(gè)流動(dòng)空間的速度分布。A，對(duì)；B,雖適合，但描述無數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程十分復(fù)雜，難以求解。C,錯(cuò)。拉格朗日法不能給出流體速度的空間分布。B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法思考題: 請(qǐng)判斷拉格朗日法適合于描述 下列哪一

4、類流動(dòng)：（A） 歐拉法 歐拉法又稱當(dāng)?shù)胤ǎ簩⒛乘矔r(shí)占據(jù)某空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)物理量作為該空間點(diǎn)的物理量，物理量隨空間點(diǎn)位置和時(shí)間而變化。設(shè)空間點(diǎn)坐標(biāo)為 ，物理量B的歐拉表示式為式中 稱為歐拉坐標(biāo)，不同的 代表不同的空間點(diǎn)。 在流體力學(xué)中最重要的物理量是速度 和壓強(qiáng) ，其歐拉表示式分別為 物理量的歐拉表示式代表了該物理量的空間分布，稱為該物理量場(chǎng)，例如速度場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)等。因此歐拉觀點(diǎn)是場(chǎng)的觀點(diǎn)，可運(yùn)用數(shù)學(xué)上“場(chǎng)論”知識(shí)作為理論分析工具。 歐拉法適用于描述空間固定域上的流動(dòng)，是流體力學(xué)中最常用的描述方法。 歐拉法 物理量的歐拉表示式代表了該物理量的空間分布，稱為思考題:某人坐在勻速運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)上測(cè)量和記錄

5、周圍各點(diǎn)空氣的速度和壓強(qiáng)，請(qǐng)問它采用的研究方法是：（A）拉格朗日法； （B）歐拉法；（C）兩者均不是。A,C錯(cuò)；B,對(duì)。參照系是飛機(jī)，固結(jié)于飛機(jī)上的坐標(biāo)系也是歐拉坐標(biāo)系。B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法思考題:某人坐在勻速運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)上測(cè)量和記錄周圍各點(diǎn)空氣的速度B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法B2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法B2.2 速度場(chǎng)的基本概念 速度場(chǎng)（速度分布）：任一瞬時(shí)由空間點(diǎn)上速度矢量構(gòu)成的場(chǎng). 直角坐標(biāo)系下三個(gè)方向的速度分量為： 速度廓線：某空間面或線上所有速度矢量的包絡(luò)線。 平面廓線：直圓管內(nèi)相同流量，不同流態(tài)下的兩種速度廓線三維廓線B2.2 速度場(chǎng)的基本概念 B2.2.1 流

6、量與平均速度 體積流量：單位時(shí)間內(nèi)流過一假想曲面的流體體積。 流過一面元 dA 的體積流量 dQ 為： 表示速度矢量 在面元單位外法矢量 方向的投影B2.2.1 流量與平均速度 體積流量：單位時(shí)間內(nèi)流過 平均速度定義為：式中A為曲面的面積。則通過曲面A 的體積流量可以表示為 質(zhì)量流量：單位時(shí)間內(nèi)流過一假想曲面的流體質(zhì)量。 對(duì)于均質(zhì)流體， 為常數(shù)，質(zhì)量流量為單位時(shí)間流過曲面A的體積流量為： B2.2.1 流量與平均速度 平均速度定義為：單位時(shí)間流過曲面A的體積流量為： B2.2例題B2.2.1：直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度已知：粘性流體在半徑為R的直圓管中做定常流動(dòng)。設(shè)管截面上有兩種速度分

7、布，分別為拋物線分布和1/7指數(shù)分布： 式中： 分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 求：兩種速度分布的: 流量Q 的表達(dá)式； 截面平均速度V。B2.2.1 流量與平均速度例題B2.2.1：直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度式中： 解：流量由單位時(shí)間流過曲面A的體積流量公式計(jì)算，注意到 dA = 2rdr拋物線分布1/7指數(shù)分布B2.2.1 流量與平均速度解：流量由單位時(shí)間流過曲面A的體積流量公式計(jì)算，注意到B2.平均速度由 式計(jì)算拋物線分布1/7指數(shù)分布討論：由上可見，拋物線分布截面上的平均速度為最大速度的一半，而1/7指數(shù)分布截面上的平均速度為最大速度的0.8167倍，這是由于后者的速度

8、廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。B2.2.1 流量與平均速度平均速度由 式計(jì)算拋物線分思考題：圖中A為流場(chǎng)中一封閉曲面，流量 代表: A.流量為零； B.與單個(gè)曲面一樣； C.凈流入A的流量； D.凈流出A的流量。 B2.2.1 流量與平均速度圖中n為曲面外法線方向矢量，其正負(fù)號(hào)代表流量的出與入思考題：圖中A為流場(chǎng)中一封閉曲面，流量 B2.2.1 流量與平均速度B2.2.1 流量與平均速度二維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)只需要表示為二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)（另一個(gè)方向的參數(shù)保持不變或近似不變），二維流動(dòng)可分為平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)等。B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)三維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)表示為三個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)

9、。平面流動(dòng)：無限長二維機(jī)翼的流動(dòng) y方向的速度分量為零，在垂直于y方向的所有xz平面上的流動(dòng)均相同。 對(duì)翼展（y方向）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于翼弦（x方向）的有限長機(jī)翼也可按二維流動(dòng)處理（僅需對(duì)翼端作三維修正）。 二維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)只需要表示為二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)（另一個(gè)方向B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)一維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)只需表示為一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。 例如，(1)質(zhì)點(diǎn)沿曲線S 的流動(dòng): (2)對(duì)于圓管截面上的流動(dòng)，可以引入平均速度，將其化為一維流動(dòng)（即圓管截面上均勻分布的平均速度代替實(shí)際速度分布）。如上圖中管截面上的虛線。 軸對(duì)稱流動(dòng)：變截面直圓管內(nèi)的粘性流動(dòng)。B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)一維流動(dòng)：

10、流動(dòng)參數(shù)只需表思考題: 潤滑油在圓柱形旋轉(zhuǎn)滑動(dòng)軸承的間隙中被軸承帶動(dòng)，設(shè)間隙高度遠(yuǎn)小于軸承直徑和寬度，潤滑油的流動(dòng)可簡化為：（A）圓柱形空間的三維流動(dòng)；（B）圓環(huán)形空間的三維流動(dòng)；（C）垂直于軸線的狹縫中的平面流動(dòng)。B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)思考題: 潤滑油在圓柱形旋轉(zhuǎn)滑動(dòng)軸承的間隙中被軸承帶動(dòng)，設(shè)間直圓管一維流動(dòng)修正因子B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)用平均速度描述圓管一維流動(dòng)簡化了流量和壓強(qiáng)計(jì)算。但對(duì)截面上動(dòng)能和動(dòng)量計(jì)算造成偏差，引入動(dòng)能修正因子和動(dòng)量修正因子。表B2.2.1：圓管粘性一維定常流動(dòng)修正因子直圓管一維流動(dòng)修正因子B2.2.2 一維、二維與三維流動(dòng)用定常流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)

11、不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。 定常流動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：在直角坐標(biāo)系中，B2.2.3 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)固定點(diǎn)速度值隨時(shí)間變化的典型波形定常流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。在直角坐標(biāo)系中，B2.例如，圓球在靜止大氣中以勻速 U 運(yùn)動(dòng)時(shí)，在靜止的坐標(biāo)系中觀察圓球?qū)Υ髿獾臄_動(dòng)是不定常的；但如果將坐標(biāo)系固定在圓球上，在與圓球一起前進(jìn)的坐標(biāo)系中觀察，靜止的大氣變成以勻速 U 對(duì)圓球的定常繞流。B2.2.3 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng) 經(jīng)過坐標(biāo)變換，有的不定常流場(chǎng)可變換成定常流場(chǎng)。例如，圓球在靜止大氣中以勻速 U 運(yùn)動(dòng)時(shí)，在靜止的坐標(biāo)系中觀B2.2.3 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)思考題: 在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中，將飛機(jī)或汽車模型固

12、定在洞壁上，讓空氣勻速地流過模型。請(qǐng)問這種流動(dòng)屬于：（A）定常流動(dòng)；（B）不定常流動(dòng)。B2.2.3 定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)思考題: 在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中， 跡線：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（下圖中曲線 P）跡線方程 跡線的拉格拉日表示式： B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述跡線的歐拉表示式為：或式中, t為自變量, x, y, z均為t的函數(shù) 跡線：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（下圖中曲線 P）跡線方程B2. 跡線的特點(diǎn)：（1）跡線是流場(chǎng)中實(shí)際存在的（動(dòng)畫中藍(lán)色虛線為跡線）（2）跡線具有持續(xù)性。（3）在非定常流場(chǎng)中，過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條跡線。 思考題: 請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條跡線。（A）根本不

13、可能； （B）在定常流中是正確的； （C）在不定常流中是正確的。B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述 跡線的特點(diǎn)：思考題: 請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一 流線：線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的速度方向一致的假想曲線 。（下圖中曲線 S）流線方程（只有歐拉表示式）：在直角坐標(biāo)系中或式中, t為參數(shù), x, y, z為自變量 B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述 流線：線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的速度方向一致的假想曲線 流線的特點(diǎn)：（1）流線是假想的線。（動(dòng)畫中粉紅色虛線為流線）（2）流線具有瞬時(shí)性（t為參數(shù)）。（3）在定常流場(chǎng)中流線與跡線重合。 （4）在某一瞬時(shí)，過流場(chǎng)中的一點(diǎn)有且僅有一條流線。（奇點(diǎn)、駐點(diǎn)

14、除外） 思考題: 請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條流線。（A）根本不可能； （B）在定常流中是正確的； （C）在不定常流中是正確的。B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述 流線的特點(diǎn)：思考題: 請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一設(shè)速度場(chǎng)為 , 式中 k 為常數(shù)，試求: 流線（跡線）方程，并畫出流線圖。例A：定常流場(chǎng)的流線（跡線）解：流場(chǎng)為定常流場(chǎng)，由流線定義：代入速度場(chǎng)表達(dá)式：積分可得：流線方程為：上式為雙曲線方程，取常數(shù)c=1,2,-1,-2, 畫出右圖所示的流線圖。設(shè)k 0，由速度分布式可確定流動(dòng)方向如圖中所示；x、y軸是c = 0的流線，稱為零流線。在原點(diǎn)上 u = v = 0，

15、說明原點(diǎn)是駐點(diǎn)，通常稱這種流動(dòng)為（90）角域流。由于此流場(chǎng)是定常流場(chǎng)，流線也就是跡線。設(shè)速度場(chǎng)為 , 式中 k 為常數(shù)設(shè)速度場(chǎng)為 ，t =0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)，試求：（1）質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程。（2）t =0時(shí)刻，過原點(diǎn)的流線方程；（3）t =1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向。解：此流場(chǎng)屬無周期性的不定常流場(chǎng)。（1）由跡線公式可得，跡線方程組：積分在t = 0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)，x = y = 0 c1 = c2 = 0 例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程為：(a)設(shè)速度場(chǎng)為 ，t =0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)消去參數(shù) t 可得：上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條以（-1/2，-1）為頂點(diǎn)，且通過原點(diǎn)的拋物線

16、（見右圖）。（2）由流線公式可得，流線方程為：積分在t = 0時(shí)刻，流線通過原點(diǎn)，x = y = 0 c= 0 相應(yīng)的流線方程為 x = y這是一條過原點(diǎn)的，一三象限的角平分線，與質(zhì)點(diǎn)A的跡線在原點(diǎn)相切 例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線(b)(c)消去參數(shù) t 可得：上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條以（-1/2，（3）為了確定t = 1時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向，需求此時(shí)刻過質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程。例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線由跡線的參數(shù)式方程(a)可確定，t = 1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A位于x = 3 / 2, y = 1位置，代入流線方程(b)c = -1/4 t = 1時(shí)刻過流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程為

17、 x = 2 y1/2(d)上式是一條與流體質(zhì)點(diǎn)A的跡線相切于(3/2, 1)點(diǎn)的斜直線，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠卦撝本€朝x, y值增大方向。討論：以上可見，不定常流動(dòng)中跡線與流線不重合；不同時(shí)刻通過某空間固定點(diǎn)的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。（3）為了確定t = 1時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向，需求此時(shí) 脈線：相繼通過一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)連成的線。(黑線)脈線的特點(diǎn)：（1）容易實(shí)現(xiàn)：在固定點(diǎn)連續(xù)釋放染色劑（在水中）或煙（空氣中），在某一瞬時(shí)觀察到的從該固定點(diǎn)出發(fā)的染料或煙的脈絡(luò)線即為脈線，也稱為條紋線、染色線或煙線。 （2）在定常流中脈線與流線、跡線重合（3）

18、不定常流中脈線與流線、跡線均不重合B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述煙線繞圓柱流動(dòng)(卡門渦街) 脈線：相繼通過一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)連成的線。(黑線)脈線的特 流體線（時(shí)間線）：在流場(chǎng)中某時(shí)刻標(biāo)記的一串首尾相接的流體質(zhì)點(diǎn)的連線。 流體線的特點(diǎn)：（1）在流體線上每一質(zhì)點(diǎn)沿各自的跡線運(yùn)動(dòng) （動(dòng)畫中黑線為流體線）（2）在定常流中取與流線垂直的流體線構(gòu)成 方格，可顯示流體團(tuán)隨時(shí)間變形的特征。 B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述 流體線（時(shí)間線）：在流場(chǎng)中某時(shí)刻標(biāo)記的一串首尾相接的流體質(zhì)思考題: 請(qǐng)判別圖中虛線（在平板向右勻速拖動(dòng)的過程中，從垂直線變?yōu)樾敝本€的虛線）是：（A）跡線；（B）流線；（C）脈線；（D）時(shí)間線。

19、 B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述思考題: 請(qǐng)判別圖中虛線（在平板向右勻速拖動(dòng)的過程中，從垂直 流管：在流場(chǎng)中通過任意的非流線的封閉曲線上每一點(diǎn)作流線所圍成的管狀面。（見下圖）。 流管的特點(diǎn)：（1）具有流線所有的特點(diǎn)；（2）在定常流中流管形狀不變，像固定的管道。 B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述 流管：在流場(chǎng)中通過任意的非流線的封閉曲線上每一點(diǎn)作流線所圍流束：流管內(nèi)的流體，可看作無數(shù)流線的集束。平行流：流束內(nèi)所有流線均相互平行。緩變流：流束內(nèi)的所有流線雖然不完全平行，但流線之間的夾角很小。有效截面：處處與流線垂直的截面。 （平行流的有效截面是平面, 緩變流的有效截面近似為平面）微元流束：有效截面為無限

20、小的流束。 工程上常將微元流束代表流線?？偭鳎核形⒃魇目偤?。 工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動(dòng)稱為總流。B2.3 流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述流束：流管內(nèi)的流體，可看作無數(shù)流線的集束。B2.3 流體運(yùn) 隨體導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）：質(zhì)點(diǎn)加速度是流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中速度隨時(shí)間的變化率。（這種描述加速度的方式屬于拉格朗日觀點(diǎn)）那么怎樣用歐拉觀點(diǎn)來描述質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)呢？ B2.4 流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù) 隨體導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）：質(zhì)點(diǎn)加速度是流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)拉格朗日法歐拉法位移：時(shí)間的函數(shù)時(shí)間的函數(shù)速度：時(shí)間的函數(shù)時(shí)間、空間的函數(shù)加速度：時(shí)間的函數(shù)時(shí)間、空間的函數(shù)拉氏加速度歐拉加速度B2.4 流體質(zhì)點(diǎn)的隨體

21、導(dǎo)數(shù)拉格朗日法歐拉法位移：時(shí)間的函數(shù)時(shí)間的函數(shù)速度：時(shí)間的函數(shù)時(shí)在給定的速度場(chǎng) 中，任意一質(zhì)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)時(shí)空間位置隨時(shí)間不斷變化（見下圖）B2.4.1 加速度場(chǎng)速度的三個(gè)歐拉坐標(biāo)都是時(shí)間的函數(shù)，用全導(dǎo)數(shù)的方法求質(zhì)點(diǎn) p的加速度。在給定的速度場(chǎng) 中，任意一質(zhì)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)時(shí)空間由p的任意性，用歐拉坐標(biāo)表示的空間加速度場(chǎng)為：在直角坐標(biāo)系中加速度場(chǎng)的分量式為：B2.4.1 加速度場(chǎng)由p的任意性，用歐拉坐標(biāo)表示的空間加速度場(chǎng)為：在直角坐標(biāo)系中在沿流線s 的一維流動(dòng)V=V(s, t)中，加速度分布為：例題B2.4.1: 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：由速度場(chǎng)求加速度求：加速場(chǎng)；原點(diǎn)和（1,1,1）點(diǎn)的加速度。已知: 速度場(chǎng)B

22、2.4.1 加速度場(chǎng)在沿流線s 的一維流動(dòng)V=V(s, t)中，加速度分布為：例解：結(jié)果表明:原點(diǎn)的加速度的y,z分量在任何時(shí)刻均為零。而（1,1,1）點(diǎn)的加速度三個(gè)分量在不同時(shí)刻均不同。在（1,1,1）點(diǎn)，z方向的速度分量與時(shí)間無關(guān)，但加速度分量卻與時(shí)間有關(guān)。 B2.4.1 加速度場(chǎng)在原點(diǎn)，在（1,1,1）點(diǎn) 解：結(jié)果表明:原點(diǎn)的加速度的y,z分量在任何時(shí)刻均為零。而（B2.4.2 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 任意物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為：表示空間點(diǎn)上的物理量B隨時(shí)間的變化率，稱為物理量B的當(dāng)?shù)刈兓剩ň植繉?dǎo)數(shù)），反應(yīng)流場(chǎng)的不定常性。表示沿x方向的位移（遷移）時(shí)，因流場(chǎng)的不均勻性引起的物理量B的變化，稱為物理量B在

23、x方向遷移變化率（或位變導(dǎo)數(shù)）；和分別表示在y，z方向的遷移變化率；B2.4.2 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 任意物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為：表示空間式中：流場(chǎng)加速度可表示為：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度用場(chǎng)論符號(hào)表示B2.4.2 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)流場(chǎng)定常與否流場(chǎng)均勻與否式中：流場(chǎng)加速度可表示為：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度用場(chǎng)論符號(hào)表示思考題: 右圖為一水箱帶一收縮圓錐噴嘴，水位高h(yuǎn)。請(qǐng)判斷下列說法是否正確：（1） h為為常數(shù)時(shí)，點(diǎn)2的加速度為零，點(diǎn)1有遷移加速度 （a） 對(duì)； （b） 錯(cuò)。 （2） h隨時(shí)間變化時(shí)，點(diǎn)2只有當(dāng)?shù)丶铀俣?，點(diǎn)1既有當(dāng)?shù)丶铀俣扔钟羞w移加速度（a） 對(duì)；（b） 錯(cuò)。 （A）a,a；（B）a,b；（C）b,a；（D）

24、b,b。 B2.4.2 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)思考題: 右圖為一水箱帶一收縮圓錐噴嘴，水位高h(yuǎn)。請(qǐng)判斷下列已知：圖中為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部A0和頂部 A3的直徑分別為d0=9cm, d3=3cm。恒定流量Q=0.02m3/s。A1和A2為兩個(gè)三分點(diǎn)的圓截面。求:按一維流動(dòng)計(jì)算A0, A1, A2, A3四個(gè)截面上的速度和加速度例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度解：取軸向流動(dòng)方向?yàn)?軸，底部為原點(diǎn)。噴管內(nèi)為定常流動(dòng)，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，只有遷移加速度。按一維流動(dòng)式計(jì)算V為管截面上的平均速度。任意管截面與底部的距離為x，面積A與x的關(guān)系為已知：圖中為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部A0

25、和頂部 例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度任意管截面上的平均速度和加速度為計(jì)算結(jié)果如下表所示例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度任意管截面上的平例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度平均速度和加速度的變化曲線如圖所示討論：結(jié)果表明，圓錐進(jìn)出口截面直徑比為3:1，速度比為1:9，加速度比為1:242。 由牛頓第二定律，加速度與作用力成正比，因此流體對(duì)噴管壁的沖擊力將是很大的。力的計(jì)算將在B4.3節(jié)中討論。例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度平均速度和加速度 B2.5 一點(diǎn)鄰域內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與力有關(guān)，但本節(jié)先不考慮力的作用，純粹從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分

26、析一空間點(diǎn)鄰域內(nèi)的流動(dòng)特征。用位移場(chǎng)計(jì)算基元體的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)角固體力學(xué)流體力學(xué)用速度場(chǎng)計(jì)算一鄰域內(nèi)的流體應(yīng)變速率和旋轉(zhuǎn)角度變化速率 B2.5 一點(diǎn)鄰域內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng) B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理以xy平面流場(chǎng)為例。設(shè)M0(x, y)點(diǎn)的速度為v(M0)=ui+vj，鄰近點(diǎn)M(x+dx, y+dy)的速度可用v(M0)的泰勒展開式表示（取一階，圖B2.5.1）分量式為 B2.5.1 亥姆霍茲速度分在x方向分量式上加減 ，在y方向分量式上加減 ，整理后可得赫姆霍茲定理表明：一點(diǎn)鄰域內(nèi)的速度 =平移速度 + 旋轉(zhuǎn)速度 + 線變形率 + 角變形率B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理 質(zhì)點(diǎn)M0的平移速度

27、 M點(diǎn)繞M0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)引起的相對(duì)速度 兩點(diǎn)間線元線應(yīng)變率引起的相對(duì)速度 兩點(diǎn)間體元角變形率引起的相對(duì)速度在x方向分量式上加減 ，在y方向分量式上加減B2.5.2 流體的變形 線應(yīng)變率：稱為x方向的線應(yīng)變率。正方形面元的線應(yīng)變率仍以 xy 平面流場(chǎng)為例，設(shè)速度分量 u 沿 y 方向不變，v 沿 x 方向不變?，F(xiàn)考察正方形面元 xy，經(jīng)過t 時(shí)間后，x方向增加的長度為 （圖B2.5.2）。單位長度單位時(shí)間的伸長為同理，y方向和z方向的線應(yīng)變率。B2.5.2 流體的變形 線應(yīng)變率：稱為x方向的線應(yīng)變率當(dāng)兩個(gè)方向同時(shí)伸長時(shí)正方形面元將擴(kuò)張，面積的相對(duì)擴(kuò)張率為：當(dāng)t0時(shí)，面積的瞬時(shí)相對(duì)擴(kuò)張率為 B2.5.2

28、 流體的變形在場(chǎng)論中稱為速度散度。當(dāng)兩個(gè)方向同時(shí)伸長時(shí)正方形面元將擴(kuò)張，面積的相對(duì)擴(kuò)張率為：當(dāng)將上述分析推廣到空間流動(dòng)，流體元體積的瞬時(shí)膨脹率為B2.5.2 流體的變形思考題：根據(jù)質(zhì)量守恒定律。流體元的體積變化將引起密度變化。由于 表示流體元的瞬時(shí)體積相對(duì)膨脹率，當(dāng) 時(shí)意味著流體是：（A）均質(zhì)的； （B）不可壓縮的；（C）可壓縮的。將上述分析推廣到空間流動(dòng)，流體元體積的瞬時(shí)膨脹率為B2.5.試求:（1）流線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式； （2）設(shè)k = 1, t = 0時(shí)刻邊長為1的正方形流體面abcd位于右圖所示位置， 求t = t 時(shí)刻點(diǎn)a (1, 3 )到達(dá)點(diǎn)a (3, 3 )時(shí)流體面a

29、bcd的位置和形狀。例B2.5.2：膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率（1）解：（1）因v=0, 流線微分方程為dy = 0， 積分可得流線方程為說明流線是平行于x軸的直線族。線應(yīng)變率為設(shè)平面流場(chǎng)為 y = c ( c為常數(shù) )試求:（1）流線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；例B2.5.2例B2.5.2：膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率（1）對(duì)流體面a b c d和abcd內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)均滿足(a)，(b)式?，F(xiàn)t 相同，x /x也相同。設(shè)k =1, 由點(diǎn) a (1, 3 )和a (3, 3 ) ，x / x = 3, 即x = 3x，y = y，因此 M (x, y ) = M ( 3x, y )。說明

30、x方向的線元以恒速率k伸長，y方向的線元長度保持不變。面積擴(kuò)張率為v = 說明：流場(chǎng)中每一點(diǎn)的瞬時(shí)面積相對(duì)擴(kuò)張率為常數(shù)，任何單位面積的流體面均以恒速率k擴(kuò)張，通常將這種流動(dòng)稱為膨脹流（當(dāng)k 0，流體自左向右流動(dòng)時(shí)沿x, y 軸正向的一對(duì)正交線元的夾角不斷減小。一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體旋轉(zhuǎn)角速度為說明：說明流體微元做順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，事實(shí)上由于在每條流線上所有微元的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)才形成速度沿y方向的線性增加。說明：該流動(dòng)屬不可壓縮流動(dòng)。圖中正方形流體面在運(yùn)動(dòng)中面積保持不變，隨著流體面對(duì)角線與x軸夾角不斷減小，流體面形狀逐漸變成窄長條。一點(diǎn)鄰域內(nèi)的面積擴(kuò)張率為221kyuxv-=-=w0=+=yvxuv例B2.5.

31、3：線性剪切流：角變形率+旋轉(zhuǎn)角速度說明x,y方渦量：在流體力學(xué)中，將速度旋度定義為渦量渦線：線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的渦量方向一致的假想曲線，如下圖中的曲線。渦束：渦線組成的集束稱為渦束。B2.5.3 流體的旋轉(zhuǎn)渦量：在流體力學(xué)中，將速度旋度定義為渦量渦線：線上任意點(diǎn)的切在充滿渦量的流場(chǎng)中，渦量的作用與速度矢量相當(dāng)：（1）速度矢量：表示質(zhì)點(diǎn)平移運(yùn)動(dòng)的方向和快慢，處處與流線相切。 渦量矢量：表示質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的方向和快慢，處處與渦線相切。（2）類似于流量引入渦通量B2.5.3 流體的旋轉(zhuǎn)在充滿渦量的流場(chǎng)中，渦量的作用與速度矢量相當(dāng)：（1）速度矢量B2.6 幾種流動(dòng)分類B2.6.1 層流與湍流粘

32、性流體的流動(dòng)按流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)形態(tài)可分為：層流+湍流層流：流動(dòng)是有規(guī)則的，有層次的，穩(wěn)定的；湍流：流動(dòng)是無規(guī)則脈動(dòng)的，有強(qiáng)烈的摻混性和渦旋性。式中，V為平均速度，d為直徑。 分別為流體的密度和粘度。 雷諾數(shù)：圓管定常流動(dòng)系列實(shí)驗(yàn)B2.6 幾種流動(dòng)分類B2.6.1 層流與湍流粘性流體實(shí)驗(yàn)一1839年，【德】哈根在黃銅管定常流中測(cè)量壓強(qiáng)損失與平均速度V的關(guān)系；下面介紹與雷諾數(shù)相關(guān)的三個(gè)著名實(shí)驗(yàn)。B2.6.1 層流與湍流Re=4200Re=2100實(shí)驗(yàn)一1839年，【德】哈根在黃銅管定常流中測(cè)量壓強(qiáng)損失與平1883年，【英】雷諾用紅色染液顯示玻璃管中的流態(tài)，發(fā)現(xiàn)雷諾數(shù)。過渡區(qū)湍流區(qū)B2.6.1 層流與湍流

33、實(shí)驗(yàn)二層流區(qū)Re=2000Re=30001883年，【英】雷諾用紅色染液顯示玻璃管中的流態(tài)，發(fā)現(xiàn)雷諾1934年，【美】德雷頓首次用熱線測(cè)速儀測(cè)量到湍流速度脈動(dòng)。林格倫得到如下結(jié)果B2.6.1 層流與湍流實(shí)驗(yàn)三過渡區(qū)湍流區(qū)層流區(qū)1934年，【美】德雷頓首次用熱線測(cè)速儀測(cè)量到湍流速度脈動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí)，染液線為一條平滑直線；測(cè)速信號(hào)也是一條平滑直線；hf與 V 呈線性關(guān)系。當(dāng)雷諾數(shù)逐漸增大后，染液開始波動(dòng)；測(cè)速信號(hào)發(fā)生間歇性脈動(dòng)，說明流動(dòng)開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變；hf與 V 關(guān)系不確定。當(dāng)雷諾數(shù)繼續(xù)增大后，染液線突然變得模糊，并彌散到整個(gè)管內(nèi)；測(cè)速信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)不斷的隨機(jī)脈動(dòng)；hf與 V

34、成1.75-2次關(guān)系。 B2.6.1 層流與湍流實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí)，染液線為一條平滑直線；測(cè)速信號(hào)綜合多種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，臨界雷諾數(shù)為當(dāng) 時(shí)，流動(dòng)必為層流，當(dāng) 時(shí)，將發(fā)生湍流。 B2.6.1 層流與湍流綜合多種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，臨界雷諾數(shù)為B2.6.1 層流與湍流雷諾 (Osborne Reynolds 18421912)，德國力學(xué)家、物理學(xué)家、工程師。1842年8月23日生于北愛爾蘭的貝爾法斯特，1912年2月21日卒于薩默塞特的沃切特。早年在工廠做技術(shù)工作，1867年畢業(yè)于劍橋大學(xué)王后學(xué)院。1868年起任曼徹斯特歐文學(xué)院工程學(xué)教授，1877年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1888年獲皇家獎(jiǎng)?wù)?。名人?雷

35、諾在流體力學(xué)方面最主要的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)流動(dòng)的相似律，他引入表征流動(dòng)中流體慣性力和粘性力之比的一個(gè)量綱為1的數(shù)，即雷諾數(shù)。對(duì)于幾何條件相似的各個(gè)流動(dòng)，即使它們的尺寸、速度、流體不同，只要雷諾數(shù)相同，則這個(gè)流動(dòng)是動(dòng)力相似的。1851年G.G.斯托克斯已認(rèn)識(shí)到這個(gè)比數(shù)的重要性。 雷諾 (Osborne Reynolds 18421912 1883年雷諾通過管道中平滑流線性流動(dòng)（層流）向不規(guī)則帶旋渦的流動(dòng)（湍流）過渡的實(shí)驗(yàn)，闡明了這個(gè)比數(shù)的作用。在雷諾以后，分析有關(guān)的雷諾數(shù)成為研究流體流動(dòng)特別是層流向湍流過渡的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)步驟。 此外，雷諾還給出平面渠道中的阻力；提出軸承的潤滑理論（1886）；研究河流中的波

36、動(dòng)和潮汐，闡明波動(dòng)中群速度概念；將許多單擺上端串聯(lián)且均勻分布在一緊張水平弦線上以演示群速度；指出氣流超聲速地經(jīng)管道最小截面時(shí)的壓力（臨界壓力）（1885）。引進(jìn)湍流中有關(guān)應(yīng)力概念（1895），還從分子模型解釋了剪脹（dilatancy）的機(jī)理等。 在物理學(xué)和工程學(xué)方面，雷諾解釋了輻射計(jì)的作用；作過熱的力學(xué)當(dāng)量的早期測(cè)定；研究過固體和液體的凝聚作用和熱傳導(dǎo)，從而導(dǎo)致鍋爐和凝結(jié)器的根本改造，研究過渦輪泵，使它的應(yīng)用得到迅速發(fā)展。名人堂 1883年雷諾通過管道中平滑流線性流動(dòng)（層流）向不規(guī)流場(chǎng)按是否被固壁包圍可分為：內(nèi)流+外流內(nèi)流：整個(gè)流場(chǎng)被（或幾乎被）固壁包圍；外流：無界流場(chǎng)繞固體物的流動(dòng)。內(nèi)流的

37、特點(diǎn)： 由于壁面不滑移條件，整個(gè)流場(chǎng)中速度梯度較大，粘性力影響顯著，流動(dòng)阻力主要來自壁面粘性切應(yīng)力。B2.6.1 內(nèi)流與外流流場(chǎng)按是否被固壁包圍可分為：內(nèi)流+外流內(nèi)流：整個(gè)流場(chǎng)被（或幾內(nèi)流的分類：1、不可壓縮流體在管道、縫隙內(nèi)的流動(dòng)；2、可壓縮流體在管道內(nèi)的流動(dòng)；3、具有自由面的液體渠道流動(dòng)；4、流體機(jī)械內(nèi)的流動(dòng)；B2.6.1 內(nèi)流與外流內(nèi)流的分類：1、不可壓縮流體在管道、縫隙內(nèi)的流動(dòng)；2、可壓縮外流：外流流場(chǎng)分為壁面附近的粘性流動(dòng)區(qū)和外部無粘性流動(dòng)區(qū)。粘性流動(dòng)區(qū)的范圍跟雷諾數(shù) 有關(guān)，式中：U 為來流速度，L 為繞流物體特征尺寸， 分別為流體的密度和粘度。B2.6.1 內(nèi)流與外流外流：外流流場(chǎng)

38、分為壁面附近的粘性流動(dòng)區(qū)和外部無粘性流動(dòng)區(qū)。粘邊界層流動(dòng)決定了繞流物體的阻力。邊界層也有層流與湍流之分，與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù) 有關(guān)，x為離繞流物前緣的距離。邊界層： 對(duì)大雷諾數(shù)流動(dòng)，粘性區(qū)很薄，稱為邊界層。由實(shí)驗(yàn)測(cè)得邊界層內(nèi)，層流向湍流轉(zhuǎn)捩的臨界雷諾數(shù)約為： 邊界層外，粘性力影響可以忽略，按無粘流體分析。外部無粘區(qū)對(duì)繞流物體的升力和邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分布有直接影響。B2.6.1 內(nèi)流與外流邊界層流動(dòng)決定了繞流物體的阻力。邊界層也有層流與湍流之分，與無旋流動(dòng)：渦量處處為零的流動(dòng)。（很多情況下可將流動(dòng)簡化為無旋流動(dòng)，如物體擾流的外部流場(chǎng)。）開爾文定理指出： 從靜止開始運(yùn)動(dòng)的均質(zhì)流體，除非運(yùn)動(dòng)到粘性力為主的區(qū)域（如邊界層內(nèi)），將始終保持為無旋。在外流流場(chǎng)中邊界層之外的區(qū)域均為無粘無旋流場(chǎng)。無旋流動(dòng)對(duì)大雷諾數(shù)繞流流動(dòng)分析有重要的意義。 B2.6.3 無