數(shù)學數(shù)學歸納法課件

1、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法重點難點重點：理解并熟練運用數(shù)學歸納法難點：數(shù)學歸納法的證明思路初始值n0的確定教材回扣夯實雙基重點難點教材回扣夯實雙基基礎梳理1歸納法歸納法有不完全歸納法和完全歸納法，如果我們考察了某類對象中的一部分，由這一部分具有某種特征而得出該類對象中的全體都具有這種特征的結論，為不完全歸納法基礎梳理由不完全歸納法得出的結論不一定都是正確的,其正確性還需進一步證明；如果我們考察了某類對象中的每一個對象，而得出該類對象的某種特征的結論為完全歸納法，由完全歸納法得出的結論一定是正確的，數(shù)學歸納法是一種完全歸納法由不完全歸納法得出的結論不一定都是正確的,其正確性還需進一步2數(shù)學歸納法一般地

2、，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：驗證當n取第一個值n0時結論成立；2數(shù)學歸納法(2)歸納遞推：假設當nk(kN*，且kn0)時結論成立推出nk1時結論也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數(shù)n(nn0)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學歸納法(2)歸納遞推：假設當nk(kN*，且kn0)時結論成3歸納、猜想與證明從觀察一些特殊的簡單的問題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質，運用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明(或否定)這種猜想，這個過程叫做“歸納猜想證明”3歸納、猜想與證明課前熱身課前熱身Ank1時等式成立Bnk2時等式成立Cn2

3、k2時等式成立 Dn2(k2)時等式成立答案：BAnk1時等式成立2用數(shù)學歸納法證明“12222n22n31”，在驗證n1時，左邊計算所得的式子為()A1 B12C1222 D122223答案：D2用數(shù)學歸納法證明“12222n22n3A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案：CA1 B1a4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_.答案：4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k數(shù)學數(shù)學歸納法考點探究講練互動考點突破考點1用數(shù)學歸納法證明恒等式用數(shù)學歸納法證明恒等式的關鍵是在證明nk1時命題成立，考點探究講練互動考點突破考點1用數(shù)學歸納法證明恒等式

4、要從nk1時待證的目標恒等式的一端“拼湊”出歸納假設的恒等式的一端，再運用歸納假設即可同時，還要注意待證的目標恒等式的另一端的變化，即用“k1”替換恒等式中的所有“n”要從nk1時待證的目標恒等式的一端“拼湊”出歸納假設的恒例1【思路分析】按數(shù)學歸納法的步驟進行證明即可例1【思路分析】按數(shù)學歸納法的步驟進行證明即可數(shù)學數(shù)學歸納法(2)假設nk時，結論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(2)假設nk時，結論成立，即數(shù)學數(shù)學歸納法【失誤分析】數(shù)學歸納法證明問題的關鍵除用上述歸納假設外，還要注意由

5、nk到nk1項數(shù)的變化情況，有時不一定就增加一項，【失誤分析】數(shù)學歸納法證明問題的關鍵除用上述歸納假設外，還數(shù)學數(shù)學歸納法考點2用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；考點2用數(shù)學歸納法證明不等式二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小對第二類形式，往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，再猜出從某個n值開始都成立的結論，最后用數(shù)學歸納法證明二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小對第二類形式，往往要例2例2數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法【規(guī)律方法】 用數(shù)學歸納法證明不等式，推導nk

6、1也成立時，證明不等式的常用方法，如比較法，分析法，綜合法均要靈活運用，在證明過程中，常利用不等式的傳遞性對式子放縮【規(guī)律方法】 用數(shù)學歸納法證明不等式，推導nk考點3歸納、猜想與證明“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式其一般思路是：考點3歸納、猜想與證明通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結論，然后用數(shù)學歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的問題中有著廣泛的應用其關鍵是歸納、猜想出公式通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結論，然后用數(shù)學歸納法證明例3 在數(shù)列a n與bn中，a11，b14，數(shù)列an的前n項和Sn滿足nSn1(n3)Sn0,2

7、an1為bn與bn1的等比中項，nN*.(1)求a2，b2的值；(2)求數(shù)列an與bn的通項公式例3 在數(shù)列a n與bn中，【思路分析】求an與bn的通項公式，先求an和bn的前幾項，猜想出an和bn，最后給出證明【思路分析】求an與bn的通項公式，先求an和bn數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法數(shù)學數(shù)學歸納法再證bn(n1)2，nN*，當n1時，b14，等式成立假設nk時，等式成立，即bk(k1)2，那么nk1時，再證bn(n1)2，nN*，數(shù)學數(shù)學歸納法【方法指導】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問

8、題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經(jīng)邏輯推理證明結論的正確性這種思維方式是推動數(shù)學研究和發(fā)展的重要方式【方法指導】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法考點4用數(shù)學歸納法證明幾何問題 平面上有n個圓，其中任何兩圓都相交，任何三圓不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)n2n2.例4考點4用數(shù)學歸納法證明幾何問題例4【思路分析】關鍵是nk到nk1的過渡，要想搞清f(k1)比f(k)多出平面區(qū)域的塊數(shù)，就要先弄清第k1個圓被原來的k個圓分成了多少段，每一段把它所在的原平面區(qū)域一分為二，為此先求出第k1個圓與原來的k個圓的交點個數(shù)即可【思路分析】關鍵是nk到nk

9、1的過渡，要想搞清f(k【證明】(1)當n1時，一個圓把平面分成兩個部分，又f(1)12122，所以n1時，命題成立【證明】(1)當n1時，一個圓把平面分成兩個部分，(2)假設nk時命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分則nk1時，第k1個圓與前k個圓中的每一個各有兩個交點，又無三圓相交于同一點，故共得2k個交點，這2k個交點把第k1個圓分成2k條圓弧，(2)假設nk時命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個圓把平面分每條圓弧把原來所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，所以當nk1時命題也成立由(1)(2)可

10、知，對一切正整數(shù)n，命題都成立每條圓弧把原來所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個，方法技巧1在數(shù)學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復雜的式子中，注意由nk到nk1時，式子中項數(shù)的變化，應仔細分析，觀察通項同時還應注意，不用假設的證法不是數(shù)學歸納法方法感悟方法技巧方法感悟2對于證明等式問題，在證nk1等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，以減少計算時的復雜程度；對于整除性問題，關鍵是湊假設；證明不等式時，一般要運用放縮法；證明幾何命題時，關鍵在于弄清由nk到nk1的圖形變化2對于證明等式問題，在證nk1等式也成立時，應及時把結3歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計

11、算、觀察、歸納，然后猜想出結論，再用數(shù)學歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務必保證猜想的正確性，同時必須注意數(shù)學歸納法步驟的書寫3歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計算、觀察失誤防范數(shù)學歸納法是用來證明與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種常用方法，應用時應注意以下三點：失誤防范(1)驗證是基礎數(shù)學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個n0就是要證明的命題對象的最小正整數(shù)，這個正整數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準起點，奠基要穩(wěn)”是正確運用數(shù)學歸納法第一個要注意的問題(1)驗證是基礎(2)遞推乃關鍵數(shù)學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k1”的過程，必須把歸納

12、假設“nk”作為條件來導出“nk1”時的命題，在推導過程中，要把歸納假設用上一次或幾次(2)遞推乃關鍵(3)尋找遞推關系在第一步驗證時，不妨多計算幾次，并爭取正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關系是有幫助的探求數(shù)列通項公式時要善于觀察式子的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置(3)尋找遞推關系在書寫f(k1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，除此之外，多了哪些項，少了哪些項要分清楚在書寫f(k1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤命題預測從近幾年的高考試題來看，用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的不等式以及與數(shù)列有關的命題是高考的熱點，題型為解答題，考向瞭望把脈高考命題預測考向

13、瞭望把脈高考主要考查用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的能力，同時考查學生分析問題、解決問題的能力，難度為中、高檔預測2013年廣東高考可能會以數(shù)列、有關的等式或不等式的證明為主要考點，重點考查學生運用數(shù)學歸納法解決問題的能力主要考查用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的能力，同時考查學生分析問題例規(guī)范解答 (本題滿分12分)(2010高考江蘇卷)已知ABC的三邊長都是有理數(shù)求證：(1)cosA是有理數(shù)；(2)對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)例規(guī)范解答 (本題滿分12分)(201數(shù)學數(shù)學歸納法當n1時，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA1cos2A也是有理數(shù). 4分假設當nk(k1)時，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)當nk1時，當n1時，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAs由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由cos(k1)A由和歸納假設，知cos(k1)A與sinAsin(k1)A都是有理數(shù)即當nk1時，結論成立. 11分綜合、可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù). 12分由和歸納假