數(shù)值分析習(xí)題與DOC

1、海量資源，歡迎共閱第一章緒論習(xí)題一1.設(shè)x0,x*解：求lnx的相對(duì)誤差為，求f(x)=lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限。的誤差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相對(duì)誤差滿(mǎn)足，而，故即以下各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入獲取的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。解：直接依照定義和式有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對(duì)誤差限有2位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，以下公式如何才比較正確？海量資源，歡迎共閱1）2）解：要使計(jì)算較正確，主若是防備兩周邊數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。1）2）4.近似數(shù)x*=0.0310,是3位有數(shù)數(shù)字。5.計(jì)算取，利用：式計(jì)算誤差最小。四個(gè)選項(xiàng)：第二、三章

2、插值與函數(shù)逼近習(xí)題二、三1.給定的數(shù)值表用線性插值與二次插值計(jì)算ln0.54的近似值并估計(jì)誤差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并應(yīng)用誤差估計(jì)（5.8）。線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，用Newton插值海量資源，歡迎共閱誤差限，因，故二次插值時(shí)，用0.5，0.6，0.7三點(diǎn)，作二次Newton插值誤差限，故2.在-4x4上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不高出，函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少?解：用誤差估計(jì)式（5.8），令因得3.若，求和.海量資源，歡迎共閱解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是4.若互異，求的值，這里pn+1.解：，由均差對(duì)稱(chēng)性可知

3、當(dāng)有而當(dāng)Pn1時(shí)于是得5.求證.解：解：只要按差分定義直接張開(kāi)得6.已知的函數(shù)表海量資源，歡迎共閱求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(0.23)的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.解：依照給定函數(shù)表構(gòu)造均差表由式(5.14)當(dāng)n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余項(xiàng)表達(dá)式(5.15)可得由于7.給定f(x)=cosx的函數(shù)表用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并估計(jì)誤差海量資源，歡迎共閱解

4、：先構(gòu)造差分表計(jì)算，用n=4得Newton前插公式誤差估計(jì)由公式（5.17）得其中計(jì)算時(shí)用Newton后插公式5.18)海量資源，歡迎共閱誤差估計(jì)由公式（5.19）得這里仍為0.5658求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿(mǎn)足解：這種題目能夠有很多方法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)單為宜。此處可先造使它滿(mǎn)足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A，于是9.令稱(chēng)為第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式，試求的表達(dá)式，并證明是-1,1上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。解：因海量資源，歡迎共閱10.用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合以下數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.解：本題給出擬合曲線，即，

5、故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為填空題(1)滿(mǎn)足條件的插值多項(xiàng)式海量資源，歡迎共閱p(x)=().(2),則f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3)設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則()，().設(shè)是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為(x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列，其中，則()，()答：1）2）3）4）第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題41.分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計(jì)算以下積分.解本題只要依照復(fù)合梯形公式（6.11）及復(fù)合Simpson海量資源，歡迎共閱公式（6.13）直接計(jì)算即可。對(duì)按式（6.11，取n=8,）求出在分點(diǎn)處計(jì)算，按式（f(x)

6、6.13的值構(gòu)造函數(shù)表。）求得，積分2.用Simpson公式求積分，并估計(jì)誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估計(jì)誤差，因，故確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所擁有的代數(shù)精確度.(1)(2)(3)解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。（1）令代入公式兩端并使其相等，得海量資源，歡迎共閱解此方程組得，于是有再令，得故求積公式擁有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對(duì)不正確建立，故求積公式擁有3次代數(shù)精確度。（3）令代入公式精確建立，得解得，得求積公式對(duì)故求積公式擁有2次代數(shù)精確度。海量資源，歡迎共閱

7、4.計(jì)算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過(guò)，問(wèn)區(qū)間要分為多少均分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間解：由Simpson公式余項(xiàng)及應(yīng)分為多少均分?得即，取n=6，即區(qū)間分為12均分可使誤差不高出對(duì)梯形公式同樣，由余項(xiàng)公式得即取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不高出5.用Romberg求積算法求積分，取解：本題只要對(duì)積分使用Romberg算法（6.20），計(jì)算到K3，結(jié)果以下表所示。海量資源，歡迎共閱于是積分，積分正確值為0.7132726用三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分.解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。由于區(qū)間為，所以先做變換于是本題精確值7用三點(diǎn)

8、Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算即于是，因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是海量資源，歡迎共閱，即故試確定常數(shù)A，B，C，及，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少.它可否為Gauss型的求積公式?解：本題仍可依照代數(shù)精確度定義確定參數(shù)滿(mǎn)足的方程，令對(duì)公式精確建立，獲取由（2）（4）得A=C，這兩個(gè)方程不獨(dú)立。故可令，得5）由（3）（5）解得則有求積公式，代入（1）得令公式精確建立，故求積公式擁有5次代數(shù)精確度。三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。海量資源，歡迎共閱第五章解線性方程

9、組的直接法習(xí)題五用Gauss消去法求解以下方程組.解本題是Gauss消去法解詳盡方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。故2.用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值解：先選列主元，2行與1行交換得海量資源，歡迎共閱消元3行與2行交換消元回代得解行列式得3.用Doolittle分解法求的解.解：由矩陣乘法得再由求得由解得海量資源，歡迎共閱下述矩陣可否作Doolittle分解，若能分解，分解式可否唯一?解：A中，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能夠分解，但，若A中1行與2行交換，則可分解為L(zhǎng)U對(duì)B，顯然，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意常數(shù)，且U奇異。C可

10、分解，且唯一。5.用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b，其中解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式（海量資源，歡迎共閱用平方根法解方程組解：用分解直接算得由及求得7.設(shè)，證明解：即，另一方面故8設(shè)計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2范數(shù)解：故海量資源，歡迎共閱9設(shè)為上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明證明：依照矩陣算子定義和定義，得令，因P非奇異，故x與y為一對(duì)一，于是10.求下面兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì).，即，即解：記則的解，而的解故而由（3.12）的誤差估計(jì)得海量資源，歡迎共閱表示估計(jì)略大，是吻合實(shí)質(zhì)的。是非題（若是在尾端（）填+,不是填-）：題目中（1）若范數(shù)A（對(duì)稱(chēng)正定）,則是上的一

11、種向量（2）定義是一種范數(shù)矩陣（）（3）定義是一種范數(shù)矩陣（）（4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣（）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若A對(duì)稱(chēng)正定,則A可分解為，其中L為對(duì)角元素為正的下三角陣（）（7）對(duì)任何都有（）（8）若A為正交矩陣，則（）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章解線性方程組的迭代法海量資源，歡迎共閱習(xí)題六1.證明對(duì)于任意的矩陣A，序列收斂于零矩陣解：由于而故方程組觀察用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.寫(xiě)出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以計(jì)算到為止

12、解：由于擁有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故J法與GS法均收斂。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有海量資源，歡迎共閱GS迭代法計(jì)算公式為取設(shè)方程組證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散解：Jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為海量資源，歡迎共閱其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。以下兩個(gè)方程組Ax=b，若分別用J法及GS法求解，可否收斂?解：Jacobi法的迭代矩陣是即，故，J法收斂、GS法的迭代矩陣為故，解此方程組的GS法不收斂。5.設(shè)，detA0，用,b表示解方程組A

13、x=f海量資源，歡迎共閱的J法及GS法收斂的充分必要條件.解J法迭代矩陣為，故J法收斂的充要條件是。GS法迭代矩陣為由得GS法收斂得充要條件是6.用SOR方法解方程組(分別取=1.03,=1,=1.1)精確解，要求當(dāng)時(shí)迭代停止，并海量資源，歡迎共閱對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為取，當(dāng)時(shí)，迭代5次達(dá)到要求若取，迭代6次得對(duì)上題求出SOR迭代法的最優(yōu)廢弛因子及漸近收斂速度，并求J法與GS法的漸近收斂速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩陣為，故，因A為對(duì)稱(chēng)正定三對(duì)角陣，最優(yōu)廢弛因子法收斂速度海量資源，歡迎共閱由于，故若要求，于是迭代次數(shù)對(duì)

14、于J法，取K15對(duì)于GS法，取K8對(duì)于SOR法，取K5填空題(1)要使應(yīng)滿(mǎn)足（）.Jacobi迭代法可否收斂（）.它的漸近收斂速度R(B)=（）.(3)設(shè)方程組Ax=b,其中是（）.GS法的迭代矩陣是（）.其J法的迭代矩陣(4)用GS法解方程組法收斂的充要條件是a滿(mǎn)足（）.，其中a為實(shí)數(shù)，方海量資源，歡迎共閱(5)給定方程組,a為實(shí)數(shù).當(dāng)a滿(mǎn)足（），且02時(shí)SOR迭代法收斂.答:(1)(2)J法是收斂的，(3)J法迭代矩陣是，GS法迭代矩陣滿(mǎn)足滿(mǎn)足第七章非線性方程求根習(xí)題七1.用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05解使用二分法先要確定有根區(qū)間。本題f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1

15、,f(2)=1,故區(qū)間1,2為有根區(qū)間。另一根在-1,0內(nèi)，故正根在1,2內(nèi)。用二分法計(jì)算各次迭代值如表。其誤差海量資源，歡迎共閱2.求方程在=1.5周邊的一個(gè)根，將方程改寫(xiě)成以低等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式.(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.試解析每種迭代公式的收斂性，并采用一種收斂最快的方法求擁有4位有效數(shù)字的近似根解：（1）取區(qū)間且，在且，在中，則L1，滿(mǎn)足收斂定理?xiàng)l件，故迭代收斂。（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。（3），在周邊，故迭代法發(fā)散。在迭代（1）及（2）中，由于（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取，則海量資源，歡迎共閱3.設(shè)方程的迭代法(1)證明對(duì),均有,其中為方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使誤差不高出,并列出各次迭代值.此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論解：（1）迭代函數(shù)，對(duì)有，（2）取，則有各次迭代值取，其誤差不高出3）故此迭代為線性收斂4.給定函數(shù)，設(shè)對(duì)所有x,存在，而且.證明對(duì)的任意常數(shù),迭代法均收斂于方程的根解：由于，為單調(diào)增函數(shù)，故方程是唯一的（假定方程有根）。迭代函數(shù)。令，則的根，由遞海量資源，歡迎共閱推有，即5.用Steffensen方法計(jì)算第2題中(2)、(3)的近似根，精確到解:在(2)中,令,則有令,得,與第2