線性代數(shù)各章課件第四章4

1、第四章 向量空間主要內(nèi)容及知識(shí)結(jié)構(gòu)其它元素的集合引進(jìn)線性表示、相關(guān)無(wú)關(guān)、極大無(wú)關(guān)組、秩需滿足條件線性空間定義無(wú)限向量集合向量空間極大無(wú)關(guān)組、秩的概念的推廣：基、維數(shù)、基變換、坐標(biāo)變換，向量長(zhǎng)度、正交，標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣線性方程組解的理論、結(jié)構(gòu)推廣推廣 第四章主要內(nèi)容向量的線性表示、相關(guān)無(wú)關(guān)、極大無(wú)關(guān)組、秩有限向量特殊拓展應(yīng)用4.1 向量空間1線性空間 則稱V是數(shù)域F上的線性空間.定義1 設(shè)V是非空集合, F是數(shù)域. 如果在V上定義了加法，（加號(hào)記作“ ”），數(shù)乘（乘號(hào)記“ ”）且滿足八條運(yùn)算律：(3)含 元素，對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉一、向量空間【說(shuō)明】加法運(yùn)算即V中任意兩元素 , 按某一法則在

2、V中都有唯一的一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng),記作 .數(shù)乘運(yùn)算即V中任意元素 和數(shù)域F中的任意數(shù)k, 按某一法則在V中都有唯一的一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng),記作 答 (1)、 (2) 都是R上的線性空間.例1 下列集合對(duì)于所給運(yùn)算與數(shù)域是否構(gòu)成線性空間 (2) （即全體正實(shí)數(shù)集合）實(shí)數(shù)域R 定義加法 數(shù)乘(1) ，實(shí)數(shù)域R，矩陣加法，數(shù)乘為二階方陣?yán)? (3) 向量加法與數(shù)乘, 數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R從本章開(kāi)始不特意說(shuō)明均為列向量!零空間答 (1), (2), (3)是線性空間, 而(4), (5)不是.【注】由線性空間定義知，判斷一個(gè)集合是否可以構(gòu)成線性空間，關(guān)鍵看是否非空，是否對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉，是否含有零元素，

3、對(duì) V 中任意元素的負(fù)元素是否仍在 V 中, 并驗(yàn)證是否滿足8條運(yùn)算律. 定義2 如果數(shù)域F上的線性空間V有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素，且任意n+1個(gè)元素都線性相關(guān)(即V中任一個(gè)元素都可以用這n個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素線性表示), 則V稱為n維線性空間. 其中 n 稱為V的維數(shù)，記為dimV=n; n個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素稱為V的一組基.2線性空間的維數(shù)與基例1（續(xù)）求下列線性空間的基與維數(shù).(1) ，實(shí)數(shù)域R，矩陣加法，數(shù)乘為二階方陣沒(méi)有基,則dimV=0(3) 向量加法與數(shù)乘, 數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R3. 向量空間定義3 設(shè)V是非空實(shí)數(shù)域向量集合，F(xiàn)是實(shí)數(shù)域R即對(duì)于向量加法與數(shù)乘構(gòu)成線性空間，則稱V是實(shí)數(shù)域上的n維向

4、量空間.稱其為n維向量空間,思考n的涵義？【說(shuō)明】 線性空間是比向量空間更具有普遍性的概念. 由于線性空間是從向量空間抽象出來(lái)的, 所以線性空間的元素也稱為向量, 線性空間也稱為向量空間.1關(guān)于 的基的幾點(diǎn)解釋(1)基本單位向量組 是一組非常漂亮的基；(2)任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量都是 的一組基,故基不唯一；(3) 為一組基(4) 中任意一組無(wú)關(guān)向量都可以擴(kuò)充為 的一組基. 如 即 的又一組基.自然基二、 n維向量空間 的基與坐標(biāo)可逆.2向量的坐標(biāo)定義4 設(shè) 是 的一組基，若稱 為 關(guān)于基 的坐標(biāo). 【注】向量 關(guān)于一組基的坐標(biāo)唯一. 關(guān)于一組基的坐標(biāo)是否唯一?但關(guān)于不同的基,其坐標(biāo)一般不同

5、.(2)求 關(guān)于如下幾組基的坐標(biāo).1） ； 2） ； 3）例2 (1) 求 關(guān)于基 與基 的坐標(biāo). 解析 (1) (2)故 關(guān)于三組基的坐標(biāo)分別為解析(3) 求 關(guān)于基 的坐標(biāo).解析 令 (相當(dāng)于求解非齊次線性方程組)并求 關(guān)于基 的坐標(biāo). (4) 證明 是 的一組基， 【注】求坐標(biāo)的方法與利用矩陣初等行變換將某向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示的方法本質(zhì)相同.求坐標(biāo)思路同(3)答案: 只需證解析 引 n維向量空間 基不唯一，討論基之間的關(guān)系； 向量需要用不同基表示，討論向量關(guān)于不同基坐標(biāo)之間的關(guān)系.1過(guò)渡矩陣稱 為由 到 的基變換公式. 則稱A為由基 到基 的過(guò)渡矩陣；定義5 設(shè) 和 是 兩組基，它們

6、之間的關(guān)系為 簡(jiǎn)記為 ，其中 思考:A中元素的涵義?【注1】A中第1列為 關(guān)于 的坐標(biāo)，其余類推； 三、基變換與坐標(biāo)變換【注2】過(guò)渡矩陣A可逆;【注3】由 到 的過(guò)渡矩陣為2坐標(biāo)變換定理1 設(shè) 和 為 的兩組基，向量 關(guān)于 的坐標(biāo)為 關(guān)于 的坐標(biāo)為 則例3 (1)求由基 到 的過(guò)渡矩陣.向量(2) 設(shè)三維向量空間 的兩組基為求基 到基 的過(guò)渡矩陣及向量 關(guān)于兩組基的坐標(biāo). 解析 (1)(2) 由則只需求出 下的坐標(biāo) , 即 例4設(shè) 是 的一組基，又知（1）證明： 和 是 的一組基;（2）求由基 到 的過(guò)渡矩陣;（3）求基 與 的坐標(biāo)變換公式（4）求 關(guān)于基 的坐標(biāo). 解析 (1)(2)B則例4

7、設(shè) 是 的一組基，又知（3）求基 與 的坐標(biāo)變換公式（4）求 關(guān)于基 的坐標(biāo).則有(4) (3) 由解析又知 （1）例5 設(shè)三維向量空間 的向量 關(guān)于基 的坐標(biāo)為 ,關(guān)于基 的坐標(biāo)為 求由基 到 的過(guò)渡矩陣.解析 本題為已知兩組基的坐標(biāo)變換公式,欲求基變換公式.由(1)式知,由 的過(guò)渡矩陣A則 過(guò)渡陣為1. 子空間定義定義6 設(shè)L是 的一個(gè)非空子集，如果L關(guān)于向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域R上的向量空間，則稱L為 的一個(gè)子空間.例如2. 子空間判定定理 定理2 L是 的非空子集, L是 的子空間 L對(duì)加法、數(shù)乘運(yùn)算封閉. 【注】1僅含n維零向量的集合是 的子空間， 稱為零空間；零空間和

8、是 的子空間, 稱為平凡子空間, 而其它子空間稱為非平凡子空間. 2dimLdim =n； 3基的概念在子空間中適用.四、子空間及其維數(shù)例6 空間中xoy面上向量集合 是否構(gòu)成3維向量空間 的子空間?答: 是.例7 判別下列集合是否為Rn的子空間？(1) V1= x = (1, x2, ,xn)T| x2, ,xnR(2) V2=x=(0, x2, ,xn)T| x2, ,xnR例8 設(shè) , 是兩個(gè)已知的 n 維向量, 集合V = x = | , R , 試判斷 V 是否為Rn的子空間.思考:如何確定基與維數(shù)?【注】1 的極大無(wú)關(guān)組即生成子空間 的一組基.2dim =3生成子空間是 的一個(gè)子空

9、間,稱為 的生成子空間，記作 .【注】齊次線性方程組 AX=o 的所有解組成的解空間, 可以看成是由其基礎(chǔ)解系生成的子空間.例如: 例9 求 中向量 的生成子空間的維數(shù)和一組基.提示: 實(shí)質(zhì)是找該向量組的極大無(wú)關(guān)組,即將向量寫(xiě)作列向量構(gòu)造矩陣做初等行變換找出極大無(wú)關(guān)組.例10 求齊次線性方程組的解空間的維數(shù)和一組基. 解析 即求一個(gè)基礎(chǔ)解系.例11 設(shè)向量組與等價(jià), 證明：V1=V2.證明 設(shè) 則 x 可由 線性表示.與等價(jià), 故 x 可 因?yàn)橛?線性表示.即同理可證, 【結(jié)論】 任意兩個(gè)等價(jià)的向量組的生成子空間相等.的極大無(wú)關(guān)組為則設(shè)向量組【本節(jié)內(nèi)容說(shuō)明】 （2）若向量組 是向量空間 的一組基，則 可表示為 （1）若把向量空間 看作向量組， 則 的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的秩.基基向量坐標(biāo)坐標(biāo)過(guò)渡矩陣基本概念 線性空間、向