《相交線與平行線》 基礎(chǔ)知識(shí)詳解

1、相交線與平行線目錄一、相交線，垂線二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角三、平行線及其判定四、平行線的性質(zhì)及平移一、相交線，垂線基礎(chǔ)知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角要點(diǎn)詮釋?zhuān)旱氖莾蓚€(gè)角的和為 180(2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角(4)鄰補(bǔ)角滿(mǎn)足的條件：有公共頂點(diǎn)；有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.2. 對(duì)頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角（2

2、）性質(zhì)：對(duì)頂角相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角(2)對(duì)頂角滿(mǎn)足的條件：相等的兩個(gè)角；有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：角的名稱(chēng)特征性 質(zhì)相 同 點(diǎn)不 同 點(diǎn)對(duì)頂角兩條直線相交形成的角；對(duì)頂角相等. 都是兩條直線相 有無(wú)公共邊；交而成的角； 兩直線相交都有一個(gè)公共頂 點(diǎn)； 2 都 是 成 對(duì) 出 現(xiàn) 4 對(duì).有一個(gè)公共頂點(diǎn)；沒(méi)有公共邊.鄰補(bǔ)角兩條直線相交而成；鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 的.有一個(gè)公共頂點(diǎn)；有一條公共邊.知識(shí)點(diǎn)二、垂線1垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條

3、直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足要點(diǎn)詮釋?zhuān)篴 b(1)記法：直線 a與 b垂直，記作：；直線 AB 和 CD 垂直于點(diǎn) O，記作：ABCD 于點(diǎn) O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有： 90CDAB2垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作

4、已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段3垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐挥小闭f(shuō)明了垂線的存在性和唯一性（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題4點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)

5、，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度初中數(shù)學(xué)典型題思路分析價(jià)格及說(shuō)明1.全 套資 料共 7 冊(cè) 14 本（七上九下+綜合共 7 冊(cè)）；每?jī)?cè)分 解析 版和原題 版兩 本； 有和 教材 同步 的多 個(gè)版 本可 選。2.每 冊(cè)（ 2 本）包郵價(jià) 格 60 元；兩冊(cè)及 以上每?jī)?cè) 50 元包郵；全 套 7 冊(cè)（14 本） 300 元包 郵； 已購(gòu) 買(mǎi)者 需購(gòu) 買(mǎi)全 套補(bǔ) 尾款 即可。3. 贈(zèng)送說(shuō)明：（百度網(wǎng)盤(pán)發(fā)送，購(gòu)買(mǎi)全套以下全部贈(zèng)送）A.全 套初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)名師精品視頻課程（保證全部名師精講）。B.購(gòu) 買(mǎi)滿(mǎn) 2 冊(cè)即贈(zèng)送重點(diǎn)推薦的初中幾何解題思路方法培訓(xùn)視頻課程。C.基

6、礎(chǔ)典型題電子版資料（亮點(diǎn)：初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講解分析）。4.免費(fèi) qq 資料 群（ 群號(hào) 453495932 ）提 供數(shù) 學(xué)專(zhuān) 題資 料和 基礎(chǔ) 典型 題資料 免費(fèi) 下載 ，微信：2781202173 。5.更多 典型 題分 析見(jiàn) 公眾 號(hào)，微信 搜索 公眾 號(hào)“初中數(shù)學(xué)解題思路”或“l(fā)ishi_shuxue”關(guān)注即可 。初中數(shù)學(xué)典型題思路分析亮點(diǎn)：內(nèi)容為王！A.題目典型易錯(cuò)，重思路分析“漁、魚(yú)”兼得！按照到標(biāo)注難度。B.整體難度較大.嚴(yán)格選題，標(biāo)注難度，不用浪費(fèi)時(shí)間重復(fù)做簡(jiǎn)單題。二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角基礎(chǔ)知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念1. “三線八角”模型如圖

7、，直線 AB、CD 與直線 EF 相交(或者說(shuō)兩條直線 AB、CD 被第三條直線 EF 所截)，構(gòu) 1.圖 1要點(diǎn)詮釋?zhuān)簝蓷l直線 AB,CD 與同一條直線 EF 相交“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成2. 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義在“三線八角”中，如上圖 1，（1）同位角：像1與5，這兩個(gè)角分別在直線 AB、CD的同一方，并且都在直線 EF 的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角.（2）內(nèi)錯(cuò)角：像3與5，這兩個(gè)角都在直線 AB、CD之間，并且在直線 EF 的兩側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（3）同旁?xún)?nèi)角：像3和6 都在直線 AB、CD之間，并且在直線EF 的同一旁，像

8、這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角.(2)“三線八角”中共有 4 對(duì)同位角，2 對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2 對(duì)同旁?xún)?nèi)角要點(diǎn)二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角位 置特征及形狀特征要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵擅钭R(shí)別三線八角的兩種方法：(1)巧記口訣來(lái)識(shí)別： 一看三線，二找截線，三查位置來(lái)分辨.(2)借助方位來(lái)識(shí)別根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時(shí)依方位來(lái)識(shí)別，如圖2三、平行線及其判定基礎(chǔ)知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的定義及畫(huà)法1定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a 與 b 平行，記

9、作ab要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)平行線的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時(shí)說(shuō)兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系2平行線的畫(huà)法：用直尺和三角板作平行線的步驟：落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過(guò)已知點(diǎn).畫(huà)：沿著這條斜邊畫(huà)一條直線,所畫(huà)直線與已知直線平行.要點(diǎn)二、平行公理及推論1平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只

10、有一條直線與這條直線平行2推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)(2（3.要點(diǎn)三、直線平行的判定判定方法 1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言： 32 ABCD（同位角相等，兩直線平行）判定方法 2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言： 12 ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法 3：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言： 42180 ABCD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)詮釋?zhuān)浩叫芯€的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.四、平行線的性質(zhì)及平移基

11、礎(chǔ)知識(shí)講解【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的性質(zhì)性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?可忽視前提 (2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)要點(diǎn)二、兩條平行線的距離同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是兩條平行線的距離(2) 兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等要點(diǎn)三、

12、命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）命題的結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2.”（3）真命題與假命題：真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證實(shí)得到的另一個(gè)真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明.要點(diǎn)詮釋?zhuān)憾x、基本事實(shí)、定理等.（2）判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一

13、個(gè)反例即可要點(diǎn)四、平移1. 定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2. 性質(zhì)：圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來(lái)說(shuō)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?(2)要注意“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”與“對(duì)應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過(guò)連接平移前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的，而后者是原來(lái)的圖形與平

14、移后的圖形上本身存在的.3. 作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時(shí)，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”定、找、移、連(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連：按原圖形順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1熟練掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2. 區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3. 了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過(guò)證明或舉反例判定命題的真假；4. 了解平移的概念及性質(zhì).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同

15、關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系21對(duì)頂角相等即1=2對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)3 與4 有一 鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)邊互為反向延長(zhǎng)線.3+4=180要點(diǎn)詮釋?zhuān)簩?duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.如果與是對(duì)頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對(duì)頂角.如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+=180；反之如果+=180，則與不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：

16、當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖 1 ABCD，垂足為 O.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂袛鄡蓷l直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì) 1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記).垂線性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖 2：POAB，點(diǎn) P到直線 AB 的

17、距離是垂線段 PO 的長(zhǎng).要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍咕€段 PO 是點(diǎn) P 到直線 AB 所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)二、平行線1平行線的判定判定方法 1：同位角相等，兩直線平行判定方法 2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定方法 3：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鶕?jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2平行線的性質(zhì)性質(zhì) 1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì) 2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì) 3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鶕?jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直3兩條平行線間的距離如圖 3，直線 ABC