高中數(shù)學圓的方程課件

1、第三節(jié)圓 的 方 程 第三節(jié)高中數(shù)學圓的方程課件【教材基礎回顧】1.圓的方程標準方程(x-a)2+(y-b)2= r2(r0)圓心_半徑為_一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0條件:_圓心:_ 半徑:_ (a,b)rD2+E2-4F0【教材基礎回顧】標準方程(x-a)2+(y-b)2= r2(2.點與圓的位置關系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系(1)點M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2_r2.(2)點M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2_r2.(3)點M(x0,y0)在圓內,則(x0-a)2+(y0-b)2_r2. =

2、0.2.解決與圓上點(x,y)有關的最值問題:轉化為與圓心有關的最值問題. 【金榜狀元筆記】【教材母題變式】1.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)【解析】選D.圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標是(2,-3).【教材母題變式】2.過點A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=42.過點A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x

3、+y-【解析】選C.設圓心C的坐標為(a,b),半徑為r,因為圓心C在直線x+y-2=0上,所以b=2-a.因為|CA|2=|CB|2,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2.所以a=1,b=1.所以r=2.所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.【解析】選C.設圓心C的坐標為(a,b),半徑為r,因為圓心3.(2016全國卷)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0 的距離為1,則a=() 3.(2016全國卷)圓x2+y2-2x-8y+13=0【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標準方程為:(x-1)2+(y-4)2=

4、4,故圓心為(1,4),d= 解得a=- .【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標準方程4.ABC的三個頂點分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),則其外接圓的方程為_.4.ABC的三個頂點分別為A(-1,5),B(-2,-2)【解析】方法一:設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則根據(jù)題意得故所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0.解得【解析】方法一:設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=方法二:由題意可求得線段AC的中垂線方程為x=2,線段BC的中垂線方程為x+y-3=0,所以圓心是兩中垂線的交點

5、(2,1),半徑r= 故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0 方法二:由題意可求得線段AC的中垂線方程為x=2,線段【母題變式溯源】題號知識點源自教材1圓的幾何要素P124A組T12圓的標準方程P120例33圓的應用P107例54圓的方程P119例2【母題變式溯源】題號知識點源自教材1圓的幾何P124A組2考向一 求圓的方程【典例1】(1)圓心在y軸上,半徑長為1,且過點A(1,2)的圓的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=4

6、考向一 求圓的方程(2)圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的方程為_.(2)圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B【解析】(1)選A.根據(jù)題意可設圓的方程為x2+(y-b)2=1,因為圓過點A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.【解析】(1)選A.根據(jù)題意可設圓的方程為x2+(y-b)2【巧思妙解】選A.因為圓心在y軸上,所以排除C;因為半徑長為1,所以排除D;把點A的坐標代入方程知A選項成立.【巧思妙解】選A.因為圓心在y軸上,所以排除C;因為半徑長為(2)設點C為圓心,因為點C在

7、直線x-2y-3=0上,所以可設點C的坐標為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過A,B兩點,所以|CA|=|CB|,即 (2)設點C為圓心,因為點C在直線x-2y-3=0上,所以可解得a=-2,所以圓心C的坐標為(-1,-2),半徑r= ,故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.答案:(x+1)2+(y+2)2=10解得a=-2,【一題多解微課】本例題(2)還可以采用以下方法求解:方法一:設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意得 【一題多解微課】本例題(2)還可以采用以下方法求解:解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.答案

8、:(x+1)2+(y+2)2=10解得a=-1,b=-2,r2=10,方法二:設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標為 ,由題意得 方法二:解得D=2,E=4,F=-5.故所求圓的方程為x2+y2+2x+4y-5=0.答案:x2+y2+2x+4y-5=0解得D=2,E=4,F=-5.故所求圓的方程為x2+y2+2【技法點撥】1.求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質,直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.【技法點撥】(2)待定系數(shù)法:根據(jù)題意,選擇標準方程與一般方程;根據(jù)條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組;解出a,b,r或D,E,F,代入標準方程或一般方

9、程.(2)待定系數(shù)法:2.確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上.(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上.(3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線.提醒:解答圓的有關問題,應注意數(shù)形結合,充分運用圓的幾何性質.2.確定圓心位置的方法【同源異考金榜原創(chuàng)】1.圓心在x軸上,半徑長為2,且過點A(2,1)的圓的方程是()A.(x-2- )2+y2=4 B.(x-2+ )2+y2=4C.(x-2 )2+y2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=4【同源異考金榜原創(chuàng)】【解析】選C.根據(jù)題意可設圓的方程為(x-a)2+y2=4,因為圓過點A(2,1),所以(2-a)2+12=4,解得a=2 ,

10、所以所求圓的方程為(x-2 )2+y2=4.【解析】選C.根據(jù)題意可設圓的方程為(x-a)2+y2=4,2.與x軸切于原點且過點(2,1)的圓的方程是_.2.與x軸切于原點且過點(2,1)的圓的方程是_【解析】設圓心坐標為(0,r),則方程為x2+(y-r)2=r2,代入點的坐標求得r= ,所以圓的方程為x2+ 答案:x2+ 【解析】設圓心坐標為(0,r),則方程為x2+(y-r)2=考向二 與圓有關的軌跡問題【典例2】(1)(2018貴陽模擬)已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點P的軌跡方程為_.考向二 與圓有關的軌跡問題(2)在平面直角坐

11、標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2 ,在y軸上截得線段長為2 .世紀金榜導學號12560259求圓心P的軌跡方程;若P點到直線y=x的距離為 ,求圓P的方程.(2)在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段【解析】(1)設P(x,y),圓心C(1,1).因為P點是過點A的弦的中點,所以 又因為 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y).所以(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.所以P點的軌跡方程為 答案: 【解析】(1)設P(x,y),圓心C(1,1).【一題多解】本題還可以采用以下方法:由已知得,PAPC,所以由圓的性質知點P在以AC為直徑的圓上,圓心C(1,

12、1),而AC中點為 ,|AC|= 所以半徑為 .所求動點P的軌跡方程為 答案: 【一題多解】本題還可以采用以下方法:(2)設P(x,y),圓P的半徑為r,則y2+2=r2,x2+3=r2,所以y2+2=x2+3,即y2-x2=1.所以P點的軌跡方程為y2-x2=1;設P的坐標為(x0,y0),則 即|x0-y0|=1.所以y0=x01.當y0=x0+1時,由y02-x02=1,得(x0+1)2-x02=1,所以 所以r2=3,(2)設P(x,y),圓P的半徑為r,則y2+2=r2,x所以圓P的方程為x2+(y-1)2=3;當y0=x0-1時,由y02-x02=1,得(x0-1)2-x02=1,

13、所以 所以r2=3,所以圓P的方程為x2+(y+1)2=3.綜上所述,圓P的方程為x2+(y1)2=3.所以圓P的方程為x2+(y-1)2=3;【誤區(qū)警示】在求與圓有關的軌跡方程時,一定要做到該分類討論的要分類討論,該舍去的點一定要舍去.【誤區(qū)警示】在求與圓有關的軌跡方程時,一定要做到該分類討論的【一題多變】若將本例(1)中點A(2,3)換成圓上的點B(1,4),其他條件不變,則這些弦的中點P的軌跡方程為_.【一題多變】若將本例(1)中點A(2,3)換成圓上的點B(1【解析】設P(x,y),圓心C(1,1).當點P與點B不重合時,因為P點是過點B的弦的中點,所以 又因為 =(1-x,4-y),

14、 =(1-x,1-y).所以(1-x)(1-x)+(4-y)(1-y)=0.所以點P的軌跡方程為(x-1)2+ 【解析】設P(x,y),圓心C(1,1).當點P與點B不重合當點P與點B重合時,點P滿足上述方程.綜上所述,點P的軌跡方程為(x-1)2+ 答案:(x-1)2+ 當點P與點B重合時,點P滿足上述方程.【技法點撥】與圓有關的軌跡問題的四種求法【技法點撥】【同源異考金榜原創(chuàng)】1.以線段AB:x+y-2=0(0 x2)為直徑的圓的方程為()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=8【同源異考金榜原

15、創(chuàng)】【解析】選B.直徑的兩端點分別為(0,2),(2,0),所以圓心為(1,1),半徑為 ,故圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.【解析】選B.直徑的兩端點分別為(0,2),(2,0),2.已知過A(0,1)和B(4,a)且與x軸相切的圓只有一個,求a的值及圓的方程.世紀金榜導學號125602602.已知過A(0,1)和B(4,a)且與x軸相切的圓只有一個【解析】設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因為點A,B在此圓上,所以E+F+1=0,4D+aE+F+a2+16=0,又知該圓與x軸(直線y=0)相切,所以由=0D2-4F=0,【解析】設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey

16、+F=0,由,消去E,F可得: (1-a)D2+4D+a2-a+16=0,由題意方程有唯一解,當a=1時,D=-4,E=-5,F=4;當a1時由=0可解得a=0,這時D=-8,E=-17,F=16.綜上可知,所求a的值為0或1,當a=0時圓的方程為x2+y2-8x-17y+16=0;當a=1時,圓的方程為x2+y2-4x-5y+4=0.由,消去E,F可得: (1-a)D2+4D+a2-考向三 與圓有關的最值問題 高頻考點考向三 與圓有關的最值問題 高頻考點【典例3】(1)已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則世紀金榜導學號12560261 的最大值為_;y-x的最大值和最小值分別為

17、_;x2+y2的最大值和最小值分別為_.【典例3】(1)已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=(2)(2018廈門模擬)設點P(x,y)是圓:x2+(y-3)2=1上的動點,定點A(2,0),B(-2,0),則 的最大值為_.世紀金榜導學號12560262(2)(2018廈門模擬)設點P(x,y)是圓:x2+(y【解析】(1)原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心, 為半徑的圓. 的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,所以設 =k,即y=kx.當直線y=kx與圓相切時(如圖),斜率k取最大值或最小值,此時 ,解得k= .所以 的最大值為 .【解析】(1)原方程可化為(

18、x-2)2+y2=3,表示以(2答案: 答案: y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時 = ,解得b=-2 ,所以y-x的最大值為-2+ ,最小值為-2- . y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,當答案:-2+ ,-2- 答案:-2+ ,-2- 方法一:x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為2.所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .方法一:x2+y2表示圓

19、上的一點與原點距離的平方,由方法二:由x2+y2-4x+1=0,得(x-2)2+y2=3.設 (為參數(shù)),則x2+y2=(2+ cos )2+( sin )2=7+4 cos .所以當cos =-1時,(x2+y2)min=7-4 ,當cos =1時,(x2+y2)max=7+4 .答案:7+4 ,7-4 方法二:由x2+y2-4x+1=0,得(x-2)2+y2=3(2)由題意,知 =(2-x,-y), =(-2-x,-y),所以 =x2+y2-4,由于點P(x,y)是圓上的點,故其坐標滿足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以 =-(y-3)2+1+y2-4=6y-12

20、.易知2y4,所以,當y=4時, 的值最大,最大值為64-12=12.答案:12(2)由題意,知 =(2-x,-y), =(-2-x【技法點撥】求解與圓有關的最值問題的方法(1)借助幾何性質求與圓有關的最值問題,根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結合思想求解.【技法點撥】形如= 形式的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題或轉化為線性規(guī)劃問題;形如t=ax+by形式的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題或轉化為線性規(guī)劃問題;形如= 形式的最值問題,可轉化為動直線斜率形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.(2)建立函數(shù)關系式求最值根據(jù)題中條件列出相

21、關的函數(shù)關系式,再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉化為動點【同源異考金榜原創(chuàng)】命題點1借助幾何性質求最值的問題1.已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-8y+15=0上任意一點.世紀金榜導學號12560263(1)求x+2y的最大值.(2)求 的最大值和最小值.【同源異考金榜原創(chuàng)】【解析】原方程可化為(x-2)2+(y-4)2=5,表示以(2,4)為圓心, 為半徑的圓.(1)令t=x+2y,則y= 可看作是直線y=- x+ t在y軸上的截距.當直線y=- x+ t與圓相切時,縱截距 t取得最值,此時 解得t=5或t=15.所以t=x+2y的最大值為15.【解析】原方程可化為(x-2)2+(y-4)2=5,表示以(2) 的幾何意義是圓上一點與點(-1,4)連線的斜率,所以設 =k,即y-4=k(x+1).當直線y=kx+k+4與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時 解得k2= ,即k= ,所以 的最大值為 ,最小值為- .(2) 的幾何意義是圓上一點與點