軌跡方程的求法典型例題

1、軌跡方程的求法及典型例題軌跡方程的求法及典型例題21/21軌跡方程的求法及典型例題軌跡方程的求法及典型例題軌跡方程的求法一、知識復(fù)習(xí)軌跡方程的求法常有的有（1）直接法；（2）定義法；（3）待定系數(shù)法（4）參數(shù)法（5）交軌法；（6）有關(guān)點法注意：求軌跡方程時注意去雜點，找漏點.一、知識復(fù)習(xí)例1：點P（3，0）是圓x2+y26x55=0內(nèi)的定點，動圓M與已知圓相切，且過點P，求圓心M的軌跡方程。軌跡方程的求法及典型例題例2、以以下圖，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且知足APB=90，求矩形APBQ的極點Q的軌跡方程.解：設(shè)AB的xx點為R，坐標為(x,y)，則在

2、RtABPxx，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的xx點，依垂徑定理：在RtOARxx，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0所以點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得軌跡方程的求法及典型例題10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.例3、如圖,直線L1和L2訂交于點M,L2,點NL1.以A,B為端點的曲線xxC上的任一點到L2的距離與到點N的距離相

3、等.若AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.成立適合的坐標系,求曲線xxC的方程.解法一：如圖成立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直均分線為y軸，點O為坐標原點。軌跡方程的求法及典型例題依題意知：曲線xxC是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一xx，此中A，B分別為C的端點。設(shè)曲線xxC的方程為，此中xA,xB分別為A，B的橫坐標，P=|MN|。所以M(p,0),N(p,0)22由|AM|17,|AN|3得(xAp)22pxA17(1)2(xAp)22pxA9(2)2由，兩式聯(lián)立解得。再將其代入式并由p0解得因為AMN是銳角三角形，所以，故舍去p=4,xA=1由點B在曲

4、線xxCxx，得。綜上得曲線xxC的方程為解法二：如圖成立坐標系，分別以l1、l2為軸，M為坐標原點。作AEl1,ADl2，BFl2垂足分別為E、D、F設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依題意有軌跡方程的求法及典型例題xA|ME|DA|AN|3yA|DM|AM|2|DA|222因為AMN為銳角三角形故有xN|ME|EN|ME|AM|2|AE|24xB|BE|NB|6設(shè)點P(x,y)是曲線段C上任一點則由題意知P屬于會合(x,y)|(xxN)2y2x2,xAxxB,y0故曲線段C的方程y28(x2)(3x6,y0)軌跡方程的求法及典型例題例4、已知兩點以及一條直線：y=x，設(shè)長

5、為的線段AB在直線上挪動，求直線PA和QB交點M的軌跡方程解：PA和QB的交點M（x，y）隨A、B的挪動而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當t=2，或t=1時，PA與QB的交點坐標也知足上式，所以點M的軌跡方程是x2y22x2x2y80.軌跡方程的求法及典型例題例5、設(shè)點A和B為拋物線y2=4px(p0)上原點之外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.解法一：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b由OMAB，得k=由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=,y1y2=，由OAOB，得y1y2=x1

6、x2所以=,b=4kp故y=kx+b=k(x4p),得x2+y24px=0(x0)軌跡方程的求法及典型例題故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,則有,得y12y22=16p2x1x2代入上式有y1y2=16p2代入，得代入，得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2、代入上式，得x2+y24px=0(x0)當x1=x2時，ABx軸，易得M(4p,0)仍知足方程.故點M的軌跡方程為x2+y2

7、4px=0(x0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.軌跡方程的求法及典型例題軌跡方程(練習(xí)1)1(08、xx文22)已知曲線：所圍成的關(guān)閉圖形的面積為，曲線的xx半徑為，記為以曲線與坐標軸的交點為極點的橢圓(1)求橢圓的標準方程；設(shè)是過橢圓中心的隨意弦，是線段的垂直均分線，是上異于橢圓中心的點若(為坐標原點)，當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；假如與橢圓的交點，求的面積的最小值軌跡方程的求法及典型例題解：(1)由題意得橢圓方程：1若AB所在的斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為ykx(k0)，A()由設(shè)M(x，y)，由|MO|OA|(0)|MO|22|OA|2因為

8、L是AB的垂直均分線，所以直線L的方程為yk，代入上式有：，由，當k0或不存時，上式仍舊成立.，綜上所述，M的軌跡方程為，（0）當k存在且k0時，|OA|2由軌跡方程的求法及典型例題，當且僅當45k254k2時，即k1時等號成立當；當k不存在時，綜上所述，的面積的最小值為軌跡方程的求法及典型例題2（07、xx理21）設(shè)動點到點和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；過點作直線與雙曲線的右支于兩點，試確立的范圍，使0，此中點為坐標原點軌跡方程的求法及典型例題解：(1)在xx，即，即（常數(shù)），點的軌跡是認為焦點，實軸長的雙曲線，方程為：（2）設(shè)，當垂直于軸時，的方

9、程為，在雙曲線上即，因為，所以當不垂直于軸時，設(shè)的方程為由得：，由題意知：，軌跡方程的求法及典型例題由0，且在雙曲線右支上，所以由知3（09、xx）已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個極點到兩個焦點的距離分別是7和1（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線軌跡方程的求法及典型例題解：（）設(shè)橢圓長半軸xx分別為a，c由已知得a4，c3橢圓C的方程為（2）設(shè)M（x，y），P（，）此中4，4，x有由得：故【下邊是找尋關(guān)系式f（x，y），g（x，y）的過程】又式代入：并整理得：，所以點M的軌跡

10、是兩條平行于x軸的線段軌跡方程的求法及典型例題軌跡方程(練習(xí)2)4（09、xx理）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，M是橢圓上的動點若C、D的坐標分別是(0，3)、(0，3)，求的最大值；如圖，點A的坐標為(1，0)，點B是圓上的點，點N是點M(橢圓上的點)在軸上的射影，點Q知足條件：，0求線段QB的中點P的軌跡方程軌跡方程的求法及典型例題解：(1)設(shè)橢圓方程為：（ab0）準線方程，橢圓方程為：所以：C、D是橢圓的兩個焦點4，當且僅當，即點M的坐標為時上式取等號的最大值為4設(shè)，N()，由，由0()()()()0記P點的坐標為(，)，因為P是的中點，軌跡方程的求法及典型例題動點P的

11、方程為：5（09、xx）已知橢圓1（ab0）的離心率為以原點為圓心，以橢圓短半軸長為半徑的圓與直線yx2相切（1）求a與b的值；（2）設(shè)該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交于點p.求線段的垂直均分線與直線的交點M的軌跡方程，并指明曲線種類軌跡方程的求法及典型例題解：（1）e又圓心（0，0）到直線yx2的距離d半徑b，2，32）（1，0）、（1，0），由題意可設(shè)P（1，t）（t0）.那么線段的中點為N（0，）的方程為：yt，設(shè)M()是所求軌跡上的隨意點.【下邊求直線MN的方程，此后與直線的方程聯(lián)立，求交點M的軌跡方程】直線的斜率k，線段的中垂線MN的斜率所以：直線MN的方程為：yx由，軌跡方程的求法及典型例題消去參數(shù)t得：，即：，其軌跡為拋物線（除原點）又解：因為（x，y），（x，y）0，消參數(shù)t得：（x0），其軌跡為拋物線（除原點）6(07xx理20）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線訂交于兩點【直接法求軌跡】（1）若動點知足（此中為坐標原點），求點的軌跡方程；在軸上能否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)由條件知，設(shè)，設(shè)，則，由的中點坐標為當不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得軌跡方程的