現(xiàn)代控制理論2課件

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)12 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間運動分析2.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)2.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解2.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.5 線性時變系統(tǒng)的運動2.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化2.7 線性離散系統(tǒng)的運動分析現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)12 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間運動分析2.1 線性現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)22.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程(Homogeneous state equation) 給定初始狀態(tài)x(0)=x0，必有如下形式的解(solution)如果定義區(qū)間為t0,），且x(t0)=x0時，解為 其中，eAt或eA(t-t0) 稱為矩陣指數(shù)函

2、數(shù)(matrix exponential function)，是nn維矩陣。現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)22.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解線性定常系統(tǒng)的現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)32.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解 首先回顧一下標(biāo)量微分方程的求解過程上式對任意t0均成立。比較兩邊 tk 的系數(shù)，可得t =0時可得 設(shè)方程具有如下形式的解代入方程可得因此方程的解為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)32.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解 首現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)42.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解證明（1）直接法證明上式對任意t0均成立。比較兩邊 tk 的系數(shù)，可得t =0時可得式中，b0,b1, 等為待定常向量 將解的形式設(shè)為如下的向量冪級數(shù)代入方程現(xiàn)代控制理論基

3、礎(chǔ)42.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解證明上式對任意現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)52.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定義為仿此，定義稱eAt為矩陣指數(shù)函數(shù)。所以現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)52.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解標(biāo)量指數(shù)函數(shù)定現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)62.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解（2）Laplace變換法證明回顧標(biāo)量關(guān)系式仿此有拉氏變換現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)62.1 線性定常系統(tǒng)的齊次解（2）Lapl現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)72.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONIn this section, we shall obtain the general solution of the

4、 linear time-invariant state equation. We shall first consider the homogeneous case and then the nonhomogeneous case.Solution of Homogeneous State Equations. Before we solve vector-matrix differential equations, let us review the solution of the scalar differential equationIn solving this equation,

5、we may assume a solution x(t) of the formBy substituting this assumed solution into Equation (2.1), we obtain現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)72.1 SOLVING THE TIME-現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)82.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONIf the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.3) must hold for any t. Hence, equating the

6、 coefficients of the equal powers of t, we obtainThe value of b0 is determined by substituting t=0 into Equation (2.2), or現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)82.1 SOLVING THE TIME-現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)92.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONHence, the solution x(t) can be written asWe shall now solve the vector-matrix differential eq

7、uationBy analogy with the scalar case, we assume that the solution is in the form of a vector power series in t, orwhere x=n-vector, A= nn constant matrix現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)92.1 SOLVING THE TIME-現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)102.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONBy substituting this assumed solution into Equation (2.4), we

8、 obtainIf the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.6) must hold for all t. Thus, by equating the coefficients of like powers of t on both sides of Equation (2.6), we obtain現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)102.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)112.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONBy substituting t=0 int

9、o Equation (2.5), we obtainThus, the solution x(t) can be written asThe expression in the parentheses on the right-hand side of this last equation is an nn matrix. Because of its similarity to the infinite power series for a scalar exponential, we call it the matrix exponential and writeIn terms of

10、the matrix exponential, the solution of Equation (2.4) can be written as現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)112.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)122.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONLaplace Transform Approach to the Solution of Homogeneous State Equations. Let us first consider the scalar case:Taking the Laplace transform o

11、f Equation (2.7), we obtainwhere X(s)=Lx. Solving Equation (2.8) for X(s) givesThe inverse Laplace transform of this last equation gives the solution現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)122.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)132.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONThe foregoing approach to the solution of the homogeneous scalar d

12、ifferential equation can be extended to the homogeneous state equation:Taking the Laplace transform of both sides of Equation (2.9), we obtainwhere X(s)=Lx. Hence,Premultiplying both sides of this last equation by (sI-A)-1 , we obtainThe inverse Laplace transform of X(s) gives the solution x(t) Thus

13、,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)132.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)142.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONNote thatHence, the inverse Laplace transform of (sI-A)-1 gives(The inverse Laplace transform of a matrix is the matrix consisting of the inverse Laplace transforms of all elements.) From Equations (2.10) and (2.11

14、), the solution of Equation (2.9) is obtained asThe importance of Equation (2.11) lies in the fact that it provides a convenient means for finding the closed solution for the matrix exponential.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)142.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)152.2 矩陣指數(shù)函數(shù)2.2.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義2.2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1 矩陣指數(shù)函數(shù)滿足如下關(guān)系式證明 由矩陣指數(shù)

15、函數(shù)的定義式當(dāng)t=0時，即可得證。設(shè)A為nn維矩陣，則矩陣指數(shù)函數(shù)eAt定義為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)152.2 矩陣指數(shù)函數(shù)2.2.1 矩陣指數(shù)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)162.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)2 設(shè)t和s為自變量，則必成立證明 根據(jù)定義式證畢現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)162.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)2 設(shè)t和s為自現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)172.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)3 eAt必有逆，且其逆為e-At，即證明 由性質(zhì)2，有 令s = -t和性質(zhì)1，得由上式可以看出，eAt與e-At互為逆矩陣，故結(jié)論得證?，F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)172.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)3 eAt必現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)182.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)4 對于nn維方陣A和B

16、，如果AB=BA，則證明 根據(jù)定義式現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)182.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)4 對于nn維現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)192.2 矩陣指數(shù)函數(shù)將上述兩式相減，得顯然，只有AB=BA，才有即現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)192.2 矩陣指數(shù)函數(shù)將上述兩式相減，得顯現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)202.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)5 對于矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，有證明 根據(jù)定義將上式逐項對t求導(dǎo)，有同理現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)202.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)5 對于矩陣指數(shù)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)212.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)6 設(shè)A為對角線陣，則eAt也必為對角線矩陣，且證明 根據(jù)定義現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)212.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)6 設(shè)A為對角線現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)22

17、2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)7 設(shè)A具有互不相同的特征值l1 ，l1 ， ，ln，則eAt必可 經(jīng)線性非奇異變換化為對角線型，即證明 因A具有互不相同的特征值，故可經(jīng)線性變換為其中，P為使A對角線標(biāo)準化的變換陣?，F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)222.2 矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)7 設(shè)A具有互不現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)232.2 矩陣指數(shù)函數(shù)對上式的一般項，有根據(jù)定義式則有故現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)232.2 矩陣指數(shù)函數(shù)對上式的一般項，有根現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)242.2 矩陣指數(shù)函數(shù)2.2.3 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算（1）級數(shù)求和法例 試計算A的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)242.2 矩陣指數(shù)函數(shù)2.2.3 矩陣指數(shù)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

18、252.2 矩陣指數(shù)函數(shù)（2）Laplace變換法例 試用Laplace變換法計算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)252.2 矩陣指數(shù)函數(shù)（2）Laplace現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)262.2 矩陣指數(shù)函數(shù)（3）化為約當(dāng)標(biāo)準形法若矩陣P -1AP已化為約當(dāng)標(biāo)準形，則由下式可以直接將eAt計算出來 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)262.2 矩陣指數(shù)函數(shù)（3）化為約當(dāng)標(biāo)準形現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)272.2 矩陣指數(shù)函數(shù)1）當(dāng)A的特征值互異時2）當(dāng)A的特征值為重根時現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)272.2 矩陣指數(shù)函數(shù)1）當(dāng)A的特征值互異現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)282.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用化為約當(dāng)標(biāo)準形法 求矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。解 所以A

19、的特征值因A是友矩陣，且特征值互異，所以所以現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)282.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用化為約當(dāng)標(biāo)準現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)292.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用化為約當(dāng)標(biāo)準形法 求矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。解 因為A為友矩陣，因此所以現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)292.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用化為約當(dāng)標(biāo)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)302.2 矩陣指數(shù)函數(shù)（4）待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是利用Cayley-Hamilton定理，首先將eAt化為A的有限項，然后確定待定的系數(shù)。則矩陣A必滿足其自身的特征方程，即證明 因為其中于是1）Cayley-Hamilton定理 設(shè)A為nn維矩陣，其特征多項式為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)302.2 矩陣指數(shù)函數(shù)

20、（4）待定系數(shù)法則矩現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)312.2 矩陣指數(shù)函數(shù)令兩邊l冪次項的系數(shù)相等，得對上述關(guān)系式，從上到下依次右乘An，An-1，A，I，然后將等式兩邊各項分別相加，得所以f(A)=0將上式展開，得現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)312.2 矩陣指數(shù)函數(shù)令兩邊l冪次項的系數(shù)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)32該式表明，An可表示成An-1， An-2， ， A，的線性組合式中 為t的標(biāo)量函數(shù)。2）矩陣指數(shù)函數(shù)的多項式表達式2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)證明 根據(jù)Cayley-Hamlton定理，有上式表明An1也可由An-1， An-2， ， A，的線性組合表示。 利用Cayley-Hamlton定理，可以將eAt的無窮冪級數(shù)化為

21、 A的有限項表達式，其中A的最高次冪不高于(n-1)。即現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)32該式表明，An可表示成An-1， An-現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)332.2 矩陣指數(shù)函數(shù)同理，An2以及更高次冪都均可以由An-1, An-2,A,的線性組合表示。寫成一般形式 這樣，對于冪級數(shù)將上式括號中的級數(shù)用一個t的標(biāo)量函數(shù)ai(t)來表示，即現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)332.2 矩陣指數(shù)函數(shù)同理，An2以及更現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)342.2 矩陣指數(shù)函數(shù)3）矩陣指數(shù)函數(shù)的計算根據(jù)特征值互異和相重兩種情況，系數(shù)ai(t)的計算方法 .設(shè)矩陣A的特征值li互不相同，則 證明 根據(jù)Cayley-Hamlton定理，li和A均滿足特征方程所以

22、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)342.2 矩陣指數(shù)函數(shù)3）矩陣指數(shù)函數(shù)的計現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)352.2 矩陣指數(shù)函數(shù).設(shè)矩陣A有n重特征值l1，則證明 已知對l1求導(dǎo)一次，有再對l1求導(dǎo)一次，有對l1求導(dǎo)（n-1)次，有現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)352.2 矩陣指數(shù)函數(shù).設(shè)矩陣A有n重特現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)362.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用待定系數(shù)法計算 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt解 由特征方程解出特征根l1=-1，l2=-2現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)362.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用待定系數(shù)法計現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)372.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用待定系數(shù)法計算 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt解 A的特征值已計算，為l1=l2=1, l3 =2現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

23、372.2 矩陣指數(shù)函數(shù)例 試用待定系數(shù)法計現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)382.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 非齊次狀態(tài)方程(Nonhomogeneous state equation) 其解必唯一，且具有如下形式如果初始時刻(initial time)是t0（此時x(t0)= x0），則方程的解為(solution in terms of x(t0)第一項為初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移項，稱為齊次解；第二項為控制作用引起的響應(yīng)項，稱為強迫運動項。( The first term is response to the initial condition and the second term is response to

24、 the input u(t)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)382.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 非齊次狀現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)392.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 (1)直接法證明(Direct method)對上式兩邊左乘e-At，得將上式由0t進行積分，有再對上式兩邊左乘eAt，且因e-AteAt =I，從而證明了將非齊次方程寫為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)392.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 (1)直現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)402.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 （2）Laplace變換法證明(Laplace transform approach)整理得用(sI - A)-1左乘上式兩邊，可得考慮到（Laplace變換中的卷積分con

25、volution integral） 取Laplace變換，有對方程現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)402.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 （2）L現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)412.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 例 求系統(tǒng)狀態(tài)方程的非齊次解，其中u(t)=1(t)解 該系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)已求得，為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)412.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 例 求系現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)422.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 （3）特定輸入下的狀態(tài)響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)(Response of impulse function)2、階躍響應(yīng)(Response of step function)3、斜坡響應(yīng)(Response of ramp funct

26、ion)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)422.3 線性定常系統(tǒng)的非齊次解 （3）特現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)432.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONSolution of Nonhomogeneous State Equations. We shall begin by considering the scalar caseLet us rewrite Equation (2.12) asMultiplying both sides of this equation by e-at , we obtainIntegrating this equation betw

27、een 0 and t givesorThe first term on the right-hand side is the response to the initial condition and the second term is the response to the input u(t).現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)432.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)442.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONLet us now consider the nonhomogeneous state equation described

28、 byBy writing Equation (2.13) asand premultiplying both sides of this equation by e-At , we obtainIntegrating the preceding equation between 0 and t givesorwhere x=n-vector, u=r-vector, A= nn constant matrix, B= nr constant matrix.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)442.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)452.1 SOLVING THE TIME-INVARIAN

29、T STATE EQUATIONLaplace Transform Approach to the Solution of Non-homogeneous State Equations. The solution of the nonhomogeneous state equationcan also be obtained by the Laplace transform approach. The Laplace transform of this last equation yieldsorPremultiplying both sides of this last equation

30、by (sI-A)-1 , we obtain現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)452.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)462.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONUsing the relationship given by Equation (2.11) givesThe inverse Laplace transform of this last equation can be obtained by use of the convolution integral as follows:Solution in Terms of x(t0

31、) . Thus far we have assumed the initial time to be zero. If, however, the initial time is given by t0 instead of 0, then the solution to Equation (2.13) must be modified to現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)462.1 SOLVING THE TIME現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)472.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 在狀態(tài)空間分析中，采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以：2.4.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(state transition matrix)對于線性定常系統(tǒng) ，稱之

32、為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。當(dāng)所觀察的時 間區(qū)間為0，）時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為 。的解，x(t0)=x0 滿足如下矩陣方程和初始條件（2）能使時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解寫成解析形式，從而可能建立一種對定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)都適用的統(tǒng)一的求解公式。（1）對線性系統(tǒng)的運動給出一個清晰的描述；現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)472.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 在狀現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)482）利用F(t-t0) ，可以將系統(tǒng)的自由運動規(guī)律表示為 2.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 下面對線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣作進一步說明: 證明 假設(shè)x(t)=F(t-t0) x0為解，顯然滿足狀態(tài)方程和初始條件: 3）對于線性定常系統(tǒng)顯然有 應(yīng)

33、該指出，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F(t)是從兩個不同的角度提出來的概念。矩陣指數(shù)函數(shù)eAt是一個數(shù)學(xué)函數(shù)的名稱，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表征了對初始狀態(tài)x0的轉(zhuǎn)移關(guān)系。 1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 是以t為自變量的維矩陣?，F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)482）利用F(t-t0) ，可以將系統(tǒng)的自現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)492.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 5)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是齊次狀態(tài)方程 在初始狀態(tài)為基向量時的一個基本陣。4）(t-t0)的含義是，x(t)在 t t0 任何時刻的狀態(tài)，只是初始狀態(tài)x0通過變換陣(t-t0)的一種轉(zhuǎn)移。而且，對于給定系統(tǒng)，(t-t0)是唯一的，因此這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移也是唯一的。 以二階系統(tǒng)為例。設(shè)的自

34、由解為若取初始狀態(tài)x(0)=1 0T ，則x(t)=j11(t) j21(t)T 若取初始狀態(tài)x(0)=0 1T ，則x(t)=j12(t) j22(t)T 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)492.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 5)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)50例 已知某二階系統(tǒng)2.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 6)基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)非齊次解可寫為或，其不同初始狀態(tài)的響應(yīng)為試求該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?，F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)50例 已知某二階系統(tǒng)2.4 線性定常系統(tǒng)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)512.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 解 可以寫出下列方程所以現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)512.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 解 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)5

35、22.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2.4.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(properties of state-transition matrices) 亦即證明 因為所以表示狀態(tài)從t時刻又轉(zhuǎn)移到t時刻，狀態(tài)并沒有發(fā)生變化。（1） 自身性（2）傳遞性 證明 由解的唯一性，有又有現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)522.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)532.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （3）可逆性 證明 左乘，并應(yīng)用性質(zhì)1和性質(zhì)2，有右乘，同理有根據(jù)這個性質(zhì)，由左乘可以導(dǎo)出即 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)532.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （3現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)542.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

36、 （4）分解性 證明（5）倍時性 證明 因為所以現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)542.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （4現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)552.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2.4.3 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求系統(tǒng)矩陣證明 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義當(dāng)t=0時，有（1）(t)A（2）證明 因為 ，對上式兩邊右乘，得而因此（3）現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)552.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)562.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 例 已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣試求系統(tǒng)矩陣A。解 可以用以下兩種方法驗證現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)562.4 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 例 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)572.5 線性時變系統(tǒng)的運動2.5

37、.1 線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (State-transition matrix for linear time-varying systems)其中，x為n維狀態(tài)向量，A(t)為nn維時變實數(shù)矩陣。借助(t,t0)，線性時變系統(tǒng)的齊次解可表為的解(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（1）定義 設(shè)t0為初始時刻，t為觀測時刻，則滿足如下矩陣方程設(shè)連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)572.5 線性時變系統(tǒng)的運動2.5.1 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)582.5 線性時變系統(tǒng)的運動證明 只需證明x(t)滿足狀態(tài)方程和初始條件：下面對線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣作進一步說明：3）設(shè)A(t)為nn維時變矩

38、陣，則(t,t0)的表達式為2）(t,t0)與(t-t0)的區(qū)別 (t,t0)依賴于絕對時間，t0不同有不同結(jié)果，非封閉形式； (t-t0)依賴于相對時間，t0不同有相同結(jié)果，封閉形式。 1）(t,t0)是自變量為t的nn維函數(shù)陣，它不僅是t的函數(shù), 也是初始時刻t0的函數(shù)?，F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)582.5 線性時變系統(tǒng)的運動證明 只需現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)592.5 線性時變系統(tǒng)的運動證明 只需證明滿足現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)592.5 線性時變系統(tǒng)的運動證明 只需現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)602.5 線性時變系統(tǒng)的運動例 試求系統(tǒng)的狀態(tài) 轉(zhuǎn)移矩陣(t,0)。解 因為，又進而于是現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)602.5 線性時變系統(tǒng)的

39、運動例 試求系統(tǒng)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)612.5 線性時變系統(tǒng)的運動（2）(t,t0)的性質(zhì)性質(zhì)2 性質(zhì)3 -1(t,t0)= (t0,t) 2.5.2 線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解其中，x為n維，u為r維，A(t)和B(t)分別為nn和nr時變實數(shù)矩陣。如果在所考察的區(qū)間t0,t內(nèi)，A(t)的元是絕對可積的，B(t)和u的元是平方可積的，則存在唯一解: 性質(zhì)1 (t,t)=I 考察連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)612.5 線性時變系統(tǒng)的運動（2）(t現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)622.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化（1）問題的提出 離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)中的一處或多處信號呈脈沖序列或數(shù)碼的形式。離散系

40、統(tǒng)又可以分為兩種情況：第一種是整個系統(tǒng)工作于離散狀態(tài)，所有變量全部是離散量；第二種是系統(tǒng)工作于連續(xù)和離散兩種狀態(tài)，其變量既有連續(xù)的模擬量又有離散的數(shù)字量。例如采樣控制系統(tǒng)就屬于這種情況。將連續(xù)時間系統(tǒng)化為離散時間系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)622.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化（1）問現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)632.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化1）采樣器的采樣方式為等周期采樣，設(shè)采樣周期為T。若系統(tǒng)中有多個采樣開關(guān)，則為同周期。設(shè)采樣寬度T，因而可視為0。于是有（2）三個基本約定現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)632.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化1）采樣現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)642.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化3）

41、為簡化問題，選擇零階保持器。 2）采樣周期T的選擇滿足香農(nóng)（Shannon）采樣定理。即離散信號y(k)能完滿地恢復(fù)為原來連續(xù)信號y(t)的條件是采樣頻率ws滿足如下式式中wmax為原連續(xù)信號y(t)幅頻譜|Y(jw)|的上限頻率 由于采樣頻率ws=2p/T，則 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)642.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化3）為簡現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)652.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化根據(jù)狀態(tài)方程求解公式，導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程狀態(tài)方程的解為 考查在t=kT到t=(k+1)T這一個采樣周期內(nèi)的狀態(tài)響應(yīng)。對上式取t0=kT, t=(k+1)T ,于是考慮到u(t)是零階保持器輸出，在采樣周期kTt(k

42、+1)T內(nèi)其值是不變的，且u(t)= u(kT), 從而（3）線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)652.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化根據(jù)狀態(tài)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)662.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化對上式做時間變量置換，令t=(k+1)T-t，則dt=-dt，上式為設(shè)則線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程和輸出方程為離散化系統(tǒng)的矩陣C與D均和原連續(xù)系統(tǒng)一樣。 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)662.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化對上式做現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)672.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化例 試寫出當(dāng)采樣周期T=0.5秒 時的離散化狀態(tài)方程。解 首先求出連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣因此再求出現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)672.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化例 試現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)682.6 線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化（4）近似離散化方法 在精度要求不高的情況下，可以直接用差商代替微商來進行離散化，從而求得近似離散化狀態(tài)方程。代替連續(xù)狀態(tài)方程中x的導(dǎo)數(shù),于是有亦即或者式