不等式的幾種證明方法及其應(yīng)用

1、 PAGE PAGE 4不等式的幾種證明方法及其應(yīng)用利用構(gòu)造法證明不等式(P2) 方法常有以下幾種形式：構(gòu)造函數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)指根據(jù)所給不等式的特征，巧妙地構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式或函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性等來(lái)證明不等式利用判別式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若根據(jù)題中所給的條件，能與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過(guò)等價(jià)形式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的，都可考慮使用判別式法例1設(shè)x,y,zR，證明x xy y 3z(x y z) 0 成立解令f(x) x(y3z)x y3yz 3z2 為x的二次函數(shù)由 y 3z2 4y 23yz 3z2 y z2 知 0 f (x 0故x x

2、y y 3z(x y z) 0 恒成立對(duì)于某些不等式，若能根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函f(xx) 2 ( ax)2 (ax 2 f (x) 0得出 0 ，從而即可得出所2n需證的不等式2n例2設(shè)a,b,c,dR，且abcd 1，求證4a14b4a14b14c14d1 6 2(P18) 證明令 f(x)=(4a1x1)2 (4b1x1)2 (4c1x2(4d 1x 24a14b14a14b14d 1)x4(因?yàn)閍bcd 1)4a14b14c14c1由f(x)0得0即4(4a14b14c14c14a14b14c14d4a14b14c14d12利用函數(shù)有界性若題設(shè)中

3、給出了所證不等式中各個(gè)變量的變化范圍，可考慮利用函數(shù)的有界性來(lái)證明，具體做法是將所證不等式視為某個(gè)變量的函數(shù)例3設(shè)abc 求證12(P18) 證明令f(x)(ac)xac1為x的一次函數(shù)因?yàn)閍 c所以facac1c0f(acac1c0 即 xf(x) 0又因?yàn)閎，所以f(b)0，即10利用函數(shù)單調(diào)性在某些問(wèn)題中，若各種式子出現(xiàn)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可根據(jù)這種結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，把各種式子看作同一函數(shù)在不同點(diǎn)的函數(shù)值，再由函數(shù)的單調(diào)性使問(wèn)題得到解決a2a2 an1 a1 a2 an11 a1a21 a2an1 an例求證M分析通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)式中各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)均相似于式子，于是構(gòu)造函數(shù)f(x)x(x 0)證明構(gòu)造

4、函數(shù)f(x)x(x 0)1 x1M1 x (x)1 0f(x在0,(1 x)2令 a2 an ，x2 a2 an 因?yàn)?x2 f(x1 f(x2 a2 an1 a2 ana1 a2 an1 a1 a2 ana21 aa21 a2 anan1 a2 an ana11 a2a11 a21a11 a21 a2an1 an利用函數(shù)奇偶性x例求證 x (x 0) 12x2xx2x)證明設(shè)f(x) 12f(xf(x) 2 2x) ，2x) x(2x2x)f (x) 2x)2(2x1)2x f (x)，所以 f (x) 是偶函數(shù)當(dāng)x 02x 1，所以1 2x 0 f (x 0y x 0f (x) 0即當(dāng)x

5、0時(shí)，恒有f(x)0，即x x(x 0)12x2的關(guān)鍵構(gòu)造幾何圖形證明不等式. 1(P52) 這種方法十分巧妙且有效，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性下面將具體介紹用幾何法證明不等式的幾種途徑：構(gòu)造三角形3(P1)x2 y2x2x2 y2x2z2y2 z2AO分析注意到xxy y xy2xy，于是x2 y 2x2 y 2第三邊，由此，易得出下面的證明:證圖1 在內(nèi)取一點(diǎn)O，分別連接OB,OC ，使 CB圖 1AOB BOC 120， x, y, zx2 x2 y2，AC ，BCx2z2yx2z2y2 z2注該題可做如下推廣:已知x,y,z 為正數(shù)，0 ，0 ，0 ，且x22xycosy2x22x22x

6、ycosy2x22xzcosz2y22cos z2令, , 為滿足條件的特殊角可設(shè)計(jì)出一系列的不等式例7已知正數(shù)a,b,c,m,n,k滿足ambnck p,求證anbkcm p2anDmFb證明圖為p的正三角形ABC，在邊AB,anDmFb上依次截取AD a, m,BEc,EC k, b,FA nSADF SDBE SFEC SABC3333BcEkC3333所以ancmbk p2，即anbkcm p2圖24444構(gòu)造正方形3(P1)例8已知xR ,a,b,c,d 均是小于x的正數(shù)，求證a2(xa2(xb)2b2(xc)2c2(xd)2d2(xa)2 4x 分析觀察不等式的左邊各式，易聯(lián)想到用

7、勾股定理，每個(gè)式子代表一直角三角形的一斜邊且a(xa)b(xb)c(xc) d (xd)，所以可構(gòu)造邊長(zhǎng)為x的正方形證明圖為x的正方形ABCD，在邊AB,BC,CD,上A HbDAEa, EB xa, BFd, FC xd c，GD xcDH b xb EFGH 的周長(zhǎng)為a EBdFx-c GcCa2 (x b)2a2 (x b)2b2(xc)2c2 (x d)2d2(xa)2EFGH ABCD 的周長(zhǎng)， 從而命題得證構(gòu)造矩形例9已知x,y,z為正數(shù)，證明 (x y)(y z)分析兩個(gè)數(shù)的乘積，可看作以這兩個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的矩形的面積，也可以看成以這兩個(gè)數(shù)為直角邊長(zhǎng)的三角形面積的兩倍證明圖4 ，造矩

8、形ABCD使ADAB y x, EC z設(shè)AEDS矩形ABCD SABE SECD SAED 知111x yCBCEy(xz )xy yz (x y)(yz4222化簡(jiǎn)得 (x y)(y z)因?yàn)? 1，所以 (x y)(y z)當(dāng)且僅當(dāng) 90)構(gòu)造三棱錐例10設(shè)xy z 求證x2 y2 y 2 z 2z 2 zx x2 4(P129) 分析注意到x 2 y 2 夾角為60 的三角形的第三邊，同理x2 y2 2xy cos60 xy 為邊，y2 z2 ，z2x2O也有類似意義證明圖為O的四面體O ABC，使A 60 ， x, y, z ，則有ABx2 y2 ，BCy2 z2 ，AC z2x2

9、CB5在ABC AB BC AC ，即得原不等式成立注該題還可做如下推:已知x,y,z為正數(shù)，0 ,0 , 0 時(shí)0 且 ,求證x2 2xycos y2 x2 2xzcosz2 y2 2cos z2 .10 便是當(dāng) 時(shí)的特殊情況構(gòu)造對(duì)偶式證明不等式對(duì)偶思想是根據(jù)矛盾雙方既對(duì)立又統(tǒng)一的二重性，巧妙地構(gòu)造對(duì)偶數(shù)列，從而將問(wèn)題解決的一種思想5 PAGE PAGE 132n 1例11證1 3 2n12n 1242n分析令P 1 32n中分子為奇數(shù)、分母為偶數(shù)，則由奇數(shù)的對(duì)偶數(shù)為242nP的一個(gè)對(duì)偶式Q242n352n 1證明設(shè)P 1 32n1的對(duì)偶式Q242n242n因?yàn)? PQP (132n1)(2

10、42n)1所以P1242n352n12n 12n2n1注構(gòu)造對(duì)偶式的途徑很多，本題是利用奇偶性來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式，此外，還可利用倒數(shù)關(guān)系、反關(guān)系、對(duì)稱性關(guān)系等來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式構(gòu)造數(shù)列證明不等式這種方法一般用于與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明，當(dāng)問(wèn)題無(wú)法從正面入手時(shí)，可考慮將它轉(zhuǎn)化為數(shù)列，然后利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)證明例12證:不等式2n1 n!，對(duì)任何正整數(shù)n都成立1(P55) 分析不等式可變形n1n12, n列an,其中an ,1 12只需證an a1 即可2n2n12n 2n1(nn)2n1對(duì)于任意正整數(shù)n，an1 an (n(n(n 0 ，所以an是遞減數(shù)列所以an 1構(gòu)造向量證明不等式利用向量模的性質(zhì)例13

11、知a,b,c,dR,求證a 2 b2b2 a 2 b2b2 c2c2 d 2d 2 a22(abcd)2 OD證明在原點(diǎn)為O的直角坐標(biāo)系內(nèi)取四個(gè)點(diǎn)：b,bbc,bcdbcd,bcd 2 ODOAABBCCDOAABBCCD，該不等式顯然成立利用向量的幾何特征例4設(shè)an，Sn 是前nlog 0.2 Sn log 0.2 Sn220.25(P31)Sn1S分析可將上述不等式轉(zhuǎn)化為SnSn22 Sn S, 構(gòu)造向量，用平行四邊形的幾何特征來(lái)證明證明設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，如圖6，構(gòu)造向量A1,1,B Sn1,Sn , C 1 Sn1,1 Sn Sn2,Sn1，則 ，故O,C,B構(gòu)成平行四邊形y由于O

12、B 在對(duì)角線OC 的兩側(cè)，所以斜率kOA kOB 中CA必有一個(gè)大于kOC ，另一個(gè)小于 kOC B因?yàn)閍是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，所以kOC Sn1Sn2 1 kOA，Ox圖 6所以kOB kOCSn， 即nSn1Sn1 SnSn2nSn22 Sn Sa ba b a bcos 找a b出不等關(guān)系，如a b a b,等，然后利用不等關(guān)系證明不等式，在此對(duì)這種方法不再aba b舉例說(shuō)明aba b利用換元法證明不等式換元法是數(shù)學(xué)解題中的一種重要方法，換元的目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，或通過(guò)換元得到熟悉的問(wèn)題形式換元法主要有以下幾種形式：2三角換元法2例15知xy求證x2 2xy y2 證明設(shè)x rco

13、s,y r r ，則2x22xyy2 r2cos22r2cosr22r2cos222r2cos2 2r2sin2r2 44注這種方法一般是已知條件在結(jié)構(gòu)上與三角公式相似時(shí)宜采用若題設(shè)為x 2y 可設(shè)x cos,2y 題設(shè)為x2 y 2 可設(shè)x secy tan 等均值換元法例16設(shè)x,y,zR,x yz求證x y z 1 2(P12) 3證明設(shè)x1 ,1 ,1其中 0則333x2 y2 z2 (1)2 (1)2 (1)2 1 )2 2 2 133333(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào))增量換元法這種方法一般用于對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母順序，代數(shù)式不變)和給定字母順序的不等式的證明xy例17知x y 0,求

14、證xyx y6(x y證明由x y 可令x yt(t 0)yty因?yàn)閥t yt 2(t )2，ytyy tytxyx y所以， y tytxyx y利用概率方法證明不等式7(P51)利用概率方法證明不等式，主要是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，然后利用有關(guān)結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題A0 P1，證明不等式例18證明若0ab則ab1分析由0ab可把a(bǔ)看做事件A發(fā)生的概率，b看做事件B發(fā)生的概率 證明設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P( a,P(B)b,則PABPP(BPABabab 因?yàn)? PAB所以0ab1，所以ab1Cauchy-Schwarz(E(2 E2E2i ii ii例19設(shè)i0，0in， 則 (ab

15、 )2(a2b2 ) 證明設(shè)隨機(jī)變量,滿足下列要求i1i1i1PaiP(b)=1(i 1,2,n)，n)=1(i 1,2,n)，in1(i j)P( aibj) n0，(i j)21n21n21n則 Enai ，Eni，E)naii i1i1i12221n21n21n2由(E)EE得2 (aii ) (ai (i )nnni1i1i1nnni ii即(ab)2(a2)(i iib2 ) i1i1i1用微分方法證明不等式在高等數(shù)學(xué)中我們接觸了微分, 用微分方法討論不等式,為不等式證明方法開(kāi)辟了新的視野利用微分中值定理微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面僅給出拉格朗日中

16、值定理、泰勒定理的應(yīng)用：拉格朗日中值定理8(P120)若函數(shù)f(x)在上連續(xù)b在b內(nèi)至少存在一點(diǎn) f ( f (b f (a) b a例20知b 0,求證b arctanb b1 b2證明函數(shù)x在上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以有arctanbarctan0(arctanx)x(b 0)b，(0,b)1 2而bb b ， 故原不等式成立1 x212泰勒定理8(P138)若函數(shù)f(x)在b 至n在b內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x,x0 使得f (x)f (n)(x)f ( n1)()0f (x) f (x00) (xxx0)0(x x )00(x x )0(x (n )n1該式又稱為帶有拉格

17、朗日余項(xiàng)的泰勒公式例21設(shè)函數(shù)f(x)在上二階可導(dǎo)，且 f (x) M ，f(ab)ba試證2f (a) f (b) M49(P69) 證明將函數(shù)f(x)在點(diǎn)a b展成二階泰勒公式2f(x) f(ab) f (ab)(xab) 1f ()(xa b)222222f (ab)(xab)f ()(xa b)2 12將x ab代入上式得122222f(a) f (ab)(1)2222f ()，f(b) f(ab)(1) 22f ( ) f (a f (b) 1 (8 () f () 1取絕對(duì)值得f(a) f(b)1利用極值1 ( f 8) f ) ) M 242例22設(shè)a21為任一常數(shù)，求證x2x1

18、 ex x00(8) 證明原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求證f(x) ex 2ax 1 0 (x 0) f(0 0,(x)e2x 2a 0f (x e 20(xx2當(dāng)x2 (x 0當(dāng)x2(x) 0 所以 x0 (x) f 2) 2 22 2a 2) 2a 0所以原不等式成立利用函數(shù)的凹凸性定義10(P193)f(x)在區(qū)間I 上有定義，f(x)稱為I 上的凸（凹）函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：x , I f x2 ) f(x1) f(x2)（ f ( x2 )f(1) f(x2) 122222推論10(P201)若f(x)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在I 上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是：f (x) 0（f (x) 0n

19、 a1a2 ana1 a2 n a1a2 an例23明n(a0,i 1,2,n)11(P125)證明令f(x) x,則 (x) 1 , (x) 1 0，所以ixx2if (x) x 在上是凹函數(shù)，對(duì)a2 ,an (0,有l(wèi)n a1 a2 an 1 ln a ) ，nn12nn a1a2 ana1 a2 n a1a2 an所以n例24對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,有ab2 1(ea 2eb12(P80) 證明設(shè)f(x)ex，則(x)e 0, x (,) ，f (x為(,x a,xbfabf (a) f (b)ab即e 21(ea2eb )12225 利用幾個(gè)著名的不等式來(lái)證明不等式5.1 均值不等式4(P1

20、33)n a1a2 an定理 1設(shè),a2,an 是n個(gè)正數(shù)，則H(n)G(n) A(n)n a1a2 anH (n)n1 1 1a2an, G(n) , A(n) a1 a2 an ,na21aa21a22na2n分別稱為a1,a2,an的調(diào)和平均值，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均值例25知0a xy 0求證a(aaaay)a2 1ax ax ayax yax y證明由0aax y0,a0ax ay 22，從而得aloga(ax ay)a) a 2x y，2故現(xiàn)在只需證x y 1或x y1即可而x y xx (x 1)21當(dāng)x 1時(shí)取等號(hào))，a所以loga(aaay)a24422 18Cauchynnn24(P135)設(shè),R(i1,2,24(P135)設(shè),R(i1,2,nab (a)2b1 b2 bn時(shí)等號(hào)成立.i1i1i1a2an1 n2 n2 1 n2 212(P33)例26式 (a) ai i i1 i1 i12nnn2證明因(ai i )(ai i )ai (ai1i1