控制系統(tǒng)時域與頻域性能指標(biāo)的聯(lián)系

1、控制系統(tǒng)時域與頻域性能指標(biāo)的聯(lián)系經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)分析與校正方法一般有時域法、復(fù)域法、頻域法。時域響應(yīng)法是一種直接法，它以傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具，直接可以求出變量的解析解。這種方法雖然直觀，分析時域性能十分有用，但是方法的應(yīng)用需要兩個前提，一是必須已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，另外系統(tǒng)的階次不能很高。如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)未知，或者系統(tǒng)的階次較高，就需采用頻域分析法。頻域分析法不僅是一種通過開環(huán)傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)性能的分析方法，而且當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未知時，還可以通過實驗的方法建立。此外，大量豐富的圖形方法使得頻域分析法分析高階系統(tǒng)時，分析的復(fù)雜性并不隨階次的增

2、加而顯著增加。在進行控制系統(tǒng)分析時，可以根據(jù)實際情況，針對不同數(shù)學(xué)模型選用最簡潔、最合適的方法，從而使用相應(yīng)的分析方法，達到預(yù)期的實驗?zāi)康?。系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)與頻域性能指標(biāo)有著很大的關(guān)系，研究其內(nèi)在聯(lián)系在工程中有著很大的意義。一、系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)延遲時間t階躍響應(yīng)第一次達到終值h()的50%所需的時間d上升時間t階躍響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需的時間；對有振蕩的系r統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間峰值時間t階躍響應(yīng)越過終值h()達到第一個峰值所需的時間p調(diào)節(jié)時間t階躍響應(yīng)到達并保持在終值h()的土5%誤差帶內(nèi)所需的最短時間s超調(diào)量，%峰值h(t)超出終值h()的百分比

3、，即ht)一h()，%=X100%二、系統(tǒng)頻率特性的性能指標(biāo)采用頻域方法進行線性控制系統(tǒng)設(shè)計時，時域內(nèi)采用的諸如超調(diào)量，調(diào)整時間等描述系統(tǒng)性能的指標(biāo)不能直接使用，需要在頻域內(nèi)定義頻域性能指標(biāo)。1、零頻振幅比M(0)：即為0時閉環(huán)幅頻特性值。它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，M(0)越接近于1,系統(tǒng)的精度越高。M(0)工1時，表明系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。2、諧振峰值Mr：為幅頻特性曲線的A()的最大值。一般說來，Mr的大小表明閉環(huán)控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。Mr越大，表明系統(tǒng)對某個頻率的正弦信號反映強烈，有共振傾向,系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差，相應(yīng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量越大。對應(yīng)的r為諧振頻率。3、諧振頻率r:出現(xiàn)最大值Mmax時

4、對應(yīng)的頻率。4、帶寬b幅頻特性下降至零頻幅比的70.7%，或下降3dB時對應(yīng)的頻率稱為帶寬(也成為閉環(huán)截止頻率)。帶寬用于衡量控制系統(tǒng)的快速性，帶寬越寬，表明系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號的能力越強，階躍響應(yīng)的上升時間和調(diào)節(jié)時間就越短。帶寬是控制系統(tǒng)及控制元件的重要性能指標(biāo)。三、閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系1、二階系統(tǒng)的相互聯(lián)系對于二階系統(tǒng)，其頻域性能指標(biāo)和時域性能指標(biāo)之間有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系(1)、諧振峰值Mr和時域超調(diào)量5之間的關(guān)系n2n2在二階系統(tǒng)(s)=中，M()=LS22s2J(2-2L+(2g)2nnnn令怦0,dh令怦0,d得諧振頻率r=n1-2g2。求得幅頻特性峰值M-12gjl-

5、g2二階系統(tǒng)的超調(diào)量5%e-gn廠i-g2x100%由此可看出，諧振峰值Mr僅與阻尼比g有關(guān)，超調(diào)量G%也僅取決于阻尼比g。g越小，Mr增加的越快，這時超調(diào)量G%也很大，超過40%，一般這樣的系統(tǒng)不符和瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的要求。當(dāng)0.4v0.707時，無諧振峰值，Mr與,%的對應(yīng)關(guān)系不再存在，通常設(shè)計時，取在0.4至0.7之間ot(2)、諧振頻率r與峰值時間p的關(guān)系o=o-rn1-2t=pon、1-top與r之積為to=PrJi2由此可看出，當(dāng)otot為常數(shù)時，諧振頻率r與峰值時間p成反比，r值愈大，p愈小，表示系統(tǒng)時間響應(yīng)愈快(3)、閉環(huán)諧振峰值Mr和相角裕度Y的關(guān)系(j)=M()e)ag)G(j

6、)=A()幺加)G(j)=A(o)e(如)=A(o)ej(辭-丫)=A(o)(-cosy-jsiny)TOC o 1-5 h zccccy=1800+甲(o)()=180。-ycc HYPERLINK l bookmark26G(jo)A(o) HYPERLINK l bookmark30M(o)=cc1+G(jo)1-A(o)cosy-jA(o)sinycc一般Mr極大值發(fā)生在o附近。cdM(o)=0nA(o)nMrdA(o)sinysiny故Mr故Mr1siny在開環(huán)截止頻率o附近，上述近似程度就越高。c(4)、y和的關(guān)系22nG(j)=n=1,G(j)；n=11=cj(j+2g)cj2+

7、4g22ccnccnn竺+4g22n-2g丿TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark542g=1800+(-90o-arctg)=90o-arctg=arctgn HYPERLINK l bookmark402g2gnnc1/2得出得出=arctg2gIJ4g4+l-2g2丿對于二階系統(tǒng)，一般要求：3OoY7Oo0.27vg0.82、帶寬b與時域性能的關(guān)系(1)、一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為“(s)=-T-1+TS系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為“系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為“(j)=11+Tj系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為M()=“(j)|=可知，=0時幅值為1,即零頻振幅比M(0)=1,

8、則L(0)=20LgM(0)=_0閉環(huán)截止頻率:b由的定義知L()=L(0)-3=-3bb20LgM()=20Lgb=-320LgM()=20Lgb=-3M()=b1v1+T22=0.707可解得:=1/Tb一階系統(tǒng)中調(diào)節(jié)時間、上升時間與帶寬的關(guān)系tr=2.2Tts=3T”tr=2.2/，ts=3/bb2)、二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=s(s+2g)n二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為0(s)=2s2+2,S+2nn閉環(huán)頻率特性為閉環(huán)頻率特性為(j)=2n2+j2,-2nn2n(j)2+j2,+2nn系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為M()=(j)=22-2)2

9、+(2,)2n可知，=0時幅值為1,即零頻振幅比M(0)=1,則L(0)=20LgM(0)=_0閉環(huán)截止頻率b由的定義知L()=L(0)-3=-3bb可解得：M()=b2n可解得：M()=b2n；(2-2)2+(2,)2nbn=0.707=bnnb阻尼比不變，自然振蕩頻率越大，帶寬越大；自然振蕩頻率不變，阻尼比越小，帶寬越大可知帶寬與系統(tǒng)響應(yīng)速度成正比！ts(3)、帶寬b與調(diào)節(jié)時間的關(guān)系3.5調(diào)整時間ts,ntsb與之積為=J1-2,2+代1-2,3.5調(diào)整時間ts,ntsb與之積為ts=b：1-2,2”2-4,2+4,4ts=bt由此可看出，當(dāng)阻尼比R給定后，閉環(huán)截止頻率b與過渡過程時間s成

10、反比關(guān)系。換言之，b愈大(頻帶寬度0-b愈寬)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度愈快。(4)、系統(tǒng)帶寬的選擇帶寬頻率是一項重要指標(biāo)。其選擇要求要既能以所需精度跟蹤輸入信號，又能擬制噪聲擾動信號。在控制系統(tǒng)實際運行中，輸入信號一般是低頻信號，而噪聲信號是高頻信號。5)、帶寬指標(biāo)取決于下列因素：a)對輸入信號的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說，帶寬與響應(yīng)速度成正比。b)對高頻噪聲必要的濾波特性。為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。但是，從噪聲的觀點來看，帶寬不應(yīng)當(dāng)太大。因此，對帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計通常需要折衷考慮。具有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大。3、典型二階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系閉環(huán)頻域指標(biāo)：Mr=,=bMr=,=b2v/42+1-22巴=C4：+1-22)閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標(biāo)：o%=eI-?2X100%tp=/W=兀/(,1-2)tr=(-卩)/w=(-卩)/(d斤叩dn3.5ts3.5ts=莎n(=0.05,0vV0.9)因此，若知道頻域指標(biāo)中的任兩個，就可解算出,，從而求出時域指標(biāo)。反之，給出n時域指標(biāo)的任兩個，就可確定閉環(huán)頻域指標(biāo)。1：1：Mr-Mir-1o%=eMr+Mr?X100%gT，Mrl，丫TQI,