電磁學(xué)中幾個(gè)基本矢量的性質(zhì)

1、電磁學(xué)中幾個(gè)基本矢量的性質(zhì)楊東杰 2900103013摘要本文在學(xué)習(xí)完電磁學(xué)的基本矢量知識(shí)的基礎(chǔ)上，統(tǒng)一地推導(dǎo)研究電磁學(xué)中各個(gè)矢量E-D.豆.瓦元的性質(zhì)，即散度、旋度及其邊界條件。字 隊(duì)三9耳盤散度旋度邊界條件引言 在學(xué)習(xí)了第二章關(guān)于電磁場的一些基本規(guī)律之后，我們知道 了很多電磁場的基本理論知識(shí)，但是書本上都是分別逐一地對(duì)各個(gè) 矢量的性質(zhì)，如散度、旋度及邊界條件進(jìn)行推論，所以本文意在對(duì) 各個(gè)矢量的性質(zhì)作一個(gè)統(tǒng)一的推導(dǎo)總結(jié)，從而加深對(duì)知識(shí)的理解。正文一，電場強(qiáng)度M的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。用電荷按體密度口頊i分布庫倫定律：利用A三:=-三可將巨頃寫為鞘=-鹽1?。┵|(zhì)（式1）對(duì)上式兩邊取

2、散度，得V = -法瀘 g）dV利用關(guān)系式三=一二3(一產(chǎn)!，上式變?yōu)閂 莊矛）V 莊矛）dV（式2）在利用函數(shù)的挑選性，有fT3 ，積分區(qū)域不包含襯3的點(diǎn)pfrjofr r )dV = Lp(f)f積分區(qū)域包含襯=歹的點(diǎn)則由式(2)得_( 0,亡立于區(qū)域V外V勒= ；P力,弛于區(qū)域V內(nèi)因已假設(shè)電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，故可由上式得的E散度V - E =|-式 3)2， 旋度。在靜電場中，由式1，微分算符F是對(duì)場點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，與源點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)，故可將算符F從積分中移出，即S-喘件dV對(duì)上式兩邊取旋度，即VxE（r）= -VX:零wVxE（r）= -VX上式右邊括號(hào)內(nèi)是一個(gè)連續(xù)標(biāo)量函數(shù)，而任何一個(gè)標(biāo)量函

3、數(shù)的梯度 再求旋度時(shí)恒等于0，則得在時(shí)變電磁場中，變化的磁場會(huì)產(chǎn)生電場。在一回路中，由法拉第電磁感應(yīng)定律，得利用斯托克斯定理，上式可表示為f 一- f dB上式對(duì)任意回路所謂面積S利用斯托克斯定理，上式可表示為f 一- f dB上式對(duì)任意回路所謂面積S都成立，故必有- dB3， 邊界條件。在參數(shù)分別為七疽:-.乙的兩種媒 質(zhì)的分界面上，設(shè)分界面法向單位矢量為虱， W是沿分界面的切向單位矢量。則在垂直于分界面的矩形閉合路徑abcda上，由麥克斯韋第二方程，當(dāng)上-U時(shí)有故得舊故得舊-RW = 0 或 &-匚=。也可寫為X（E- E?） = 0也可寫為表明電場強(qiáng)度E的切向分量是連續(xù)的。二，電位移矢量

4、萬的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。在電介質(zhì)中，在外場作用下電介質(zhì)發(fā)生極化，產(chǎn)生極化電荷。電介質(zhì)中的電場可視為自由電荷和極化電荷在真空中產(chǎn)生電場的疊 加，即E = ET-Eo將真空中成立的式3推廣至電介質(zhì)中，得即極化電荷公也是產(chǎn)生電場的通量源。由式 = -P(后面會(huì)推導(dǎo)) 代入上式得 疝3) + 尸3) = p而由于Wi =八；二打我們得到V D (r) = p2， 旋度。由于本構(gòu)關(guān)系E =占，我們可以由M的旋度直接得到:在靜電場中，V%D(f) = O而在時(shí)變電磁場中，VXO = VXeE = -e|33, 邊界條件。如同以上M邊界條件的界定下，在分界面上取一個(gè)扁圓柱形閉合面，當(dāng)其高度 上

5、-口時(shí)，圓柱側(cè)面對(duì)積分 寥云的貢獻(xiàn)可忽略，且此如同以上M邊界條件的界定下，在分界面上取一個(gè)扁圓柱形閉合面，當(dāng)其高度 上-口時(shí)，圓柱側(cè)面對(duì)積分 寥云的貢獻(xiàn)可忽略，且此時(shí)分界面上存在的自由電荷面密度為四，則得= * 或 J = * 或 J =公當(dāng)兩種媒質(zhì)都不是理想導(dǎo)體的邊界條件時(shí)，有四=。，則諼何瓦）=0三，磁感應(yīng)強(qiáng)度豆的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。由體電流密度下的畢奧-薩伐爾定律我們得到,我們得到,明一務(wù)站W(wǎng) （泠1）朋再利用矢量恒等式F =，頂；=值1 ? F -5工匚上式可寫為帆=務(wù)她、餌一禹網(wǎng)伽又因算符F是對(duì)場點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行微分，而及I僅是源點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，故有 rx；（rj. = o,

6、于 是有上式對(duì)兩端取散度，由于對(duì)任意矢量函數(shù)F有V ； V X F = S故得到VB（f） = 02，旋度。對(duì)式4兩端取旋度，利用矢量恒等式F =氏礦項(xiàng);-FF,得= PXVX4tt Jvr-T=澈1/=澈1/,與1心篇I而如氣扃沖（式5）應(yīng)用=- F j和3函數(shù)的挑選性，上式右邊第二項(xiàng)可表示為再利用恒等式.房）=M W -崩，再利用恒等式.房）=M W -崩，礦-及亍=、廠頊=，可得到將上式代入式5右邊第一項(xiàng)，并用散度定理，得（式6）0 （式 7）式中的S是區(qū)域V的邊界面。由于電流分布在區(qū)域V內(nèi)，在邊界面S上，電流沒有法向分量，故頃1頊寧=。.將式6,式7代入式5,得以上是在恒定電流情況下產(chǎn)

7、生恒定磁場的旋度表達(dá)式。而在非 恒定電流場中，因?yàn)槲灰齐娏鞯某霈F(xiàn)，需要對(duì)上式進(jìn)行修改。先假定靜電場中的高斯定律 = 口對(duì)時(shí)變電場任然成立，將其帶入電荷守恒定律（以后會(huì)證明），得此；-M即為全電流，此時(shí)的旋度公式修訂為V X B +3此；-M即為全電流，此時(shí)的旋度公式修訂為V X B +3， 邊界條件。仍然在媒質(zhì)分界面上作一個(gè)底面積為拓，高為上的扁圓柱形閉合面。因里足夠小，故可認(rèn)為穿過此面積的磁通量為常數(shù)；又因上一 0,故圓柱側(cè)面的面積分頃 妄的貢獻(xiàn)可忽略。將麥克斯韋第三方程應(yīng)用于圓柱形閉合面，得B dS= B dS+ B dS-F B dSJ頂面J底面J側(cè)面=I B- endS I B2 en

8、dS = 0J頂面J底面故得 -i；37- B； = 0 M 邑. =四，磁場強(qiáng)度鼻的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。由本構(gòu)關(guān)系反及磁感應(yīng)強(qiáng)度豆的散度公式，我們直接得到2， 旋度。仍然由本構(gòu)關(guān)系去及耳的旋度公式，我們可以得到:在恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場下= J(r)在非恒定電流場中，加入對(duì)位移電流的考慮，我們得到一-禎.履刁+瓦3，邊界條件。在垂直于兩種媒質(zhì)分界面的矩形閉合路徑abcda上，應(yīng)用麥克斯韋第一方程，得當(dāng)脆=北=3 -。時(shí)，上式變?yōu)槭街?村不：，即寥T。時(shí)，如果分界面上存在自由面電流泠則閉合回路罰:將包圍此面電流。這里的W 是回路所圍面積s的法向單位矢量，與繞行方向濟(jì)圣成右手螺旋

9、關(guān)系。另外，因?yàn)镸為有限值，故有項(xiàng)=眼因此式8變?yōu)椋ㄍ咭煌撸┎汲?h -e；dl而或=卒：用=f kKdl利用矢量恒等式，（、C、x . = C - x3j，上式變?yōu)橐騲（西一瓦）諾由=h-dlJmJ卻故得 -x-X-：=A M 土-土=孔當(dāng)兩種媒質(zhì)電導(dǎo)率有限時(shí)，分界面上不會(huì)有面電流分布，此時(shí)有慕 X（瓦一瓦）=0 或 Hlt-H2t = 0五，電流密度矢量;的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。根據(jù)電荷守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)從閉合面S內(nèi)流出的電荷量應(yīng) 等于閉合面S所限定的體積V內(nèi)的電荷減少量，即f - dq d f3 =-，瓦嚴(yán)設(shè)體積V不隨時(shí)間變化，則應(yīng)用散度定理，上式寫為在恒定電流場中，電荷在

10、空間的分布不會(huì)隨時(shí)間變化，因此必然有2,旋度。2,旋度。在線性和各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，由歐姆定律；=在線性和各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，由歐姆定律；=,正，及電場強(qiáng)度M的旋度公式，我們得到在恒定電場中，-!= 0在時(shí)變電場中，二 dB3， 邊界條件。在兩種媒質(zhì)分界面上取扁圓柱形閉合面，將 有笠=-.三史./應(yīng)用在該閉合面上，當(dāng)Mn - U時(shí)，圓柱側(cè)面對(duì)積分一云貢獻(xiàn)可忽略，所以有且由于工】-0,碧w吐票dS所以得到無）慕dS =商口）=-誓當(dāng)在恒定電場中時(shí)，=。，所以有司（X一舌）=0六，極化強(qiáng)度矢量的散度、旋度及邊界條件。1, 散度。在電介質(zhì)中的任意閉合曲面S上取一面積元上其法向單位矢量為標(biāo) 并近似

11、認(rèn)為泌上的尸不變。在電介質(zhì)極化時(shí)，設(shè)每個(gè)分子的正負(fù)電 荷的平均相對(duì)位移為d，則分子電偶極距為=點(diǎn)，F(xiàn)由負(fù)電荷指向 正電荷。以二S為底、F為斜高構(gòu)成一個(gè)體積元=、.： = 。顯然只有 電偶極子中心在己礦內(nèi)的分子的正電荷才穿出面積元二5。設(shè)電介質(zhì)單 位體積中的分子數(shù)為N，則穿出面積元f的正電荷為Nqd dS= P dS = P- edS（式 9）因此，從閉合面S穿出的正電荷為.己二。與之對(duì)應(yīng)，留在閉合面 S內(nèi)的極化電荷量為qP = -jp AS= j V-PdV因閉合面S是任意取的，故S限定的體積V內(nèi)的極化電荷體密度為Pp = -P所以得到尸的散度公式而由關(guān)系式奪：及M的散度公式得VP = V-x

12、 = XoP這里g為自由電荷密度。這里我們還可以得到自由電荷密度與極化電 荷密度的關(guān)系，即Pp = Xep2， 旋度。根據(jù)關(guān)系式? =及M的旋度公式，我們可以得到在靜電場中，礦工F = o在時(shí)變電磁場中，由變化磁場產(chǎn)生電場，從而有變化的極化強(qiáng) 度，- dBVXP = -睥偵3，邊界條件。在兩種媒質(zhì)（其電極化率乙不同）分界面上，作一個(gè)底面積為己E高為Ah的扁圓柱形閉合面。因Ah-O,所以從該閉合面穿出的極化 電荷就是分界面上的極化面電荷，由式9可知, 2) % 招=PsP 拓P為為分界面上的極化電荷面密度。故en -舌）=PSP七，磁化強(qiáng)度疝的散度、旋度及邊界條件。1， 散度。根據(jù)磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)

13、系M = y日，可以得到V QH + X V H = X v hmmmm由上文的結(jié)論V H=O,有VM =02, 旋度。設(shè)磁介質(zhì)單位體積內(nèi)分子數(shù)為N ,每個(gè)分子的磁矩為p =庭，則與長度元丑交鏈的磁化電流為 mdi = NiAS - dl = Np - dl = M dlMm穿過整個(gè)曲面的磁化電流為I =dlM -dl = f VxM dSML MLQ同時(shí)又有I = J dSM o M兩式比較可以得到Vx M = JM3, 邊界條件。求M的邊界條件類似于求H的邊界條件，將麥克斯韋第一方程代入包含分界面的矩形閉合面內(nèi)，有j M - dl aM - dl +Jm - dl =j (M - M ) - e dl = j JC12M 1