立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1、立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)梳理第1頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五第二節(jié) 棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征第2頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五一般地，怎樣定義多面體？圍成多面體的各個(gè)多邊形，相鄰兩個(gè)多邊形的公共邊，以及這些公共邊的公共頂點(diǎn)分別叫什么名稱？面頂點(diǎn)棱由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體 .第3頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五多面體若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，叫多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱；棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)；把一個(gè)多面體的任何一個(gè)面延展為平面，如果其余各面都在

2、這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體叫凸多面體。第4頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五DABCEFFAEDBC 1.棱柱的定義結(jié)構(gòu)特征 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)面的公共邊都平行。側(cè)棱側(cè)面底面頂點(diǎn)第5頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五 2.相關(guān)概念：其余各面叫做棱柱的側(cè)面。 兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面； 兩個(gè)面的公共邊叫做棱柱的棱。兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱。 與兩個(gè)底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長(zhǎng)叫做棱柱的高。底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。第6頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期

3、五3.棱柱的分類 棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱1. 側(cè)棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2.側(cè)棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3. 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。新 知 梳 理第7頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五思考3：下列多面體都是棱柱嗎？如何在名稱上區(qū)分這些棱柱？如何用符號(hào)表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1棱柱用表示兩底面的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母或用一條對(duì)角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母來(lái)表示第8頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五有兩個(gè)面互相平

4、行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？答：不一定是如圖所示，不是棱柱思考4第9頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五如何判斷一個(gè)多面體是不是棱柱？有兩個(gè)面互相平行（底面）其余各面都是四邊形（側(cè)面）每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊都互相平行棱柱思考?第10頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五四棱柱平行六面體長(zhǎng)方體直平行六面體正四棱柱正方體底面是平行四邊形側(cè)棱與底面垂直底面是矩形底面為正方形側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等幾種四棱柱（六面體）的關(guān)系：長(zhǎng)方體的性質(zhì)：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，對(duì)角線長(zhǎng)為l ，則l 2 = a 2 + b 2 + c 2第11頁(yè)，共6

5、9頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五一直棱柱的表面積 1直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)c和高h(yuǎn)的乘積，即S直棱柱側(cè)=ch.第12頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五一直棱柱的表面積 1直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)c和高h(yuǎn)的乘積，即S直棱柱側(cè)=ch.第13頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五棱柱的體積 柱體（棱柱和圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積. 即V柱體=Sh.hh第14頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五(2)性質(zhì)棱柱的各側(cè)棱 ，各側(cè)面都是 ；長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于 (3)直棱柱的側(cè)面積公式S (4)

6、棱柱的體積公式V柱 相等平行四邊形由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)的平方和Ch，C是底面的周長(zhǎng)，h是直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)Sh，其S是棱柱的底面積，h是棱柱的高第15頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五棱錐的結(jié)構(gòu)特征第16頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五棱錐及相關(guān)概念棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。側(cè)面底面?zhèn)壤忭旤c(diǎn)SDBAC棱錐S-ABCD棱錐 S-AC第17頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五兩個(gè)本質(zhì)的特征：有一個(gè)面是多邊形；其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可。有一

7、個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐嗎?棱錐及相關(guān)概念第18頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五 按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，它的頂點(diǎn)又在過(guò)底面中心且與底面垂直的直線上。正棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形,且底邊上的高都相等的, 叫棱錐的斜高.棱錐的分類第19頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五二.正棱錐的表面積 1. 正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半，即S正棱錐側(cè)= nah. 其中a為底面正多邊形的邊長(zhǎng)，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h， 第20頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5

8、月20日，12點(diǎn)39分，星期五二.正棱錐的側(cè)面積 第21頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五二.正棱錐的側(cè)面積 1. 正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半，即S正棱錐側(cè)= nah. 其中a為底面正多邊形的邊長(zhǎng)，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h， 第22頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五三. 棱錐的體積1. 如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是V錐體= Sh.第23頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球第24頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五圓柱第25頁(yè)，共69

9、頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五一圓柱及相關(guān)概念 1定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱。第26頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五圓柱側(cè)面軸母線底面記作：圓柱OO母線第27頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五2相關(guān)概念：（1）圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；（2）圓柱的高：在軸上的這條邊（或它的長(zhǎng)度）叫做圓柱的高；（3）圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；（4）圓柱的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；（5）圓柱的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

10、叫做圓柱的母線。第28頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五3圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱OO .4圓柱具有以下性質(zhì)：（1）圓柱的底面是兩個(gè)半徑相等的圓，圓的半徑等于矩形的邊的長(zhǎng)，兩圓所在的平面互相平行；（2）通過(guò)軸的各個(gè)截面是叫做軸截面，軸截面是全等的矩形；（3）母線平行且相等，它們都垂直于底面，它們的長(zhǎng)等于圓柱的高.第29頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五二圓錐及相關(guān)概念 1定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐.2相關(guān)概念：（1）圓錐的軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；（

11、2）圓錐的高：在軸上的這條邊（或它的長(zhǎng)度）叫做圓錐的高；第30頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五（3）圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；（4）圓錐的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；（5）圓錐的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線； 第31頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五3圓錐具有以下性質(zhì)：（1）圓錐的底面是一個(gè)圓，圓的半徑就是直角邊的長(zhǎng)，底面和軸垂直；（2）平行于底面的截面是圓；（3）通過(guò)軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰三角形；（4）過(guò)頂點(diǎn)和底面相交的截面是等腰三角形;（5）母

12、線都過(guò)頂點(diǎn)且相等，各母線與軸的夾角相等。第32頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五三圓臺(tái)及相關(guān)概念 1定義：以直角梯形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)。第33頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五2相關(guān)概念：（1）圓臺(tái)的軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸；（2）圓臺(tái)的高：在軸上的這條邊（或它的長(zhǎng)度）叫做圓臺(tái)的高；（3）圓臺(tái)的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓臺(tái)的底面；（4）圓臺(tái)的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面；（5）圓臺(tái)的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓臺(tái)的母線。第34頁(yè)，共

13、69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五側(cè)面上底面母線下底面母線軸3圓臺(tái)的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓臺(tái)OO。第35頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五4圓臺(tái)具有以下性質(zhì)：（1）圓臺(tái)的底面是兩個(gè)半徑不等的圓，兩圓所在的平面互相平行又都和軸垂直；（2）平行于底面的截面是圓；（3）通過(guò)軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰梯形；（4）任意兩條母線（它們延長(zhǎng)后會(huì)相交）確定的平面，截圓臺(tái)所得的截面是等腰梯形；（5）母線都相等，各母線延長(zhǎng)后都相交于一點(diǎn)。第36頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五第37頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20

14、日，12點(diǎn)39分，星期五第38頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五第39頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五圓柱、圓錐、圓臺(tái)名稱圓柱圓錐圓臺(tái)圖形定義性質(zhì)以矩形一邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體。以直角三角形一直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體軸截面是全等的矩形軸截面是全等等腰三角形軸截面是全等等腰梯形第40頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五四球及相關(guān)概念： 1定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形

15、成的幾何體叫做球。另外將圓繞直徑旋轉(zhuǎn)180得到的幾何體也是球。第41頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五2相關(guān)概念：（1）球面：球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面；（2）球心：形成球的半圓的圓心叫做球心；（3）半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段叫球的半徑；（4）直徑：連接球面上的兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段叫球的直徑；第42頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五3球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O .4球的截面性質(zhì)：（1）球的截面是圓面，球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的小圓；（2）球心

16、和截面圓心的連線垂直于截面;第43頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五（3） (其中r為截面圓半徑，R為球的半徑，d為球心O到截面圓的距離，即O到截面圓心O1的距離；5球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離。第44頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五球面距離在球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)度這個(gè)弧長(zhǎng)叫兩點(diǎn)的球面距離第45頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五球的體積球的表面積第46頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)

17、39分，星期五旋轉(zhuǎn)體的概念 由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。比如常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球.第47頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五柱體的體積公式 設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一個(gè)平面內(nèi)（右圖） 其中S是柱體的底面積，h是柱體的高sss 根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘于高，于是我們得到柱體的體積公式V柱體=Sh第48頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五錐體 經(jīng)探究得知，棱錐(圓錐)是同底等高

18、的棱柱(圓柱)的 ，即棱錐(圓錐)的體積：（其中S為底面面積，h為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的 第49頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五臺(tái)體第50頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五ADCB中心投影平行投影斜投影正投影三角形一定相似嗎？一定是三角形嗎？第51頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五1.平行投影與直觀圖第52頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五FFMM2.過(guò)F上任意一點(diǎn)M作直線MM平行于l，交平面于點(diǎn)M，則點(diǎn)M叫做點(diǎn)

19、M在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影。如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F，則F叫做F在內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影。平面叫投影面。直線l叫投射線。第53頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五3.平行投影規(guī)律：1.直線或線段的平行投影仍是直線或線段；4.與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等。2.平行直線的平行投影是平行或重合的直線；3.平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；5.平行直線段或同一直線上的兩條線段的比不變； 當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)第54頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五 一個(gè)空間圖形在投射面上

20、的平行投影（平面圖形）可以形象地表示這個(gè)空間圖形。用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖。第55頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五先討論水平放置的平面圖形的畫(huà)法。例1、畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀圖4.斜二測(cè)畫(huà)法0YXABCEDFMNA1D1N1M1B1C1F1E101y1x1第56頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五總結(jié)畫(huà)法規(guī)則：1、在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸ox、oy；2、畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的ox、oy軸，使它們成45角；3、已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x軸、y軸的線段（即平行性不變）；

21、4、已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半(即橫不變縱拆半）。是為斜二測(cè)畫(huà)法。第57頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五例1（2009全國(guó)卷）紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)有沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是 （ ）A. 南 B. 北 C. 西 D. 下第58頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五上東第59頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五例2（2008重慶高考） 如圖，模塊均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成現(xiàn)從模塊中選出三個(gè)放到模塊上，使得模塊成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為()A模塊， B模塊， C模塊， D模塊，第60頁(yè)，共69頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)39分，星期五 例3 如圖