微積分極限與函數(shù)講義課件1

1、第一章分析基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)第一章分析基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法1.1 函數(shù)一實(shí)數(shù)二常用的實(shí)數(shù)集三函數(shù)概念四函數(shù)的幾種特性 第一章 1.1 函數(shù)一實(shí)數(shù) 第一章 實(shí)數(shù)(real number)由有理數(shù)(rational number)與無(wú)理數(shù)(irrational number)兩部分組成.一. 實(shí)數(shù)二. 常用的實(shí)數(shù)集任意一個(gè)有理數(shù)均可以表示成 實(shí)數(shù)(real number)由有理數(shù)(rational n區(qū)間(interval):是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的稱為開(kāi)區(qū)間,稱為閉區(qū)間,全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).定義1.1.1 區(qū)

2、間(interval):是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的稱為開(kāi)區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.稱為半閉半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)半閉區(qū)間,有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)鄰域(neighborhood):點(diǎn) 的去心 鄰域定義1.1.2 鄰域(neighborhood):點(diǎn) 的去心 鄰把開(kāi)區(qū)間稱為a 的左鄰域，把開(kāi)區(qū)間稱為a 的右鄰域，把開(kāi)區(qū)間稱為a 的左鄰域，把開(kāi)區(qū)間稱為a 的右鄰域，定義域三、函數(shù)概念1. 函數(shù)的概念 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為稱為值域 函數(shù)圖形:自變量因變量定義1.1.3 定義域三、函數(shù)概念1. 函

3、數(shù)的概念 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 對(duì)任何實(shí)數(shù)都沒(méi)有按給定規(guī)則與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)定義域不能是空集.因此，此例不是函數(shù).例1.1.1 對(duì)任何實(shí)數(shù)都沒(méi)有按給定規(guī)則與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)定義域不能是空按這個(gè)規(guī)則，每一個(gè)有無(wú)窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)的值. 而函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)規(guī)則要求對(duì)每一個(gè)只有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此，此例也不是函數(shù). 例1.1.2 按這個(gè)規(guī)則，每一個(gè)有無(wú)窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)的值. 而函數(shù)定義中的對(duì)判斷下面函數(shù)是否相同, 并說(shuō)明理由.(1) 與(2) 與解 (1) 雖然這兩個(gè)函數(shù)的表現(xiàn)形式不同，但它們的定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同，其定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.（2）雖表面形式不同，但其定義域和對(duì)應(yīng)法

4、則均相同，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.例1.1.3 判斷下面函數(shù)是否相同, 并說(shuō)明理由.(1) 與(2) 與解 自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f2.函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定: 定義域是使表達(dá)式有意義的自變量能取的一切實(shí)數(shù)值.自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f2.函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約求函數(shù)解 要使有意義，顯然要滿足 即 所以的定義域?yàn)榈亩x域.例1.1.4 求函數(shù)解 要使有意義，顯然要滿足 即 所以的定義域求函數(shù)解 要使有意義，顯然要滿足即 所以的定義域?yàn)榈亩x域.例1.1.5 求函數(shù)解 要使有意義，顯然要滿足即 所以的定義域?yàn)榈?.多值函數(shù) 是多值函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)

5、，否則叫做多值函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，3.多值函數(shù) 是多值函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函4. 函數(shù)的常用表示法表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、公式法（解析法） 根據(jù)函數(shù)的解析式的形式的不同，函數(shù)也可分為顯函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù)三種 4. 函數(shù)的常用表示法表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形（1）顯函數(shù)(explicit function)例如（2）隱函數(shù)(implicit function) (3) 分段函數(shù)(piecewise function)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)，具有不同的解析表達(dá)式. （1）顯函數(shù)(explicit function)例如（2）絕

6、對(duì)值函數(shù)(absolute value function) 以下是幾個(gè)常見(jiàn)的分段函數(shù)定義域 , 值域 例1.1.6 絕對(duì)值函數(shù)(absolute value function)符號(hào)函數(shù)(sign function) 1-1xyo例1.1.7 符號(hào)函數(shù)(sign function) 1-1xyo例1.1取整函數(shù) 表示不超過(guò) 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線顯然:例如.例1.1.8 取整函數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo補(bǔ)充例1 狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo補(bǔ)充例1 狄利克雷函數(shù)補(bǔ)充例2

7、取最值函數(shù)yxoyxo補(bǔ)充例2 取最值函數(shù)yxoyxoM-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1函數(shù)的有界性(bounded):四、函數(shù)的幾種特性M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1函數(shù)的有2函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity):xyo2函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity):xyoxyoxyo3函數(shù)的奇偶性(parity)偶函數(shù)yxox-x3函數(shù)的奇偶性(parity)偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x判斷函數(shù)解 方法一 由定義知為奇函數(shù).的奇偶性.例1.1.9 判斷函數(shù)解 方法一 方法二 所以進(jìn)一步可知既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù).為奇函數(shù). 方法二 所以進(jìn)一步可知既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù).為奇4函數(shù)的周期性(periodicity)（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期）.4函數(shù)的周期性(periodicity)（通常說(shuō)周期函數(shù)的設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，的周期，其中為常數(shù)，且解 因?yàn)楣拾粗芷诤瘮?shù)的定義，的周期為特別地，的周期均為的周期均為試求函數(shù)例1.1.10 設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，的周期，其中為常數(shù)，且解 因?yàn)閮?nèi)容小結(jié)一實(shí)數(shù)二常用的實(shí)數(shù)集：區(qū)間與鄰域三函數(shù)概念四函數(shù)的幾種特性有界性單調(diào)性奇偶性周期性內(nèi)容小結(jié)一實(shí)數(shù)作業(yè)P8 1(2) 、(4)、(6) 2. 3. 5 (3