普通物理學(xué)課件：第七章 靜電場(chǎng)2

1、第七章 靜電場(chǎng)（2）主要內(nèi)容：二有電介質(zhì)時(shí)的靜電場(chǎng)問題（9-4、9-5 、9-6 ） 電介質(zhì)的極化、電位移矢量、極化電荷、電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理等；一有導(dǎo)體存在時(shí)的靜電問題 （9-1、 9-2 ） 導(dǎo)體的平衡條件、導(dǎo)體的電荷分布、導(dǎo)體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)的求解問題等；三電容器的電容 （9-3 ） 由電容的定義式 求電容 C ；四. 靜電場(chǎng)的能量 （9-3 ） ： 利用公式 求靜電場(chǎng)的能量。一. 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 （7-6） 1導(dǎo)體的靜電平衡條件及其推論 靜電平衡條件： 證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取兩點(diǎn) a 、 b ，將單位正電荷從 a 移到 b ，電場(chǎng)力做功： 推論：導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體。 導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。導(dǎo)體內(nèi)

2、場(chǎng)強(qiáng)處處為零（ ） ，導(dǎo)體表面任一點(diǎn)的 都與表面相垂直，導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)的切向分量處處為零（ ）。2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（1）導(dǎo)體內(nèi)部電荷處處為零，電荷只分布在表面；證明：在導(dǎo)體內(nèi)任意做一個(gè)高斯面 S ，S 面沒有凈余電荷。 假設(shè)S 面內(nèi)的 a 點(diǎn)有 q ， b 點(diǎn)有 -q ， 這與 相矛盾。故導(dǎo)體內(nèi)部電荷處處為零，電荷只分布在表面。就必有電力線從 q 發(fā)出，終止于 -q ，根據(jù)高斯2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（續(xù)）（2）導(dǎo)體表面電荷面密度與導(dǎo)體表面曲率有關(guān)，對(duì)于孤立導(dǎo)體，曲率半徑 r 小處 大，r 大處 ?。?證明：設(shè)有兩個(gè)半徑不同的導(dǎo)體球 ，半徑分別為 a 和 b ，用一根長

3、導(dǎo)線將兩者相連，小球相當(dāng)于導(dǎo)體的尖端，大球相當(dāng)于曲率半徑大的一端，兩球的電勢(shì)（兩者可看成孤立導(dǎo)體）由于同一導(dǎo)體處處電勢(shì)相等，即曲率半徑 r 小處 大，r 大處 小；即兩球所帶的電荷面密度分別為 、 。則2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（續(xù)）(3) 導(dǎo)體表面附近的 與 的關(guān)系： ；高斯： 證明：做一個(gè)圓柱面為高斯面 S ，其中一個(gè)底面在導(dǎo)體內(nèi)，一個(gè)底面在導(dǎo)體外，兩底面與導(dǎo)體表面非常接近，并且互相平行，側(cè)面與導(dǎo)體表面相垂直。又2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（續(xù)） 導(dǎo)體表面附近的 與 的關(guān)系： ；（4）尖端放電現(xiàn)象 在導(dǎo)體的尖端處 r 很小， 很大，因此， E 很大。強(qiáng)大的 E 使導(dǎo)體尖端附近

4、的空氣電離成導(dǎo)體而出現(xiàn)放電的現(xiàn)象。對(duì)于孤立導(dǎo)體，曲率半徑 r 小處 大，r 大處 小； 夜晚，在高壓輸電線路附近能看到光暈，就是由尖端放電現(xiàn)象引起的。尖端放電會(huì)消耗能量，輸電線路要盡量避免。 尖端放電也有有利用的一面，避雷針就是一例。避雷針的作用主要是將放電過程拉長，將能量分散釋放，而不會(huì)損壞建筑物。 據(jù)報(bào)道，一次閃電平均電壓約 ，電流 ，平均功率為 。閃電時(shí)間約為 ，釋放能量 。 尖端放電可以在導(dǎo)體尖端附近形成一股風(fēng)，稱為電風(fēng)。2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（續(xù)）（4）導(dǎo)體空腔：若空腔內(nèi)沒有電荷，則內(nèi)表面不帶電，電荷只分布在外表； 若空腔內(nèi)有 q，則內(nèi)表面帶q，外表面帶 （q+Q），(Q

5、為導(dǎo)體空腔所帶的凈余電荷 )根據(jù)高斯 證明：在導(dǎo)體內(nèi)做一個(gè)高斯面 S ，即 所以，若空腔內(nèi)沒有電荷，則內(nèi)表面不帶電，電荷只分布在外表。 同理，若空腔內(nèi)有 q， 所以，若空腔內(nèi)有 q，則內(nèi)表面帶q，外表面帶（q+Q）， (Q為導(dǎo)體空腔的凈余電荷 )。則可否內(nèi)表面的a、b兩點(diǎn)分別有q和 - q ，其和為零？ 不可能。這樣與導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體相矛盾。2靜電平衡條件下導(dǎo)體的電荷分布情況（續(xù)） b. 將 q 產(chǎn)生的 E 屏蔽在空腔內(nèi)，外界不受影響，空腔要接地。靜電屏蔽：a. 用空腔將儀器、人屏蔽，使之不受 腔外 q 的影響。 例: 兩導(dǎo)體薄板彼此平行放置，導(dǎo)體各表面的面積均為 S，帶電量分別為 Q1、Q2

6、。求電荷分布情況（設(shè)導(dǎo)體板可看作無限大平板）。解：設(shè)導(dǎo)體四個(gè)表面上電荷密度分別為 。聯(lián)合解得：又無限大導(dǎo)體平板相對(duì)的內(nèi)表面上帶等量異號(hào)電荷，外側(cè)則帶相同電荷。 由導(dǎo)體內(nèi)部電荷處處為零和無限大均勻帶電平板的電場(chǎng)分布得：A、B 兩板內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)分別為 、 。各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為 、 、 、 。 例：半徑為 a 的金屬球?qū)wA 帶電量 q ，把一原來不帶電的金屬球殼 B 同心地罩在 A 的外面，B 的內(nèi)、外半徑分別為 b 和 c。求（1）A 和 A、B 間的電勢(shì)；（2）用導(dǎo)線將 a、b 相聯(lián)又如何？解：（1）由于靜電感應(yīng)，B 的內(nèi)表面帶 - q，外表帶 q 。由導(dǎo)體的靜電平衡條件得導(dǎo)體 A、B 內(nèi)的場(chǎng)

7、強(qiáng)為 0 。設(shè)四個(gè)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分別為 、 、 、 。在導(dǎo)體 A、B 之間，作半徑為 r 高斯面 S ，根據(jù)高斯定理同理，在導(dǎo)體 B 之外區(qū)域例題（續(xù)）求電勢(shì) 求導(dǎo)體球 A 中 的電勢(shì)（在A 中 任找一點(diǎn)P，距球心為r）； 也可以看成是三個(gè)均勻帶電球面上的電荷，在各自球面內(nèi)所產(chǎn)生的電勢(shì)之和。三者的半徑分別為 a、b、c，帶電量為 q、- q、q 。例題（續(xù)）求電勢(shì) 導(dǎo)體球 A 與導(dǎo)體球殼 B 之間一點(diǎn)（到球心為 r，a r b）的電勢(shì) 也可以看成是三個(gè)均勻帶電球面上的電荷，各自在場(chǎng)點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)之和。其中兩個(gè)（帶電量為 q、- q ，半徑分別為 b 和 c）的場(chǎng)點(diǎn)是在球面內(nèi)，一個(gè)（帶電量為 p）的

8、場(chǎng)點(diǎn)是在球面外 。例題（續(xù)） 當(dāng)用導(dǎo)線將 A、B 相連，則 A、B 變成一個(gè)導(dǎo)體，A 為導(dǎo)體之內(nèi)，電荷 q 只分布在外表面，即 B 的外表面上。( r c )（2）用導(dǎo)線將 a、b 相聯(lián)又如何？ 在導(dǎo)體球 A 與球殼 B 之間任找一點(diǎn)P，到球心為 r，a r R ）放一點(diǎn)電荷 q，球殼帶電荷 Q = ? (設(shè)導(dǎo)體球遠(yuǎn)離地面)解：本問題要注意如下幾點(diǎn)： 考慮導(dǎo)體球心處的電勢(shì)。它是球面上所有的 Q 和點(diǎn)電荷 q 在該處產(chǎn)生的電勢(shì)之和。（1）接地導(dǎo)體為等勢(shì)體，并且 V=0 ；（2）電場(chǎng)中的總 V 為所有電荷所提供； （3）導(dǎo)體的電荷只分布在其表面。 球面上的電荷分布并不均勻，但是球面上各 dq 到球

9、心距離皆為 R。球殼帶的電荷 Q在球心的點(diǎn)勢(shì)為點(diǎn)電荷 q 在球心的點(diǎn)勢(shì)為接地導(dǎo)體的電勢(shì) V = 0 ： 二有電介質(zhì)時(shí)的靜電場(chǎng)問題（7-8） 1電介質(zhì)和電介質(zhì)的極化2極化強(qiáng)度矢量 和極化規(guī)律3極化電荷面密度 4電位移的概念，有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理6解有電介質(zhì)（導(dǎo)體）時(shí)的靜電問題，例題。5 之間的關(guān)系主要內(nèi)容：1電介質(zhì)和電介質(zhì)的極化（1）電介質(zhì) 電介質(zhì)：其內(nèi)部沒有自由運(yùn)動(dòng)的電荷，在靜電場(chǎng)中可以認(rèn)為電介質(zhì)即絕緣體。 根據(jù)其分子電結(jié)構(gòu)，電介質(zhì)分為兩類： a. 無極分子電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷中心相重合，無外場(chǎng)作用時(shí)，它的分子電偶矩為零（ ）。 由于熱運(yùn)動(dòng)，分子偶極矩混亂排列，無外場(chǎng)作用，其矢量和為零 b.

10、有極分子電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷中心不重合，即使無外場(chǎng)作用，它的分子偶極矩不為零例如， 、 、 等。例如， 、 、 等。1電介質(zhì)和電介質(zhì)的極化（續(xù)）（1）電介質(zhì)的極化極化：在外場(chǎng)作用下，電介質(zhì)出現(xiàn)極化電荷的現(xiàn)象 （不是由電介質(zhì)極化產(chǎn)生的電荷稱自由電荷）。 無極分子在外場(chǎng)作用下，正負(fù)電荷有相對(duì)移動(dòng)，其中心不再重合，從而 ，在其表面或內(nèi)部出現(xiàn)有極化電荷； 對(duì)有極分子，其分子偶極矩的在外場(chǎng)作用下發(fā)生轉(zhuǎn)向 ，使之有規(guī)則排列 在其表面或內(nèi)部亦有極化電荷出現(xiàn)。2電極化強(qiáng)度矢量和電介質(zhì)極化的規(guī)律（1）電極化強(qiáng)度矢量a. 電極化強(qiáng)度矢量： 單位體積內(nèi)分子電矩的矢量和。電極化強(qiáng)度矢量是描述電介質(zhì)被極化程度的物理量。

11、未極化時(shí) ， ， 對(duì)于無極分子介質(zhì)，在外場(chǎng)作用下， 正負(fù)電荷分離開，隨著外場(chǎng)的增加，正負(fù)電荷分開的距離增加，分子的 ， 。 對(duì)于有極分子介質(zhì) ，在外場(chǎng)作用下， 趨于平行排列的 ，隨著外場(chǎng)的增加， 的平行排列程度增加， 。 b. 均勻極化與非均勻極化所以， 是描述介質(zhì)極化程度的物理量。均勻極化：介質(zhì)中的極化程度到處的大小、方向都相同。否則為非均勻極化。 非均勻極化 均勻極化( 單位為 )2電極化強(qiáng)度矢量和電介質(zhì)極化的規(guī)律（1）電介質(zhì)極化的規(guī)律 電介質(zhì)在外場(chǎng)作用下極化，產(chǎn)生極化電荷，極化電荷激發(fā)電場(chǎng) ，總電場(chǎng)為原來的自由電荷所激發(fā)的電場(chǎng) 和極化電荷所激發(fā)的電場(chǎng) 的矢量和。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，介質(zhì)的極化強(qiáng)度

12、矢量 與總場(chǎng) 有關(guān): 其中 稱為介質(zhì)的電極化率， 稱為相對(duì)介電常數(shù)，與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。物質(zhì)水 78 云母 3.77.5 玻璃 510 空氣 1物質(zhì)紙 3.5 真空 1鈦酸鋇3. 極化電荷面密度沿 方向取一小體元，體積為 按電極化強(qiáng)度的定義，小體元中的分子偶極矩即 可將小體元看成一電偶矩。兩底面的電荷 ， 相距為 ，電偶矩大小為兩者相等： 證明：一塊電介質(zhì)被均勻極化，電極化強(qiáng)度為 ，極化電荷面密度為 。 電介質(zhì)被極化后在其表面有電荷。單位表面積的極化電荷稱為極化電荷面密度。極化電荷面密度與電極化強(qiáng)度矢量有關(guān)，關(guān)系為：其中 是電介質(zhì)表面法向，其方向從介質(zhì)內(nèi)部指向外部。3. 極化電荷面密度例如，極化電

13、荷均勻分布極化電荷非均勻分布 極化電荷面密度與電極化強(qiáng)度矢量的關(guān)系為：其中 是電介質(zhì)表面法向，其方向從介質(zhì)內(nèi)部指向外部。Pr 例 4 一電介質(zhì)球被均勻極化，極化強(qiáng)度為 。 求：（1）極化電荷面密度；（2）球面上的極化電荷在球心處的 E 。 取沿著 的方向?yàn)?x 軸。在球面上表面法向與 x 軸成 角處 的分布與 軸為對(duì)稱，且與 有關(guān)， 相同處， 相同。上半球面， ， ； 這是一個(gè) 非均勻帶電球面。下半球面， ， 。解：（1）求極化電荷面密度（2）求球面上的極化電荷在球心處的 E 。 把整個(gè)球面看成是一系列圓環(huán)所組成，圓心都在 X 軸上。在所對(duì)立體角為 的一個(gè)小環(huán)，在球心的場(chǎng)解： 這是一個(gè) 非均勻

14、帶電球面。三. 有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理 電位移 ( 7-9 ) 1有電介質(zhì)時(shí)高斯定理第八章討論的真空中靜電場(chǎng)的性質(zhì)：環(huán)路定理 （2）高斯定理： （1）將（1）、（2）兩式推廣到有自由電荷和極化電荷存在時(shí)的電場(chǎng)問題。 （1）、（2）兩式中的場(chǎng)強(qiáng)和電荷分別變?yōu)?有電介質(zhì)存在時(shí)，由于電介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷 ， 也會(huì)激發(fā)電場(chǎng) ，總電場(chǎng)為 。 ， 。但極化電荷 是與總電場(chǎng) 有關(guān)。因此，在有電介質(zhì)存在的情況下，如果只知道自由電荷和介質(zhì)的性質(zhì)，不可能利用下式子求 E 。 下面找出有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理另一表達(dá)形式。1有電介質(zhì)時(shí)高斯定理下面以一個(gè)特例找出有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理的另一表達(dá)形式。作高斯面如圖，

15、 設(shè)兩個(gè)無限大帶電導(dǎo)體板，其間充滿均勻電介質(zhì)。同樣對(duì)此高斯面，求 通量：帶電導(dǎo)體板的電荷面密度為 ，介質(zhì)被均勻極化，極化強(qiáng)度為 ，極化電荷面密度為 。由高斯定理：1有電介質(zhì)時(shí)高斯定理（續(xù)）或令這是有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理。由此兩式得：得其中 稱為電位移矢量。 它表明，靜電場(chǎng)中通過任一閉合曲面的電位移通量，等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。2電位移矢量 、 、 之間的關(guān)系 這是電位移、總電場(chǎng)強(qiáng)度、電極化強(qiáng)度三個(gè)矢量之間的關(guān)系式。電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理。這是電位移矢量和總電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系式。其中 在有電介質(zhì)存在的情況下，可以利用以上兩個(gè)式子求 E ：先用有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理求 D ，再由

16、D 與 E 的關(guān)系求 E 。這是解電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)問題的關(guān)鍵。式中“ ” 稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。4. 有介質(zhì)存在情況下場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算 例1：兩平行導(dǎo)體板間充滿一均勻電介質(zhì) ，介電常數(shù)為 ，兩導(dǎo)體板所帶電荷分別為 ，板面積為 S 。求介質(zhì)中的 、 、 。由有電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理解：下底面上底面 作高斯面 S，S 是底面為 的圓柱面。極化強(qiáng)度：極化電荷面密度： 例2：一半徑為 a 的導(dǎo)體球，帶電為 q ，在它的外面放一同心介質(zhì)球殼，相對(duì)介電常數(shù)為 ，內(nèi)外半徑分別為 a 和 b ，介質(zhì)球殼外為真空。求：（1）電場(chǎng)分布；（2）導(dǎo)體球和電介質(zhì)內(nèi)的電勢(shì)； （3）介質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷。解：

17、（1）求 E 分布。用有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理（ r b ) 時(shí)，作半徑為的 r 球面 S 為高斯面。 ( a r b ) 時(shí)，作半徑為 r 的球面 S 為高斯面。 例2（續(xù)）：（2）求電勢(shì)導(dǎo)體球內(nèi)（到球心的距離為 r ）的電勢(shì)電介質(zhì)內(nèi)（到球心的距離為 r）的電勢(shì)（ r b ) ( a r b ) （a r b ）例2（續(xù)）： （3）介質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷。介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)內(nèi)表面的極化電荷面密度：外表面的極化電荷面密度： ( a r b ) 例3：兩個(gè)無限長直導(dǎo)體圓筒，半徑分別為 a 和 b ，同軸放置。它們之間充滿相對(duì)介電常數(shù)為 的均勻電介質(zhì)。內(nèi)、外圓筒均勻帶電，單位長度帶電分別為 、 。求電介質(zhì)

18、中的 D、E、P 及其內(nèi)外表面的 。解：用有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理先求 D 。在介質(zhì)內(nèi)作半徑為 r 長為 l 的圓柱面 S 為高斯面。關(guān)于電位移矢量的幾點(diǎn)討論電位移矢量和總電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系式。電介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理的表達(dá)形式。 （1） 電位移線(a) D 線某點(diǎn)的切向代表場(chǎng)中該點(diǎn)的 D 方向；(b) D 線的稀密與的 D大小成正比；(c) D 線不能相交，也不能相切；(d) D 線由自由正電荷或無窮遠(yuǎn)發(fā)出， 終止于自由負(fù)電荷或無窮遠(yuǎn)。關(guān)于電位移矢量的幾點(diǎn)討論（續(xù)） （2）通過一個(gè)封閉曲面 S 的電位移通量，只與 S 內(nèi)的自由電荷有關(guān)，與 S 內(nèi)的極化電荷無關(guān)。但并不是說 D 只與自由電荷有關(guān)，與

19、極化電荷無關(guān)。 兩個(gè)平行帶電平面之間沒有電介質(zhì)，D 是均勻場(chǎng)。 兩個(gè)平行帶電平面之間放一球形電介質(zhì)，電介質(zhì)被均勻極化。D 是非均勻場(chǎng)，與極化電荷有關(guān)。 三. 電容器的電容（7-7 ） 主要掌握如何求一個(gè)導(dǎo)體電容器的電容。1 . 孤立導(dǎo)體的的電容 : 使導(dǎo)體每升高單位電勢(shì)所需之電量。例：一個(gè)孤立導(dǎo)體球，半徑為R。求它的電容 。 解：令孤立導(dǎo)體球帶電 q ，由高斯定理可以求得場(chǎng)強(qiáng)：球內(nèi)（ r R )2 . 電容器的電容 電容器的電容 ：每升高單位電壓所需要的電荷量。 電容器的電容的求解方法 ： 如果電容器的兩個(gè)極板帶電量分別為 Q、 Q，兩個(gè)極板的電勢(shì)差為 ，則其電容為（1） 令極板帶電 Q、；（

20、）求極板間的電場(chǎng)；（）求極板間的電勢(shì)差；（）由電容的定義式即可得：例1：平行板電容器。平行板電容器是由兩塊靠得很近的金屬板組成，極板的面積為 S ，極板間距為 d ，兩導(dǎo)體板之間是真空，求其電容。（可以將板看成無限大，板間場(chǎng)強(qiáng)是均勻的）解： （1）令兩導(dǎo)體板帶電 q 、q ，（2）求極板間的場(chǎng)強(qiáng)： 作高斯面 S，S 是底面為 的圓柱面。 極板上的電荷面密度為： （3）求極板間的電勢(shì)差： 例2：球形電容器 由兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼組成，半徑分別為 a 和 b ，兩個(gè)導(dǎo)體球殼之間為真空。求其電容。（兩個(gè)導(dǎo)體球殼很薄，可忽路其厚度） 解：（1）令兩導(dǎo)體球殼帶電 q 、q ， （2）求極板間的場(chǎng)強(qiáng)： 作高斯

21、面 S，S 是半徑為 r 的同心球面。 （3）求極板間的電勢(shì)差： 例：同軸圓柱形電容器 該電容器是由兩個(gè)同軸圓柱形導(dǎo)體所組成，長為 L，內(nèi)外半徑分別為 a 、 b ，其間充滿相對(duì)介電常數(shù)為 的均勻電介質(zhì) 。而且 ， 求其電容。（可看成無限長）（2）先求 D 。在介質(zhì)內(nèi)作半徑為 r長為 l 的圓柱面 S 為高斯面。 解： （1）令兩極板帶電 q 、q 。單位長度帶電為 （3）求極板間的電勢(shì)差：3. 電介質(zhì)對(duì)電容器的的影響（1）可以使電容 C 增加；球形電容器（極板間為真空）平行板電容器（極板間為真空）圓柱形電容器（極板間充滿介相對(duì)電常數(shù)為 的均勻電介質(zhì) ） （2）極板間其間充滿均勻的電介質(zhì)可以

22、增加電容器的耐壓能力（與空氣相比）。物質(zhì) 真空 空氣 云母 玻璃 紙 鈦酸鋇 1 1 3.77.5 510 3.5 物質(zhì) 空氣 云母 玻璃 紙 鈦酸鋇 介電強(qiáng)度 3 80200 513 1640 （KV/mm） 其中 是電容器極板間為真空時(shí)的電容。4. 電容器的并聯(lián)、串聯(lián)并聯(lián)電容兩端電壓相等 有 n 個(gè)電容器，電容分別為 、 ，將其并聯(lián)成一個(gè)電容器的電容是并聯(lián)等效電容器極板上的電量等于每個(gè)電容極板上的電量之和。（1）電容器的并聯(lián)并聯(lián)等效電容器的電容等于每個(gè)電容的電容之和。4. 電容器的并聯(lián)、串聯(lián) 串連電容極板上 q 相等，串聯(lián)等效電容器極板上的電壓等于每個(gè)電容極板上的電壓之和。（2）電容器的串

23、聯(lián) 有 n 個(gè)電容器，電容分別為 、 ，將其串聯(lián)成一個(gè)電容器的電容是 串聯(lián)等效電容器的電容的倒數(shù)等于每個(gè)電容的電容的倒數(shù)之和。四. 靜電場(chǎng)的能量（7-9 ） 1點(diǎn)電荷間的相互作用能 靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，可引進(jìn)勢(shì)能。 點(diǎn)電荷 相距為 r 時(shí)相互作用能為： 可將上面的式子改成下面的形式（先看兩個(gè)點(diǎn)電荷）。其中 是 在 處產(chǎn)生的電勢(shì)， 是 在 處產(chǎn)生的電勢(shì)。其中 是除了 之外，其余所有的電荷在 處激發(fā)的電勢(shì)之和 。多個(gè)點(diǎn)電荷：相當(dāng)于將各個(gè) 從無窮遠(yuǎn)移來克服電場(chǎng)力作功，或?qū)⒏鱾€(gè) 移到無窮遠(yuǎn)電場(chǎng)力作功。多個(gè)（ n個(gè)）點(diǎn)電荷：四. 靜電場(chǎng)的能量2. 電荷連續(xù)分布時(shí)的靜電能其中 是除了 之外，其余所有的電荷在

24、處激發(fā)的電勢(shì)之和 。多個(gè)（ n個(gè)）點(diǎn)電荷：與 r 有關(guān)。其中 是帶電系統(tǒng)形成之后，dq 所在處的電勢(shì)。而一個(gè)導(dǎo)體為等勢(shì)體，各 dq 的電勢(shì)相同，這時(shí)只對(duì) q 積分即可。 對(duì)于一般的帶電體，不同的 dq 處， 不相同。例如，均勻帶電球，距球心 r 的 dq 處的電勢(shì)為 上式所表達(dá)的是將各 dq 從無窮遠(yuǎn)處移來時(shí)，克服電場(chǎng)力所作的功。包括相互作用能和固有能，稱為靜電能。 如果只有一個(gè)帶電體，則是它的固有能（自具能）。電荷連續(xù)分布時(shí)四. 靜電場(chǎng)的能量3. 靜電場(chǎng)的能量現(xiàn)在以平行板電容器貯能為例導(dǎo)出靜電場(chǎng)能量的重要表達(dá)式。 設(shè)充電過程的某一瞬時(shí)，電容器極板上電荷為 q，再將 dq 從負(fù)極移到正極，外力

25、克服電場(chǎng)力作功 兩極板上分別帶電 時(shí) ，外力作總功：此功以能量的形式貯存在電容器中，成為電容器的靜電能。兩極板電勢(shì)差為Q 一定， ； U 一定， 。 3.靜電場(chǎng)的能量電容器貯存的靜電能靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電能密度其中 為電容器內(nèi) 區(qū)間的體積。對(duì)于一般的非均勻場(chǎng)，電場(chǎng)能量為：電容器內(nèi)的能量密度，即單位體積靜電能為例：一個(gè)半徑為 a ，帶電量為 q 的導(dǎo)體球的靜電能。 解：求電場(chǎng)強(qiáng)度 E 。 電荷 q 只分布在外表面，且外表電勢(shì)處處相等。 球外，作高斯面 S，S 是半徑為 r 的同心球面。 由靜電平衡條件得：例：一個(gè)半徑為 a ，帶電量為 q 的導(dǎo)體球的靜電能。利用公式 求W。導(dǎo)體球外 導(dǎo)體球內(nèi) 在導(dǎo)體球外取半徑為 r 、厚為 dr 的同心球殼為體元 dV。例：一個(gè)半徑為 a ，帶電量為 q 的