大學(xué)物理課件：3-1~3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、二、角動(dòng)量守恒定律分量式：由角動(dòng)量定理：當(dāng)時(shí)，恒矢量研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)系一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理：上節(jié)內(nèi)容回顧在有心力場(chǎng)中，關(guān)于力心的角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)的一維或二維平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系或剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第三章 剛體和流體的運(yùn)動(dòng)3-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)3-2 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系3-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律目的:掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律理解力矩,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,角動(dòng)量的概念及彼此的聯(lián)系重點(diǎn):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律難點(diǎn):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律第3-1 剛體的模型及其運(yùn)動(dòng)一、剛體：既考慮物體的質(zhì)量， 又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型,物體的形狀和大小不發(fā)生變化，即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的

2、距離都保持不變剛體(Rigid body )。說明1) 理想化的力學(xué)模型；2) 任何兩點(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變； 剛體可以看成一個(gè)包含由大量質(zhì)點(diǎn)、 而各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。二、 剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)一）、剛體運(yùn)動(dòng)1、平動(dòng)當(dāng)剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同時(shí)，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線時(shí)，剛體的運(yùn)動(dòng)叫作平動(dòng)。2、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線叫作轉(zhuǎn)軸。平動(dòng)是剛體的一種基本運(yùn)動(dòng)形式，剛體做平動(dòng)時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同，可用其上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表整體的運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸的類型：瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間變化 一般轉(zhuǎn)動(dòng)

3、如：車輪的滾動(dòng)。固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 如：門的轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：1)、各質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)；2)、各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于軸線，圓心在軸線上；3)、各質(zhì)點(diǎn)的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同。 OvP,rr定軸剛體參考方向z3、剛體的一般運(yùn)動(dòng)一個(gè)汽車輪子在地上的滾動(dòng)A、B、C、各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都不相同繞過o 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)oABCo o輪子的平動(dòng)ABCoABCoABABCCo剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)二）、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角位置角速度角加速度pro轉(zhuǎn)動(dòng)平面三）、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果在任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)，角速度的增量都是相等的，這種變速轉(zhuǎn)動(dòng)叫做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。角加速度 角速

4、度 角位移 角位置 四)、角量與線量的關(guān)系速度切向加速度法向加速度oPvr路程和角位移做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：1個(gè)自由度做平面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：2個(gè)自由度做空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：3個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)：(x, y, z) i = 3 三、自由度 所謂自由度就是決定系統(tǒng)在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。C(x,y,z)物體有幾個(gè)自由度，它的運(yùn)動(dòng)定律就歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程。運(yùn)動(dòng)剛體：自由剛體有 6個(gè)自由度：隨質(zhì)心的平動(dòng) + 繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)確定質(zhì)心位置 3個(gè)平動(dòng)自由度 (x, y, z)確定過質(zhì)心軸位置 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 (， )確定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位置 1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 ( )3-2、 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一）、力矩(Mom

5、ent of force)1、引入外力對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，與力的大小、方向和作用點(diǎn)的位置有關(guān)。力通過轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不改變力離轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)： 容易改變力離轉(zhuǎn)軸近： 不易改變2、力對(duì)點(diǎn)的力矩rFOrFM3、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩情況1：力與軸平行，則M=0力對(duì)O點(diǎn)的力矩在通過O點(diǎn)的軸上的投影稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力臂：轉(zhuǎn)軸和力的作用線之間的距離d稱為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂。力矩：力的大小與力臂的乘積，稱為力F對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。rodF情況2：剛體所受的外力F在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)4、合力矩結(jié)論：合力矩等于每個(gè)分力的力矩之和。單位Nm將力F分解為平行于軸的分力Fz和垂直于軸的分力F 。Fz不影響剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，只有F能使剛體繞OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)

6、， O情況3：若力F不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)（轉(zhuǎn)動(dòng)平面）5、關(guān)于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力矩在剛體內(nèi)取質(zhì)點(diǎn)1和2，位置矢量分別為其內(nèi)力大小相等，方向相反，在一條直線上且有這一對(duì)內(nèi)力矩之和為剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的作用力總是成對(duì)出現(xiàn)，并遵守牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律，每一對(duì)內(nèi)力矩之和為零，故總內(nèi)力矩為二)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、單個(gè)做變速率圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的情況法向力 Fn=man，通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零切向力 Ft=mat=mr對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為 M= Ft r= mr2 = M/(mr2)質(zhì)點(diǎn)的角加速度與質(zhì)點(diǎn)所受的力矩成正比2、內(nèi)力矩dff 兩個(gè)內(nèi)力的合力矩為零。推廣：剛體的內(nèi)力力矩之和為零。or3、剛體的情況把剛體看成是由許多質(zhì)點(diǎn)所組成的

7、，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)i，假設(shè)它的質(zhì)量為mi，所受的外力為Fi，內(nèi)力為f i，(假設(shè)Fi, f i均在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)）則定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)mi 用牛頓第二定律：切向分量式為：外力矩內(nèi)力矩對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：zOrifiFimiii轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律2. 力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。說明：1. M=J 與 F=ma 地位相當(dāng)，m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性, M=J是解決剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題的基本方程。3.合外力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸而言的；力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)方向，

8、所 以用正、負(fù)號(hào)表示方向。三)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、定義 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。 y rix z yi xi mi 2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義： 當(dāng)以相同的力矩分別作用于兩個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的不同剛體時(shí)，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性大；反之，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性小。因此，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。3.與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量；轉(zhuǎn)軸的位置；剛體的形狀。實(shí)質(zhì)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有前兩個(gè)因素。形

9、狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性； 單位：kgm2 4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1）、若質(zhì)量離散分布若m1和m2在同一平面內(nèi)，且到直線的距離分別為r1,r2,則m1和m2對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2）、若質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線分布體分布面分布為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的面密度注意 只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例1、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ALXL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dxBL/2XO hdxA:C:B:O O

10、dxdxxxx討論：1、三個(gè)剛體，質(zhì)量相等，因轉(zhuǎn)軸位置或質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不相等；2、對(duì)B：當(dāng)h=L/2時(shí),變成A；當(dāng)h=0時(shí)，變成以O(shè)為轉(zhuǎn)軸的情況C。3、平行軸定理：剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等于對(duì)通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc加上剛體質(zhì)量m乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離h的平方。ALXCL/2L/2OXBL/2XO h例2、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：ROdmJ是可加的，所以若為薄圓筒(質(zhì)量為m ，不計(jì)厚度）結(jié)果相同。例3、求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。mR解：取半徑為r寬為dr厚度為l的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與

11、l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。lORrdr例3、內(nèi)半徑為R1 外半徑為R2 質(zhì)量為m 的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rdr討論：1、R102、R1R23、能否利用割補(bǔ)法計(jì)算Jl例4、質(zhì)量為m 半徑為R 的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在球面取一圓環(huán)帶，半徑r例5、質(zhì)量為m 半徑為R 的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合 對(duì)與球體相切的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又為多少？Z Z四、平行軸定理 剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等于對(duì)通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc加上剛體質(zhì)量m乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離d的平方OOJcJdmriri過質(zhì)心C 的軸與平面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原

12、點(diǎn)O。計(jì)算過O點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量*垂直軸定理(僅適用于薄平面情況) 對(duì)于薄板剛體，若建立坐標(biāo)系Oxyz，其中z軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內(nèi)，則薄板剛體對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和 yx z 圓盤 R C mdm求質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)薄圓盤對(duì)通過盤心并處于盤面內(nèi)的以盤的直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 *垂直軸定理(僅適用于薄平面情況) 對(duì)于薄板剛體，若建立坐標(biāo)系Oxyz，其中z軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內(nèi)，則薄板剛體對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和 dmr(x,y,z)oxyzdm到z軸的距離為 到x軸的距離為 到y(tǒng)軸的距離為（2）

13、+（3）得剛體對(duì)三個(gè) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為當(dāng)z足夠小時(shí)（z=0） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量，其表達(dá)式為J=mir2i 如果剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則上式可寫為積分形式 在工程中，常將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為 式中 m為剛體的質(zhì)量， rG稱為回轉(zhuǎn)半徑，單位為m或cm?；剞D(zhuǎn)半徑的物理意義為：若將物體的質(zhì)量集中在以 rG為半徑、Oz 為對(duì)稱軸的細(xì)圓環(huán)上，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變?；剞D(zhuǎn)半徑 五）、幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素 剛體的質(zhì)量：同形狀的剛體，越大，J就越大。 質(zhì)量的分布：質(zhì)量相同，dm分布在r越大的地方，則J 越大。 剛體的轉(zhuǎn)軸位置：同一剛體依不同的轉(zhuǎn)軸而有不同的 J.如何計(jì)算（4）的J

14、.六)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用題目類型已知兩個(gè)物理量，求另一個(gè)：1.已知J和M，求2.已知J和 ，求M3.已知M和，求J解題步驟1.確定研究對(duì)象；2.受力分析；3.選擇參考系與坐標(biāo)系；4.列運(yùn)動(dòng)方程；5.解方程；6.必要時(shí)進(jìn)行討論。注意以下幾點(diǎn)：1.力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言的；2.要選定轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向，以便確定已知力矩或角加速度、角速度的正負(fù)；3. 系統(tǒng)中有轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)定律平動(dòng)物體牛頓定律例、一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R 的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m 的物體而下垂。細(xì)繩不打滑，忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度

15、。解：定軸ORthmv0=0繩M 例2:一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1m1，物體1向上運(yùn)動(dòng)，物體2向下運(yùn)動(dòng)，滑輪以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠淌街惺腔喌慕羌铀俣?，a是物體的加速度。滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即從以上各式即可解得 當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0時(shí)，有 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)量重力加速度g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、 m2 、r和J的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1和2的加速度a，再通過加速度把g算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能精確地測(cè)出a來。例3、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對(duì)O 的力矩。 棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：XOdmg dm=m/ldrx據(jù)質(zhì)心定義rdr再求角速度XOdmgdmx例4勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R，在水平桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面之間的摩擦系數(shù)為，求圓盤從以角速度0旋轉(zhuǎn)