線性代數(shù)全套講義

1、第一章 行列式 1. 1 二階、三階行列式 一、二元線性方程組與二階行列式 用消元法解二元線性方程組, 方程(2)a11-方程(1)a21得 (a11a22-a12a21) x2= a11b2-b1a21, 于是 ; 類似地有 (a11a22-a12a21) x1= b1a22-a12b2, .我們把a(bǔ)11a22-a12a21稱為二階行列式, 并記為, 即 . 在二階行列式中, 橫排稱為行, 豎排稱為列. a ij稱為行列式的元素, 它是行列式中第i行第j列的元素. 從左上角元素到右下角元素的實(shí)聯(lián)線稱為主對(duì)角線, 從右上角元素到左下角元素的虛聯(lián)線稱為副對(duì)角線. 于是二階行列式是主對(duì)角線上兩元素

2、之積減去的副對(duì)角線上二元素之積所得的差, 這一計(jì)算法那么稱為對(duì)角線法那么. 按對(duì)角線法那么可得 , . 假設(shè)記 那么線性方程組的解可表為 , . 例1 求解二元線性方程組 解 由于 因此 二 、三階行列式 用消元法解三元線性方程組, 可得 x2= , x3= . 我們把表達(dá)式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31稱為三階行列式 記為 , 即 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 對(duì)角線法那么 按對(duì)角線法那么 有 b1a22a33a12a23b3a13

3、b2a32 b1a23a32a12b2a33a13a22b3 假設(shè)記 那么三元線性方程組的解為 例2 計(jì)算三階行列式 解 按對(duì)角線法那么 有 D12(2)21(3)(4)(2)4 1142(2)(2)(4)2(3) 4632482414 例3 求解方程 解 方程左端的三階行列式 D3x24x189x2x212x25x6 由x25x60解得x2或x3 對(duì)角線法那么只適用于二階與三階行列式 為研究四階及更高階行列式 下面先介紹有關(guān)全排列的知識(shí) 然后引出n階行列式的概念1 2 全排列及其逆序數(shù) 引例 用1、2、3三個(gè)數(shù)字 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解 百位上可以從1、2、3中任意選取一個(gè)

4、 共有3種選法 百位數(shù)字確定后 十位上的數(shù)字在剩余的兩個(gè)數(shù)中選取 共有兩種選法 百位和十位上的數(shù)字都確定后 個(gè)位上的數(shù)字只能取剩下的一個(gè)數(shù)字 即只有一種選法 因此總共有3216種選法 即可以組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 這6個(gè)三位數(shù)是 123 231 312 132 213 321 我們把n個(gè)不同的對(duì)象(稱為元素)排成一列 叫做這n個(gè)元素的全排列(也簡(jiǎn)稱排列) n個(gè)不同元素的所有排列的總數(shù) 通常用Pn表示 Pn的計(jì)算公式 Pnn(n1)(n2) 321n! 比方由a b c組成的所有排列為 a b c a c b b a c b c a c a b c b a abb是排列嗎? 以下我們只討論

5、n個(gè)自然數(shù)的全排列 在n個(gè)自然數(shù)的全排列中排列123 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列 在一個(gè)排列中 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同 就說有1個(gè)逆序 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù) 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列 逆序數(shù)的計(jì)算法 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti個(gè)大于pi的數(shù) 就說元素pi的逆序數(shù)是ti 全體元素的逆序數(shù)之和 tt1t2 tn即是這個(gè)排列的逆序數(shù) 例4 求排列32514的逆序數(shù) 解 在排列32514中 t10 t21 t30 t43 t51 3位于首位 其逆序數(shù)為0 2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)(3) 故其逆序數(shù)為1 5的前面沒有比

6、5大的數(shù) 故其逆序數(shù)為0 1的前面比1大的數(shù)有三個(gè)(3、2、5) 故其逆序數(shù)為3 4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)(5) 故其逆序數(shù)為1 于是排列32514的逆序數(shù)為 t010315 標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是多少?1 3 n階行列式的定義 為推廣行列式概念, 必須找出二階、三階行列式的展開式的共同特征. 觀察展開式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 可以得到如下規(guī)律: (1)三階行列式右邊的每一項(xiàng)都恰是三個(gè)元素的乘積 這三個(gè)元素位于不同的行、不同的列 行列式右邊任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)外可以寫成 , 這里第一個(gè)下標(biāo)(行標(biāo))排列成標(biāo)

7、準(zhǔn)次序123 而第二個(gè)下標(biāo)(列標(biāo))排成其中p1p2p3它是1、2、3三個(gè)數(shù)的某個(gè)排列 這樣的排列共有6種 對(duì)應(yīng)行列式右邊共含6項(xiàng) (2)各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)的排列對(duì)照 帶正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是 123 231 312 帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是 132 213 321 經(jīng)計(jì)算可知前三個(gè)排列都是偶排列 而后三個(gè)排列都是奇排列 因此各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為(1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù) 總之, 三階行列式可以寫成 , 其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù) 表示對(duì)1、2、3三個(gè)數(shù)的所有排列p1p2p3取和. 仿此 可以把行列式推廣到一般情形 定義 由n2個(gè)數(shù)aij (i, j=1, 2, , n)構(gòu)成的代

8、數(shù)和 稱為n階行列式, 記為 簡(jiǎn)記為det(aij) 其中p1p2 pn為自然數(shù)1 2 n的一個(gè)排列 t為這個(gè)排列的逆序數(shù) 表示對(duì)所有排列p1p2 pn取和. 在n階行列式D中 數(shù)aij為行列式D的(i j)元 特別規(guī)定一階行列式|a|的值就是a. 注: n階行列式共有n!項(xiàng), 且冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半. 在行列式中, 的行標(biāo)的排列為123 n, 說明n個(gè)元素取自不同的行, 列標(biāo)的排列為p1p2 pn, 說明n個(gè)元素取自不同的列, 所以表示取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積. 如果p1p2 pn為奇排列, 那么面冠以負(fù)號(hào); 如果p1p2 pn為偶排列, 那么前面冠以正號(hào). 例5 證明

9、n階行列式 ; . 解 第一式左端稱為對(duì)角行列式, 其結(jié)果是顯然的, 下面只證第二式. 假設(shè)記li=a i, n-i+1 , 那么依行列式定義 , =(-1)t a1na2, n-1 an1=(-1)tl1l2 ln, 其中t為排列n(n-1) 21的逆序數(shù), 故 t=0+1+2+ +(n-1) . 主對(duì)角線以下(上)的元素都為0的行列式叫做上(下)三角行列式, 它的值與對(duì)角行列式一樣. 例6 證明下三角形行列式 . 解 我們要求出展開式中所有可能不為零的乘積項(xiàng). 要使取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積不一定為零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 這

10、樣的乘積項(xiàng)只有一個(gè) 這就是a11a22a33 ann. 因?yàn)樗牧袠?biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列 其逆序數(shù)為0 所以在它前面帶有正號(hào) 因此 補(bǔ)充例題 例1 在6階行列式det(aij)中 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號(hào)？ 解 因?yàn)榱袠?biāo)排列532416的逆序數(shù)為t0121408 為偶排列 所以在該乘積項(xiàng)的前面應(yīng)取正號(hào) 例2 用行列式定義計(jì)算行列式 解 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 所以四個(gè)元素的乘積為a21a43a14a32a14a21a32a43其列標(biāo)排列為4123 它的逆序數(shù)為3 是奇排列

11、 所以D(1)3a14a21a32a43a14a21a32a431 6 5 線性變換的矩陣表示式 上節(jié)例10中 關(guān)系式T(x)Ax (xRn)簡(jiǎn)單明了地表示出Rn中的一個(gè)線性變換 我們自然希望Rn中任何一個(gè)線性變換都能用這樣的關(guān)系式來表示 為此 考慮到1Ae1 2Ae2 nAen(e1 e2 en為單位坐標(biāo)向量) 即iT(ei) (i1 2 n)可見如果線性變換T有關(guān)系式T(x)Ax 那么矩陣A應(yīng)以T(ei)為例向量 反之 如果一個(gè)線性變換T使T(ei)i (i1 2 n) 那么T必有關(guān)系式 T(x)T(e1 e2 en)xT(x1e1 x2e2 xnen) x1T(e1)x2T(e2) xn

12、T(en) (T(e1) T(e2) T(en)x(1 2 n)xAx 總之 Rn中任何線性變換T 都能用關(guān)系式T(x)Ax (xRn)表示 其中A(T(e1) T(e2) T(en) 把上面的討論推廣到一般的線性空間 我們有 定義7 設(shè)T是線性空間Vn中的線性變換 在Vn中取定一個(gè)基1 2 n 如果這個(gè)基在變換T下的像(用這個(gè)基線性表示)為 T(i)a1i1a2i2 anin (i1 2 n) 記T(1 2 n)(T(1) T(2) T(n) 上式可表示為T(1 2 n)( 1 2 n)A其中 那么 A就稱為線性變換T在基1 2 n下的矩陣 顯然 矩陣A由基的像T(1) T(2) T(n)唯

13、一確定 如果給出一個(gè)矩陣A作為線性變換T在基1 2 n下的矩陣 也就是給出了這個(gè)基在變換T下的像 那么 根據(jù)變換T保持線性關(guān)系的特性 我們來推導(dǎo)變換T必須滿足的關(guān)系式 Vn中的任意元素記為 x11x22 xnn(1 2 n)x 其中x(x1 x2 xn)T 有 T(x11x22 xnn)x1T(1)x2T(2) xnT(n) (T(1) T(2) T(n)x (1 2 n)Ax 即 T(1 2 n)x(1 2 n)Ax 這個(gè)關(guān)系式唯一地確定一個(gè)變換T 可以驗(yàn)證所確定的變換T是以A為矩陣的線性變換 總之 以A為矩陣的線性變換T由關(guān)系式T(1 2 n)x(1 2 n)Ax唯一確定 定義7和上面一段

14、討論說明 在Vn中取定一個(gè)基以后 由線性變換T可唯一確定一個(gè)矩陣A 由一個(gè)矩陣A也可唯一地確定一個(gè)線性變換T 這樣 在線性變換與矩陣之間就有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 由關(guān)系式T(1 2 n)x(1 2 n)Ax可見與T()在基1 2 n下的坐標(biāo)分別為x(x1 x2 xn)T與AxA(x1 x2 xn)T 例11 在Px3中 取基p1x3 p2x2 p3x p41求微分運(yùn)算D的矩陣 解 D(p1 p2 p3 p4)(3x2 2x 1 0)(3p2 2p3 p4 0) 即微分運(yùn)算D的矩陣為 例12 在R3中 T表示將向量投影到xOy平面的線性變換 即T(xiyjzk)xiyj (1)取基為i j k 求T的

15、矩陣 (2)取基為i j ijk 求T的矩陣 解 (1)T(i j k)(i j 0) 即T的矩陣為 (2) T( )T(i j ijk)(i j ij) 即T的矩陣為 由上例可見 同一個(gè)線性變換在不同的基下有不同的矩陣 一般地 我們有 定理3 設(shè)線性空間Vn中取定兩個(gè)基1 2 n 1 2 n 由基1 2 n到基1 2 n的過渡矩陣為P Vn中的線性變換T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和B 那么BP1AP 證明 按定理的假設(shè) 有 (1 2 n)(1 2 n)P P可逆 及 T(1 2 n)(1 2 n)A T(1 2 n)(1 2 n)B 于是 (1 2 n)BT(1 2 n)T(1 2 n)P

16、T(1 2 n)P(1 2 n)AP (1 2 n)P1AP 因?yàn)? 2 n線性無關(guān) 所以BP1AP 例13 設(shè)V2中的線性變換T在基1 2下的矩陣為求T在基2 1下的矩陣 解 即 求得 于是T在基2 1下的矩陣為 定義8 線性變換T的像空間T(Vn)的維數(shù) 稱為線性變換T的秩 顯然 假設(shè)A是T的矩陣 那么T的秩就是R(A) 假設(shè)T的秩為r 那么T的核Sr的維數(shù)為nr 1.5 行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式: 記, ,行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式. 性質(zhì)1 行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT相等. 證 記D=det(aij)的轉(zhuǎn)置行列式,那么bij=aji (i, j=1, 2, , n). 按定義

17、而由定理2, 有 故DT=D . 由此性質(zhì)可知, 行列式中的行與列具有同等的地位, 行列式的性質(zhì)但凡對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立, 反之亦然. 性質(zhì)2 互換行列式的兩行, 行列式變號(hào). 證 設(shè)行列式是由行列式D=det(aij)對(duì)換i, j兩行得到的, 即bkp=akp(ki, j), bip=ajp, bjp=aip(p=1, 2, , n). 于是 , 其中1 i j n為標(biāo)準(zhǔn)排列, t為排列p1 pi pj pn的逆序數(shù). 設(shè)排列p1 pj pi pn的逆序數(shù)為t1 , 那么, 故. 以r i表示行列式的第i行, 以c i表示第i列. 交換i, j兩行記作rirj, 交換i, j兩列記作ci

18、cj. 推論1 如果行列式有兩行(列)完全相同, 那么此行列式等于零. 證 把這兩行互換, 有D=-D, 故D=0. 性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù)k乘此行列式. 即. 第i行(或列)乘以k, 記作rik(或cik). 推論 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面. 第i行(或列)提出公因子k, 記作rik(或cik). 性質(zhì)4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例, 那么行列式等于零. 性質(zhì)5 假設(shè)行列式的某一行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和, 例如第i行的元素都是兩數(shù)之和: ,那么D等于以下兩個(gè)行列式之和: . 性質(zhì)6 把行列式的某一行

19、(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式不變. 即. 以數(shù)k乘第j行加到第i行上, 記作ri+krj. 例7 計(jì)算. 解 (下一步: c1c2) (下一步: r2-r1, r4+5r1) (下一步: r2r3) (下一步: r3+4r2, r4-8r2) (下一步: r3+r4) (下一步: r45r3) 例8 計(jì)算 解 (下一步: r1+r2r3+r4) (下一步: r16) (下一步: r2r1 r3r1 r4r1 ) 例9 計(jì)算 解 (下一步: r4r3 r3r2 r2r1) (下一步: r4r3 r3r2) (下一步: r4r3) 例10 證明DD1D2 其

20、中 證 對(duì)D1作運(yùn)算rikrj 把D1化為下三角形行列式 設(shè)為 對(duì)D2作運(yùn)算cikcj 把D2化為下三角形行列式 設(shè)為 于是 對(duì)D的前k行作運(yùn)算rikrj 再對(duì)后n列作運(yùn)算cikcj 把D化為下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 例11 計(jì)算2n階行列式 其中未寫出的元素為0 解 把D2n中的第2n行依次與2n1行、 、第2行對(duì)調(diào)(作2n2次相鄰對(duì)換) 再把第2n列依次與2n1列、 、第2列對(duì)調(diào) 得 根據(jù)例10的結(jié)果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1) 以此作遞推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2(adbc)n 例11 計(jì)算

21、2n階行列式 其中未寫出的元素為0 解 把D2n中的第2n行依次與2n1行、 、第2行對(duì)調(diào)(作2n2次相鄰對(duì)換) 再把第2n列依次與2n1列、 、第2列對(duì)調(diào) 得 根據(jù)例10的結(jié)果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1) 以此作遞推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2(adbc)n 1.6 行列式按行(列)展開 在n 階行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列劃去后 剩下來的n1階行列式叫做元素aij的余子式 記作Mij 記Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代數(shù)余子式 例如行列式 中元素a23的余子式為 元素a23的代數(shù)余

22、子式為 (1)23M23M 23 引理 在n階行列式D中 如果第i行元素除aij外都為零 那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積 即DaijAij 簡(jiǎn)要證明 定理3 行列式等于它的任一行(列)各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和, 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i1, 2, , n),或 Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j1, 2, , n). 簡(jiǎn)要證明 因?yàn)?根據(jù)引理 即得 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i1, 2, , n) 類似地 可證 Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j1, 2, , n). 這個(gè)定理叫做行列式按行(

23、列)展開法那么 例1 計(jì)算行列式 . 解 將D按第三列展開,應(yīng)有 Da13A13a23A23a33A33a43A43,其中a133, a231, a331, a430, , , , ,所以 D3191(63)(1)180(10)24. 例2 計(jì)算n階范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展開) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2)Dn-

24、2 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2) (an-an-1) . 例2 計(jì)算n階范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展開) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)D n-1 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2) (an-an-1) . 推論 行列式某一行(列)的元素

25、與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即 ai1Aj1+ai2Aj2+ +ainAjn =0 (ij), 或 a1iA1j+a2iA2j+ +aniAnj=0 (ij). 證明 因?yàn)?, 所以 aj1Aj1+aj2Aj2+ +ajnAjn=(aj1+ai1)Aj1+(aj2+ai2)Aj2+ +(ajn+ain)Ajn , 移項(xiàng)化簡(jiǎn)得 ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn=0. 綜合結(jié)果: , 或. 相關(guān)結(jié)果: , . 例3 設(shè) , D的(i, j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作Mij和Aij, 求 A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41.

26、解 (下一步: r4+r3, r3-r1) (下一步: 按第三列展開) (下一步: c2+c1) (下一步: 按第三行展開) M11+M21+M31+M41A11A21+A31A41 (下一步: r4+r3) (下一步: 按第三行展開) (下一步: r12r3) 補(bǔ)充題 例1 分別按第一行與第二列展開行列式 . 解 按第一行展開: D1(1)110(1)12(2)(1)13 1(8)0(2)518. 按第二列展開: D0(1)121(1)223(1)32 01(3)3(1)531518. 例2 計(jì)算 (1)(1)32 1(1)2261824. 例3 計(jì)算n階行列式 解 按第一行展開 得 1.7

27、 克拉默法那么 含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組的一般形式為 ()由它的系數(shù)組成的n階行列式 稱為n元線性方程組的系數(shù)行列式 克拉默法那么 如果線性方程組()的系數(shù)行列式不等于零, 即 那么 方程組()有唯一解 其中D j (j=1, 2, , n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素a1j, a2j, , anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn后所得到的n階行列式 即. 證明 以行列式D的第j(j1, 2, , n)列的代數(shù)余子式A 1j, A 2j, , A nj分別乘以方程組的第1, 第2, , 第n個(gè)方程, 然后相加, 得 (a11A1ja21A2j an1Anj)x1(a

28、12A1ja22A2j an2Anj)x2 (a1jA1ja2jA2j anjAnj)xj (a1nA1ja2nA2j annAnj)xn b1A1j b2A2j bnAnj,xj的系數(shù)等于D, xs(sj)的系數(shù)等于零. 等號(hào)右端等于D的第j列元素以常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn替換后的行列式Dj, 即 Dxj Dj (j=1, 2, , n), 如果方程組有解, 那么其解必滿足DxjDj, 而當(dāng)D0時(shí), 方程組只有形如 (j=1, 2, , n)的解. 另一方面, 將(j=1, 2, , n)代入方程組, 容易驗(yàn)證它滿足方程組, 所以(j=1, 2, , n)是方程組的解. 綜上所述, 當(dāng)

29、方程組的系數(shù)行列式D0時(shí), 方程組有且僅有唯一解 (j=1, 2, , n). 例1 解線性方程組 解 于是得 例2 設(shè)曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(diǎn)(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數(shù)a0 a1 a2 a3 解 把四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程 得線性方程組 其系數(shù)行列式為 (41)(31)(21)(42)(32)(43)32121112 因此 得唯一解 a03 a22 即曲線方程為 定理4 如果線性方程組()的系數(shù)行列式D0 那么方程組()一定有解 且解是唯一的 定理4 如果線性方程組()無解或有兩個(gè)不同的解 那么它的系數(shù)行列式必為零 線性方程組()右端的常數(shù)項(xiàng)b1

30、b2 bn不全為零時(shí) 線性方程組()叫做非齊次線性方程組 當(dāng)b1 b2 bn全為零時(shí) 線性方程組()叫做齊次線性方程組 對(duì)于齊次線性方程組 ()x1x2 xn0一定是它的解 這個(gè)解叫做齊次線性方程組()的零解 如果一組不全為零的數(shù)是方程組()的解 那么它叫做齊次線性方程組()的非零解 齊次線性方程組()一定有零解 但不一定有非零解 定理5 如果齊次線性方程組()的系數(shù)行列式D0 那么齊次線性方程組()沒有非零解 定理5 如果齊次線性方程組()有非零解 那么它的系數(shù)行列式必為零 例16 問取何值時(shí) 齊次線性方程組 有非零解？ 解 假設(shè)所給齊次線性方程組有非零解 那么其系數(shù)行列式D0 而 (5)(

31、6)(4)4(4)4(6) (5)(2)(8) 由D0 得2、5或8 補(bǔ)充例題 例1 解線性方程組 . 解 計(jì)算行列式 D20, D12, D24, D30, D11, 所以 ,是所給方程組的解.第二章 矩陣 2. 1 矩陣 定義1 由mn個(gè)數(shù)aij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)排成的m行n列的矩形數(shù)表稱為mn矩陣, 記作 ,其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素. 一般情況下, 我們用大寫字母A, B, C等表示矩陣. mn矩陣A簡(jiǎn)記為A=(aij)mn 或記作A mn . 假設(shè)矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n, 那么稱A為n階矩陣, 或稱為n階方陣. n階矩陣A也記作An

32、. 只有一行的矩陣A=(a1 a 2 an)稱為行矩陣, 或稱為行向量. 行矩陣也記作A=(a1, a 2, , an). 只有一列的矩陣稱為列矩陣, 或稱為列向量. 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等, 就稱它們是同型矩陣. 如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣, 并且 它們的對(duì)應(yīng)元素相等, 即 aij=bij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n), 那么稱矩陣A與矩陣B 相等, 記作A=B. 對(duì)角矩陣diaga1, a 2, , an 所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣, 記為O. 例1 某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣,其aij為工廠向第i個(gè)店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量

33、. 這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可列成矩陣,其中bi1為第i種產(chǎn)品的單價(jià), bi2為第i種產(chǎn)品的單件重量. 例2 四個(gè)城市間的單向航線如下圖. 假設(shè)令,那么圖可用矩陣表示為. 一般地, 假設(shè)干個(gè)點(diǎn)之間的單向通道都可用這樣的矩陣表示. 例3 n個(gè)變量x1, x2, , xn與m個(gè)變量y1, y2, , ym之間的關(guān)系式表示一個(gè)從變量x1, x2, , xn到變量y1, y2, , ym的線性變換, 其中aij為常數(shù). 線性變換的系數(shù)aij構(gòu)成矩陣A=(aij)mn, 稱為系數(shù)矩陣. 給定了線性變換, 它的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣也就確定了. 反之, 如果給出一個(gè)矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣, 那么線性變換

34、也就確定了. 在這個(gè)意上, 線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 線性變換叫做恒等變換, 它對(duì)應(yīng)的一個(gè)n階方陣 這種方陣稱為n階單位矩陣, 簡(jiǎn)稱單位陣. 線性變換對(duì)應(yīng)的n階方陣 這種方陣稱為對(duì)角矩陣 簡(jiǎn)稱對(duì)角陣. 對(duì)角陣也記作diag(1 2 n) 由于矩陣和線性變換之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 因此可以利用矩陣來研究線性變換 也可以利用線性變換來解釋矩陣的涵義 例如矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換可看作是xOy平面上把向量變?yōu)橄蛄康淖儞Q 由于向量是向量在x軸上的投影 因此這是一個(gè)投影變換 又如矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換把xOy平面上的向量變?yōu)橄蛄?設(shè)的長(zhǎng)度為r 輻角為 即xr cos yr sin 那么x1r(c

35、os cossin sin)rcos()y1r(sin coscos sin)rsin()說明的長(zhǎng)度也為r而輻解為 因此 這是把向量旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換 2. 2 矩陣的運(yùn)算 一、矩陣的加法 定義2 設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A=(aij)和B=(bij), 矩陣A與B的和記為A+B, 規(guī)定為A+B=(aij+bij ). 即. 例1 設(shè), , 那么 . 應(yīng)該注意, 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), 這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算. 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律: 設(shè)A, B, C都是mn矩陣, 那么 (1)A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C). 設(shè)矩陣A=(aij), 記-A=(-aij),-A稱為矩陣A

36、的負(fù)矩陣. 顯然有 A+(-A)=O.由此規(guī)定矩陣的減法為A-B=A+(-B). 二、數(shù)與矩陣相乘 定義3 數(shù)l與矩陣A的乘積, 記為lA或Al, 規(guī)定為lA=(laij). 即 例2 設(shè), 那么 . 數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律: 設(shè)A、B都是mn矩陣, l、m是數(shù), 那么 (1)(lm)A=l(mA); (2)(l+m)A=lA+mA; (2)l(A+B)=lA+lB. 矩陣的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算合起來, 統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. 例3 設(shè), , 求3A-2B. 解 3A-2B . 例4 , , 且A+2X=B, 求X. 解 . 二、矩陣與矩陣相乘 設(shè)有兩個(gè)線性變換(1). (2)假設(shè)想求出從t1、t2

37、到y(tǒng)1、y2的線性變換, 可將(2)代入(1), 便得. (3) 線性變換(3)可看成是先作線性變換(2)再作線性變換(1)的結(jié)果. 我們把線性變換(3)叫做線性變換(1)與(2)的乘積, 相應(yīng)地把所對(duì)應(yīng)的矩陣定義為(1)與(2)所對(duì)應(yīng)的矩陣的乘積, 即. 一般地, 我們有 定義4 設(shè)A=(aij)是一個(gè)ms矩陣, B=(Bij)是一個(gè)sn矩陣, 那么矩陣A與矩陣B的乘積記為AB, 規(guī)定為mn矩陣C=(cij), 其中 (i=1, 2, , m; j=1, 2, n). 按此定義 一個(gè)1s的行矩陣與一個(gè)s1的列矩陣的乘積是一個(gè)1階方陣 也就是一個(gè)數(shù) 由此說明乘積ABC的(i j)元cij就是A

38、的第i行與B的第j列的乘積 必須注意 只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí) 兩個(gè)矩陣才能相乘 例3 設(shè), , 求AB. 解 . BA沒有意義, 因?yàn)锽的列數(shù)不等于A的行數(shù). 例6 設(shè), , 求AB及BA. 解: , 顯然ABBA. 可以看出乘法一般不滿足交換律. 兩個(gè)非零矩陣相乘, 可能是零矩陣, 從而不能從AB=O推出A=O或B=O. 從A(XY)O不能推出XY 例7 設(shè), , 求AB及BA. 解 , , 顯然AB=BA. 如果兩矩陣A與B相乘, 有AB=BA, 那么稱矩陣A與矩陣B可交換. 矩陣的乘法有以下性質(zhì)(設(shè)以下矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算): (1)(AB)C=A(BC); (2)(AB

39、)=( A)B=A(B). (其中為數(shù)) (3)(A+B)C=AC+BC; (4)C(A+B)=CA+CB 對(duì)于單位矩陣E 容易驗(yàn)證EmAmnAmn AmnEnAmn 或簡(jiǎn)寫成EAAEA 可見單位矩陣E在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1 矩陣稱為純量陣 由(E)AA A(E)A 可知純量陣E與矩陣A的乘積等于數(shù)與矩陣A的乘積 并且當(dāng)A為n階方陣時(shí) 有(En)AnAnAn(En)這說明純量陣E與任何同階方陣都是可交換的 有了矩陣的乘法 就可以定義矩陣的冪 設(shè)A是n階方陣 定義A1A A2A1A1 Ak1Ak A1其中k為正整數(shù) 這就是說 Ak就是k個(gè)A連乘 顯然只有方陣 它的冪才有意義 矩陣的冪滿足的

40、運(yùn)算規(guī)律 AklAk Al (Ak)lAkl 其中k、l為正整數(shù) 應(yīng)注意 一般來說(AB)kAkBk 只有當(dāng)A與B可交換時(shí) 才有(AB)kAkBk 類似地可知 只有當(dāng)A與B可交換時(shí) 才有(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2 有了矩陣乘法這后 線性變換可記作YAX其中A(aij) 四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義5 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣 叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣 記作AT 例如矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為 轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律 (1)(AT)T=A (2)(AB)TATBT (3)(A)TAT (4)(AB)TBTAT 證明(4) 設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn , 記ABC(cij)mn

41、 BTATD(dij)nm (AB)T的第i行第j列的元素就是AB的第j行第i列的元素cjiaj1b1i aj2b2i ajsbsi BTAT的第i行第j列的元素是BT的第i行(b1i b2i bsi)與AT的第j列(aj1 aj2 ajs)T的乘積dijb1iaj1b2iaj2 bsiajs aj1b1i aj2b2i ajsbsi 因此 dijcji (i1 2 n j1 2 m) 即 (AB)TBTAT 例9 求(AB)T 解 方法一 因?yàn)?所以 方法二 設(shè)A為n階方陣 如果滿足ATA 即aijaji(i j1 2 n)那么稱A為對(duì)稱矩陣 簡(jiǎn)稱對(duì)稱陣 對(duì)稱陣的特點(diǎn)是 它的元素以對(duì)角線為對(duì)

42、稱軸對(duì)應(yīng)相等 例10 設(shè)列矩陣X(x1 x2 xn)T滿足XTX1 E為n階單位陣 HE2XXT 證明H是對(duì)稱陣 且HHTE 證明 因?yàn)?HT(E2XXT)TE T2(XXT)TE2XXTH 所以H是對(duì)稱陣 HHTH2(E2XXT)2 E4XXT4(XXT)( XXT) E4XXT4X(XTX)XT E4XXT4XXTE 五、方陣的行列式 定義6 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式 記作|A|或detA 由A確定|A|的這個(gè)運(yùn)算滿足 (1)|AT|A| (2)|lA|=ln|A|; (3)|AB|=|A|B| 我們僅證明(3) 設(shè)A(aij) B(bij) 記2n階行列式那么D

43、|A|B| 而在D中以b1j乘第1列 b2j乘第2列 bnj乘第n列 都加到第nj列上(j1 2 n) 有其中C(cij) cijb1jai1b2jai2 bnjain 故CAB 再對(duì)D的行作rjrnj(j1 2 n) 有于是D(1)n|E|C|(1)n(1)n|C|AB| 因此 |AB|=|A|B| 方陣A的伴隨矩陣: 行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下方陣稱為矩陣A的伴隨矩陣 簡(jiǎn)稱伴隨陣 例9 試證AA* =A*A=|A|E. 證明 設(shè)A(aij) 記AA*(bij) 因?yàn)樗訟A*(bij)diag(|A| |A| |A|)|A|E 類似地 有A*A=|A|E. 六、共

44、軛矩陣 當(dāng)A(aij)為復(fù)矩陣時(shí) 用表示aij的共軛復(fù)數(shù) 記稱為A的共軛矩陣 共軛矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B為復(fù)矩陣 為復(fù)數(shù) 且運(yùn)算都是可行的) (1) (2) (3) 2.5 逆矩陣 給定一個(gè)線性變換它的系數(shù)矩陣是一個(gè)n階矩陣A(aij) 假設(shè)記 那么此線性變換可記作YAX 以A的伴隨矩陣A*左乘上式兩端 可得A*YA*AX 即A*Y|A|X當(dāng)|A|0時(shí) 可解出記 上式可記作XBY XBY表示一個(gè)從Y到X的線性變換 稱為線性變換YAX的逆變換 由YAX和XBY可以得到一個(gè)從Y到Y(jié)的恒等變換YAXABY因此應(yīng)有ABE 由YAX和XBY也可以得到一個(gè)從X到X的恒等變換XBYBAX因此應(yīng)有BAE

45、 綜合起來有ABBAE 從X(x1 x2 xn)T到Y(jié)(y1 y2 yn)T的線性變換可以記作YAX 其中A是n階矩陣 如果線性變換YAX存在逆變換XBY 那么有恒等變換XBYBAX和YAXABY 因此應(yīng)有ABBAE 以A的伴隨矩陣A*左乘YAX的兩端 可得A*YA*AX 即A*Y|A|X當(dāng)|A|0時(shí) 可解出于是 定義7 對(duì)于n階矩陣A, 如果存在n階矩陣B, 使得AB=BA=E,那么矩陣A是可逆的 并稱B為A的逆矩陣 簡(jiǎn)稱逆陣 逆陣的唯一性: 如果矩陣A是可逆的 那么A的逆陣是唯一的 這是因?yàn)槿绻鸅和B1都是A的逆矩陣, 那么有 AB=BA=E, AB1=B1A=E, 于是 B=BE=B(A

46、B1)=(AB)B1=EB1=B1, 即 B=B1, 所以逆矩陣是唯一的. A的逆陣記為A-1. 即假設(shè)AB=BA=E , 那么B=A-1. 定理1 假設(shè)矩陣A可逆 那么|A|0 證明 設(shè)A可逆, 即有A-1, 使AA-1=E. 故|A|A-1|=|E|=1, 所以|A|0. 對(duì)于n階矩陣A, 當(dāng)|A|=0時(shí), 稱A是奇異矩陣, 否那么稱A為非奇異矩陣. 定理2 假設(shè)|A|0 那么矩陣A可逆, 且,其中A*為矩陣A的伴隨矩陣. 證 我們?cè)C明AA* =A*A=|A|E因?yàn)閨A|0 故有所以 按逆陣的定義 即知A可逆 且有 綜合起來 矩陣A可逆|A|0 假設(shè)A可逆 那么 推論 假設(shè)AB=E(BA

47、=E) 那么BA-1 證明 因?yàn)閨A|B|=10 故|A|0 因而A-1存在 于是 BEB(A1A)BA1(AB) A1EA-1 逆矩陣的性質(zhì): (1)假設(shè)A可逆, 那么A-1也可逆, 且(A-1)-1=A (2)假設(shè)A可逆, 數(shù)l0, 那么lA 可逆, 且 (3)假設(shè)A、B為同階可逆矩陣, 那么AB亦可逆, 且(AB )-1=B -1A-1. 這是因?yàn)?AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E (4)假設(shè)A可逆, 那么AT也可逆, 且(AT )-1=(A-1)T . 這是因?yàn)锳T(A-1)T=(A-1A)T=ET=E. 當(dāng)|A|0時(shí) 還可定義A0E Ak(A1)

48、k其中k為正整數(shù) 這樣 當(dāng)|A|0 為整數(shù)時(shí) 有AAA (A)A 例1 求二階矩陣的逆陣 解 |A|adbc 所以當(dāng)|A|0時(shí) 有提示 A 11d A 12c A 21b A 22a 例2 求方陣的逆陣. 解 由|A|=20, 得知A-1存在. 因?yàn)?所以.提示 例3 設(shè), , , 求矩陣X使其滿足AXB=C. 解 假設(shè)A-1, B-1存在, 那么用A-1左乘上式, B-1右乘上式, 有A-1AXBB-1=A-1CB-1,即 X=A-1CB-1. 由上例知|A|0, 而|B|=1, 故知A、B都可逆, 且 于是 例4 設(shè) APP 求An 解 |P|2 APP1 A2PP1PP1P2P1 AnP

49、nP1而 故 設(shè)(x)a0a1x amxm為x的m次多項(xiàng)式 A為n階矩陣 記(A)a0Ea1A amAm(A)稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式 (1)如果APP1 那么AkPkP1 從而 (A)a0Ea1A amAm Pa0EP 1 Pa1P1 PammP1 P()P1 (2)如果diag(1 2 n)為對(duì)角陣 那么 從而 ()a0Ea1 amm a0diag(1 1 1)a1diag(1 2 n) diag( (1) (2) (n) 補(bǔ)充例題 例1 求矩陣的逆矩陣. 解 因?yàn)? 所以A可逆. 又因?yàn)?, 所以 例2 diag(1 2 n) 其中i0(i1 2 n) 驗(yàn)證1diag(11 21 n1)

50、證明 因?yàn)?diag(1 2 n) diag(11 21 n1) diag(111 221 nn1) diag(1 1 1)E 所以1diag(11 21 n1) 例4 設(shè)n階矩陣A滿足aA2+bA+cE=O, 證明A為可逆矩陣, 并求A-1(a, b, c為常數(shù), 且c0). 解 由aA2+bA+cE=O, 有 aA2+bA=-cE, 又因c0, 故有 , 即 , 因此A可逆, 且. 例5 假設(shè)A, B, C是同階矩陣, 且A可逆, 證明以下結(jié)論中(1), (3)成立, 舉例說明(2), (4)不必然成立. (1)假設(shè)AB=AC, 那么B=C; (2)假設(shè)AB=CB, 那么A=C; (3)假

51、設(shè)AB=O, 那么B=O; (4)假設(shè)BC=O, 那么B=O. 2. 4 分塊矩陣及其運(yùn)算 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A 運(yùn)算時(shí)常采用分塊法 使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算 我們將矩陣A用假設(shè)干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣 每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊 以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 例如: 例如 , 如果令, , O=(0 0 0), A2=(1), 那么 . 如果令 , , , 那么 . 如果令, , , , 那么 A=(a1 a 2 a 3 a4). 分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)那么與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)那么類似 (1)設(shè)矩陣A與B的行列相同、列數(shù)相同 采用相同的分塊法 有 其中Aij與Bij的行數(shù)相

52、同、列數(shù)相同 那么 (2)設(shè) 為數(shù) 那么 (3)設(shè)A為ml矩陣 B為ln矩陣 分塊成 其中Ai1 Ai2 Ait的列數(shù)分別等于B1j B2j Btj的行數(shù) 那么,其中 (i=1, 2, , s; j=1, 2, , r). 例1 設(shè) 求AB 解把A、B分塊成 那么 而 于是 (4)設(shè) 那么 設(shè)A為n階矩陣 假設(shè)A的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊 其余子塊都為零矩陣 且在對(duì)角線上的子塊都是方陣 即其中Ai(i1 2 s)都是方陣 那么稱A為分塊對(duì)角矩陣 (5)對(duì)于分塊對(duì)角矩陣 (1)對(duì)于上述分塊對(duì)角矩陣 有|A|A1|A2| |As| (6)對(duì)于分塊對(duì)角矩陣如果|Ai|0(i1 2 s) 那么

53、|A|0 并有 例2 設(shè) 求A1 解 A1(5) 所以 對(duì)矩陣分塊時(shí) 有兩種分塊法應(yīng)予以特別重視 這就是按行分塊和按列分塊 mn矩陣A有m行 稱為矩陣A的m個(gè)行向量 假設(shè)第i行記作aiT(ai1 ai2 ain)那么矩陣A便記為 mn矩陣A有n行 稱為矩陣A的n個(gè)列向量 假設(shè)第j列記作 ( j1 2 n) 那么 A(1 2 n) 矩陣A(aij)mn的每一行稱為矩陣A的行向量 假設(shè)矩陣A的第i行記為aiT 那么 矩陣B(bij)mn的每一列稱為矩陣B的列向量 假設(shè)矩陣B的第j列記為bj 那么B(b1 b2 bn) 注 今后列向量(列矩陣)常用小寫黑體字母表示 如a x等 行向量(行矩陣)用列向

54、量的轉(zhuǎn)置表示 如aT T xT等 對(duì)于矩陣A(aij)ms與矩陣B(bij)sn的乘積矩陣ABC(cij)mn 假設(shè)把A按行分成m塊 把B按列分成n塊 便有其中 你對(duì)矩陣乘法是否有了進(jìn)上步的認(rèn)識(shí)？ 以對(duì)角陣m左乘矩陣A mn時(shí) 把A按行分塊 有可見以對(duì)角陣m左乘A的結(jié)果是A的每一行乘以中與該行對(duì)應(yīng)的對(duì)角元 以對(duì)角陣n右乘矩陣A mn時(shí) 把A按列分塊 有可見以對(duì)角陣n右乘A的結(jié)果是A的每一列乘以中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元 例3 設(shè)ATAO 證明AO 證明 設(shè)A(aij)mn 把A用列向量表示為A(a1 a2 an) 那么因?yàn)锳TAO 所以(i1 2 n)從而ai1ai2 ain0(i1 2 n)即AO

55、 對(duì)于線性方程組 記A(aij) 其中A稱為系數(shù)矩陣 x稱為未知數(shù)向量 b稱為常數(shù)項(xiàng)向量 B稱為增廣矩陣 按分塊矩陣的記法 可記B(A b) 或B(A b)(a1 a2 an b1)利用矩陣的乘法 此方程組可記作Axb 方程Axb以向量x為未知元 它的解稱為方程組的解向量 如果把系數(shù)矩陣A按行分成m塊 那么線性方程組Axb可記作 或這就相當(dāng)于把每個(gè)方程ai1x1ai2x2 ainxnbi記作(i1 2 m) 如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊 那么與A相乘的x應(yīng)對(duì)應(yīng)地按行分成n塊 從而記作即x1a1x2a2 xnanb 總之 方程Axb x1a1x2a2 xnanb都表示線性方程組 它們不加區(qū)別 解

56、與解向量也不加區(qū)別 線性方程組與矩陣方程存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 Axb x1a1x2a2 xnanb 其中A(aij)(a1 a2 an)稱為系數(shù)矩陣 x(x1 x2 xn)T 稱為未知數(shù)向量 b(b1 b2 bm)T稱為常數(shù)項(xiàng)向量 矩陣方程Axb以向量x為未知元 它的解稱為線性方程組的解向量 上述三種形式的方程并沒有本質(zhì)區(qū)別 因此令后不加區(qū)分 它們的解也不加區(qū)分 克拉默法那么的證明 克拉默法那么 對(duì)于n個(gè)變量、n個(gè)方程的線性方程組如果它的系數(shù)行列式D0 那么它有唯一解(j1 2 n) 證明 把方程組寫成向量方程Axb 因?yàn)閨A|D0 故A1存在 令xA1b 有AxAA1bb這說明xA1b是方程組的

57、解向量 由Axb 有A1AxA1b 即xA1b 根據(jù)逆陣的唯一性 知xA1b是方程組的唯一的解向量 由逆陣公式 有 即也就是(j1 2 n) 克拉默法那么可以表達(dá)為 對(duì)于n個(gè)變量n個(gè)方程的線性方程組Axb 如果它的系數(shù)行列式D0 那么它有唯一解 證明 因?yàn)閨A|D0 故A1存在 令xA1b 有AxAA1bb這說明xA1b是線性方程組的解向量 由Axb 有A1AxA1b 即xA1b 根據(jù)逆陣的唯一性 知xA1b是線性方程組的唯一的解向量 由逆陣公式 有 即也就是補(bǔ)充例題 例1 設(shè), , 那么 AEn=A(1 2 n )=( A1 A 2 An )=(A1 A2 An),于是 Aj =Aj (j=

58、1, 2, , n). 例2 設(shè)分塊矩陣, 其中A, B分別為r階、s階可逆矩陣, 求P-1. 解 設(shè), 其中X1, X4分別為r、s階方陣, 那么 , 即 比擬等式兩邊得AX1=E1 AX2=O CX1BX3=O CX2BX4=Es解之得 X1=A1 X2=O X3=B1CA1 X4=B1 所以 特別當(dāng)C=O時(shí) 有 3.6 矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算 它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?為引起家矩陣的初等變換 先來分析用消元法解線性方程組的例子 引例 求解線性方程組 解 (下一步 05) (下一步 2 3) (下一步 05 5 3) (下

59、一步 05 05 05) 于是解得 其中x3可任意取值 稱為自由未知數(shù) 假設(shè)令x3c 那么方程組的解可記作 即 其中c為任意常數(shù) 方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系 我們用 表示交換第i個(gè)方程與第j個(gè)方程的位置 k表示第i個(gè)方程乘以k k 表示第j個(gè)方程的k倍加到第i個(gè)方程上 ()對(duì)應(yīng)的增廣矩陣分別為 和 顯然 交換B的第1行與第2行即得B1 (2) 對(duì)應(yīng)的增廣矩陣分別為 和 顯然 把B的第3行乘以即得B2 (2)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣分別為 和 顯然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3 在上述消元過程中, 用到三種變換: 一種是交換方程的次序, 一種是以不等于0的數(shù)乘某個(gè)方程, 一種是一個(gè)方程加

60、上另一個(gè)方程的k倍. 由于這三種變換都是可逆的, 所以變換前后兩個(gè)方程是同解的, 這三種變換都是方程的同解變換. 因此最后求得的解是原方程組的全部解. 在上述變換過程中, 實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算, 未知數(shù)并未參與運(yùn)算. 因此, 對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)方程組的增廣矩陣的變換. 把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上, 就得到矩陣的三種初等變換. 定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換 (i)對(duì)調(diào)兩行(列)(對(duì)調(diào)i j兩行記作rirj 對(duì)調(diào)i j兩列記作cicj) (ii)以數(shù)k0乘某一行(列)中的所有元素(第i行乘k記作rik 第i列乘k記作cik ) (3)把某一