二重積分的計(jì)算-直角坐標(biāo)系下的計(jì)算

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)7.1 重積分7.1.2 二重積分的計(jì)算-直角坐標(biāo)系下的計(jì)算一、相關(guān)問題1. 觀察如下的曲頂柱體，能否用平行截面面積已知的立體體積的定積分計(jì)算公式給出其體積計(jì)算？解：時(shí)， （曲頂柱體的體積）。可用平行截面面積已知的立方體體積的公式求該曲頂柱體的體積如下：（1）： ；，過點(diǎn)作垂直于軸的平面，平面與曲頂柱體有一截面，設(shè)截面面積為，則為：；由的任意性，有，截面面積為：；根據(jù)平行截面面積已知立體體積的計(jì)算公式，曲頂柱體的體積為從而，二次積分（累次積分）上述積分叫做先對(duì)Y,后對(duì)X

2、的二次積分,即先把看作常數(shù),只看作的函數(shù),對(duì)計(jì)算從到的定積分,然后把所得的結(jié)果( 它是的函數(shù) )再對(duì)從到計(jì)算定積分.（以上積分區(qū)域D也稱為X型區(qū)域）注：為了書寫方便，這個(gè)先對(duì)y, 后對(duì)x的二次積分也常寫為： (7.2.1)在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算公式(7.2.1).但實(shí)際上,公式(7.2.1)并不受此條件限制,對(duì)一般的(在D上連續(xù)),公式(7.2.1)總是成立的.（2）同理，若積分區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域，即：，寫出相應(yīng)的二次積分公式：二、有關(guān)知識(shí)1. 給定如下簡(jiǎn)單的積分區(qū)域，怎樣用不等式組的形式來描述它們？解：； （2）或；（3）或2. 積分區(qū)域的不等式組描述的

3、一般方法？答：平面上的簡(jiǎn)單區(qū)域及其不等式組的表示方法，如圖型區(qū)域：將區(qū)域D向x軸投影得，在內(nèi)任取一點(diǎn)，作垂直于的直線，交區(qū)域的下、上邊界曲線，得，于是區(qū)域D可以表示為 同理可以確定型區(qū)域的不等式表示：如果積分區(qū)域不是以上簡(jiǎn)單區(qū)域，則應(yīng)當(dāng)適當(dāng)劃分為簡(jiǎn)單區(qū)域，分別用不等式組表示出來。3. 直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的關(guān)鍵步驟是什么？答：關(guān)鍵步驟是選擇合適的積分變量，并將積分區(qū)域表示為直角坐標(biāo)系下的關(guān)于（X，Y）的不等式組的形式。4. 如果積分區(qū)域D為：，時(shí)，則二重積分的計(jì)算公式簡(jiǎn)化為什么形式？答：；三、練習(xí)題1求，其中是由拋物線和所圍平面閉區(qū)域.解：求兩曲線的交點(diǎn)如圖，將D看成X型 2（分別按將D看成X型或Y型區(qū)域討論，對(duì)比其計(jì)算上的差異）解：交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（2,1/2）,（2,2），將看成X-型區(qū)域若將看成型區(qū)域，則需將分成兩部分3求，其中D是以為頂點(diǎn)的三角形.解：無法用初等函數(shù)表示，積分必須考慮次序，先對(duì)x積分，即將D看成Y-型區(qū)域4改變二次積分的積分順序。解：D如圖所示，即，原積分化為四、思考題1直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分時(shí)，如何確定合適的積分次序？答：要根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)，同時(shí)兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的積分次序。2如何交換二重積分的積分次序？答：先利用已給的的積分次序，得