電磁場(chǎng)與交換技術(shù)第二章

1、電磁場(chǎng)與交換技術(shù)第二章第1頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-2三種常用的正交坐標(biāo)系（）直角坐標(biāo)系 （方向矢量）直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）第2頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-3圓柱坐標(biāo)系 （方向矢量） 圓柱坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元（1.4. 5）（1.4. 6）（1.4. 7）第3頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-4球面坐標(biāo)系 （方向矢量）球面坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度

2、元、面積元和體積元第4頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-5直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系之間的關(guān)系三種常用正交坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換（）直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系之間的關(guān)系第5頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-6廣義坐標(biāo)系 (方向單位矢量)廣義柱坐標(biāo)系 (方向單位矢量)不同坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元線積分 或 、面積分 或 和體積分 不隨位置坐標(biāo)而改變 隨著位置坐標(biāo)的改變而改變(方向)三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換） 幾點(diǎn)說(shuō)明第6頁(yè)，共

3、67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-7物理量的分類標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)1.1 矢量的代數(shù)運(yùn)算物理量與位置無(wú)關(guān)的量 與位置有關(guān)的量（場(chǎng)量）時(shí)間、長(zhǎng)度、重量 標(biāo)量場(chǎng)（只有大?。?矢量場(chǎng)（大小+方向） 溫度、濕度、電位 速度、電場(chǎng)、磁場(chǎng) 第7頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-8 矢量與矢量的表示法 （1.1.1）單位矢量模等于1的矢量叫做單位矢量。（）矢量表示法在三維空間中，矢量 可表示為一根有方向的線段該線段的長(zhǎng)度 代表該矢量的模，該線段的方向 代表該矢量的方向第8頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20

4、日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-9直角坐標(biāo)系中矢量的表示（）（）（）例如：（）（）第9頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-10位置矢量與距離矢量 場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo) 源點(diǎn)坐標(biāo) 場(chǎng)點(diǎn)矢徑 源點(diǎn)矢徑第10頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-11位置矢量與距離矢量位置矢量由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。距離矢量由源點(diǎn)出發(fā)引向場(chǎng)點(diǎn)的矢量稱為距離矢量。（）第11頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢

5、量分析1-12 矢量的代數(shù)運(yùn)算一個(gè)矢量經(jīng)平移后所得到的新矢量與原矢量相等。在直角坐標(biāo)系下，兩個(gè)相等的矢量必有相等的坐標(biāo)分量。矢量與標(biāo)量的乘積（）（）負(fù)矢量與原矢量大小相等，方向相反的矢量。第12頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-13矢量加法和減法矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，矢量減法不滿足交換律。（）（）第13頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-14直角坐標(biāo)系中矢量加法和減法只有矢量和矢量之間才能進(jìn)行相加減。（）（）第14頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六14電磁

6、場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-15標(biāo)量積(the dot product)和矢量積(the cross product)兩個(gè)矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)積）定義為這兩個(gè)矢量的模以及這兩個(gè)矢量 之間夾角的余弦三者的乘積。（）兩個(gè)矢量的矢量積（叉積）的模等于這兩個(gè)矢量的模以及這兩個(gè)矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構(gòu)成的平面，其指向按“右手法則”來(lái)確定。（）第15頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-16“右手法則”和“右手螺旋法則” 第16頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六16電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-

7、17第17頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六17電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-18標(biāo)量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律。若兩個(gè)矢量垂直,即它們間夾角為90o,則標(biāo)量積等于零,而矢量積最大,等于這兩個(gè)矢量模的乘積;若兩個(gè)矢量平行,即它們間夾角為零,則矢量積等于零,而標(biāo)量積最大,等于這兩個(gè)矢量模的乘積。若兩個(gè)非零矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個(gè)矢量必相互垂直；若兩個(gè)非零矢量的矢量積等于零，則這兩個(gè)矢量必相互平行。第18頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-19標(biāo)量積和矢量積在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算（）（）思考題：兩個(gè)

8、矢量恒等式的證明，書Page.6。第19頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六若某空間中的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，就稱在該空間中定義了這個(gè)物理量的場(chǎng)或函數(shù)若這個(gè)物理量是標(biāo)量，則這個(gè)場(chǎng)或函數(shù)稱為標(biāo)量場(chǎng)或標(biāo)量函數(shù)。如一幢建筑物內(nèi)的溫度分布、一個(gè)區(qū)域內(nèi)的電位分布等等若這個(gè)物理量是矢量，則這個(gè)場(chǎng)或函數(shù)稱為矢量場(chǎng)或矢量函數(shù)。如某河流區(qū)段內(nèi)水流的速度分布、一個(gè)區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布等若標(biāo)量場(chǎng)中各點(diǎn)標(biāo)量值的大小都相同，則稱場(chǎng)中物理量是常數(shù)若矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量大小和方向都相同，則稱場(chǎng)中物理量為常矢若場(chǎng)中的物理量在各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值不隨時(shí)間而變化，則這個(gè)場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)或恒定場(chǎng)；否則，就稱為

9、時(shí)變場(chǎng)。電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-201.2 場(chǎng)的微分運(yùn)算 場(chǎng)的基本概念第20頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六20電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-21標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面函數(shù)均取相同值的曲面。例如，靜電場(chǎng)中的等位面。在三維空間中，每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著也僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的函數(shù)值，因此它必屬于也僅屬于一個(gè)等值面?？臻g中所有的點(diǎn)均有等值面通過(guò)，所有的等值面均互不相交。對(duì)于同一個(gè)常數(shù)值 ，可以有多個(gè)互不相交的等值面。如果是在二維空間，函數(shù)均取相同值的點(diǎn)構(gòu)成就是一條條的等值線，例如山體的等高線就是一種常用的等值線。第21頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期

10、六21電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-22矢量場(chǎng)的矢量線或通量線矢量線一系列有向曲線。線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)方向，而橫向的矢量線密度代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)大小。例如，電場(chǎng)中的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)均有一條矢量線通過(guò)，所以矢量線充滿了整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間矢量線可以匯聚于某一點(diǎn)，但是不能相互交叉。矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程第22頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六22電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-231.2.2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1. 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)空間某一點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)沿某一方向的變化率定義為該標(biāo)量場(chǎng)在該點(diǎn)沿該方向的方向?qū)?shù)（） 其

11、中第23頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-24 根據(jù)求導(dǎo)法則（）方向余弦該方向上的單位矢量（）第24頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-25標(biāo)量函數(shù) 在空間給定點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)的梯度矢量 在該方向上的投影 。2. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度（gradient）標(biāo)量場(chǎng) 的梯度 大小等于標(biāo)量函數(shù)在該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)值，方向指向使函數(shù)值增加最快的方向。（）（）第25頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六梯度的表示哈密頓（Hamilton）算子 （讀作del）電磁場(chǎng)與電磁波理

12、論第1章 矢量分析1-26直角坐標(biāo)系中的哈密頓算子 （）直角坐標(biāo)系中的梯度表示式 （）第26頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六算子 具有類似于矢量和微分的性質(zhì)，稱為矢量微分算子電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-27梯度的基本公式（）（）（）（）（） 其中， 為常數(shù)； ， 為標(biāo)量函數(shù)。第27頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六例1.2.1 試證明： ； 。式中 和 分別表示對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)和源點(diǎn)坐標(biāo)的哈密頓算子。電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-28證明：依梯度的基本公式第28頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章

13、矢量分析1-291.2.3 矢量場(chǎng)的通量和散度通量線或矢量線一系列有方向的曲線，該線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)方向，而橫向的通量線密度代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)的大小。1. 矢量場(chǎng)的通量 (flux) 通量 矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面 的通量線的總數(shù)，它可表示為矢量沿該曲面 的面積分。（）（）第29頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-30開(kāi)口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負(fù)與面積元矢量的方向選取有關(guān)。閉合曲面的正法線方向規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法線方向。通量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)在空間的分布。借助于通量的概念，矢量又稱為通量密度。例如，電位移也常

14、常稱為電通量密度。發(fā)出通量線的點(diǎn)稱為“源”，吸收通量線的點(diǎn)稱為“溝”。例如，靜電場(chǎng)中的正電荷是發(fā)出電力線的“源”，負(fù)電荷是吸收電力線的“溝”。穿過(guò)整個(gè)閉合曲面的總通量等于“源”發(fā)出的通量線減“溝”吸收的通量線。幾點(diǎn)說(shuō)明第30頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-31通量概念描述了空間一個(gè)較大范圍內(nèi)場(chǎng)與源之間的關(guān)系散度概念將描述空間每一點(diǎn)場(chǎng)與源之間的關(guān)系。矢量場(chǎng)的散度 矢量穿過(guò)閉合曲面的通量與該閉合曲面所包圍的小體積之比的極限。2. 矢量場(chǎng)的散度(divergence) （）一個(gè)矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量，可理解為穿過(guò)包圍單位體積的閉合表面的通量

15、。因此，人們也習(xí)慣地將散度稱為通量源密度。第31頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-32三種典型的散度值對(duì)于靜電場(chǎng)，在有電荷存在的點(diǎn)上，散度不為零。且散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負(fù)電荷對(duì)于恒定磁場(chǎng)，因?yàn)椴淮嬖诖藕?，散度必處處為零?2頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-33直角坐標(biāo)系中的散度表示式 （）第33頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-34散度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系的類型無(wú)關(guān)。它們不但在直角坐

16、標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍然成立。 其中， 為常矢； 為常數(shù)； 為標(biāo)量函數(shù)， 為矢量函數(shù)。（）（）（）（）第34頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六例1.2.2 設(shè) 表示空間兩點(diǎn) 與 之間距離，試求 。電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-35解：第35頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-36值得提醒注意的一點(diǎn)是：在上述計(jì)算中，需假設(shè)距離R不等于零。否則，函數(shù)(1/R)將出現(xiàn)奇異點(diǎn)。在第3章討論鏡像法時(shí)（3.7節(jié)）將會(huì)證明：但是即（）（）第36頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1

17、章 矢量分析1-371.2.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度環(huán)量 矢量場(chǎng)沿空間一條閉合曲線的線積分。1. 矢量場(chǎng)的環(huán)量（circulation）（）矢量場(chǎng)的環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量用來(lái)描述一個(gè)矢量場(chǎng)的旋渦特性。大小和正負(fù)取決于矢量場(chǎng)的分布以及該閉合曲線積分的環(huán)繞方向。第37頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-38旋度在某一方向上的投影2. 矢量場(chǎng)的旋度（rotation或curl）矢量場(chǎng)的旋度 或 大小等于該點(diǎn)最大的環(huán)量密度，方向?yàn)槿〉米畲蟓h(huán)量密度的那塊小面積的法線方向環(huán)量密度矢量沿閉合曲線的環(huán)量與小面積之比的極限,其大小與矢量的分布和閉合曲線的方向有關(guān)。（

18、）第38頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-39不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量第39頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六39電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-40直角坐標(biāo)系中旋度的推導(dǎo) （）第40頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-41直角坐標(biāo)系中的旋度表示式 （）（）第41頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-42旋度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標(biāo)系類型無(wú)關(guān)。它們不但在直角坐標(biāo)系中成立，在其它坐標(biāo)系中仍

19、然成立 其中， 為常矢； 為常數(shù)； 為標(biāo)量函數(shù)， 為矢量函數(shù)（）（）（）（）第42頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六例1.2.3 試證明： 。電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-43證明：第43頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-441.2.5 梯度、散度、旋度的比較一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向；一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量與通量源之間的關(guān)系；一個(gè)矢量函數(shù)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量與旋渦源之間的關(guān)系。只有當(dāng)場(chǎng)函數(shù)具有連續(xù)一階

20、偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場(chǎng)量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。第44頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-45第45頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-46矢量場(chǎng)的“源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。要使矢量場(chǎng)是非零場(chǎng)，則必存在產(chǎn)生這種場(chǎng)的一種源。非零矢量場(chǎng)不可能既是無(wú)源場(chǎng)又是無(wú)旋場(chǎng)若一個(gè)矢量場(chǎng)的散度處處為零，就不存在通量源，該矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)(恒定磁場(chǎng))。若一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度處處為零，就不存在旋渦源，該矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)(靜電場(chǎng))。

21、存在通量源的矢量場(chǎng)為有源場(chǎng)。在源區(qū)，該矢量場(chǎng)散度不為零；在非源區(qū)，該場(chǎng)散度仍然可以為零。存在旋渦源的矢量場(chǎng)為有旋場(chǎng)，但該場(chǎng)旋度僅在旋渦源所在空間點(diǎn)上不為零，在其它點(diǎn)上仍然可以為零。第46頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-471.3 矢量的恒等式和基本定理大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通過(guò)直接計(jì)算來(lái)證明。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可在直角坐標(biāo)系中證明，對(duì)其它正交坐標(biāo)系，也都是成立的。1.3.1 三個(gè)重要的恒等式（）（）（）第47頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-48恒等式 的意義任何一個(gè)標(biāo)量

22、函數(shù)的梯度的旋度必等于零。任何一個(gè)梯度場(chǎng)必然為無(wú)旋場(chǎng)，而任何一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)也必為有位場(chǎng)。例如靜電場(chǎng)。恒等式 的意義任何一個(gè)矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。任何一個(gè)旋度場(chǎng)必為無(wú)源場(chǎng)，而任何一個(gè)無(wú)源場(chǎng)必為有旋場(chǎng)。例如恒定磁場(chǎng)。第48頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-49拉普拉斯（Laplace）算子在直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子例如對(duì)于其它坐標(biāo)系（）但（）第49頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-501.3.2 矢量場(chǎng)的基本定理高斯(Gauss)散度定理矢量場(chǎng)穿過(guò)空間任一閉合曲面的通量等于該矢

23、量的散度在曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。證明：將體積分割成 N 個(gè)的小體積（）第50頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-51斯托克斯（Stokes）定理 矢量場(chǎng)沿空間任一閉合曲線的環(huán)量等于該矢量場(chǎng)的旋度穿過(guò)以閉合曲線作為邊界曲線的任一開(kāi)放曲面的通量。證明：將該曲面剖分為N 個(gè)小面積（）第51頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-52格林（Green）第一定理或格林第一恒等式這個(gè)定理可以通過(guò)令 ，利用高斯散度定理證明。格林（Green）第二定理或格林第二恒等式（）（）（）（）第52頁(yè)，共67

24、頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-53證明：采用反證法。假設(shè)同時(shí)存在兩個(gè)矢量場(chǎng) 和 ， 它們具有相同的散度和旋度以及邊界條件，即 令 則有唯一性定理若在區(qū)域 內(nèi)矢量場(chǎng) 的散度 、旋度 以及在邊界面 上的切向分量 或(法向分量 )已給定，則矢量場(chǎng)在該區(qū)域內(nèi)的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可證明要滿足上述兩式，必有得證。第53頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-54亥姆霍茲(Helmholtz)定理空間有限區(qū)域 內(nèi)任一矢量場(chǎng) 均可以表示為一個(gè)無(wú)源場(chǎng) (即 或 )和一個(gè)無(wú)旋場(chǎng) (即 或 )之

25、和， 即（）（）（）第54頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-55亥姆霍茲定理的一個(gè)特例空間區(qū)域?yàn)闊o(wú)限大，而場(chǎng)源卻分布在一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)。在這種情況下，如假設(shè)矢量場(chǎng)在無(wú)限遠(yuǎn)處以足夠快的速度減弱至零，即則有在無(wú)限大空間中，只要知道矢量場(chǎng)的散度和旋度，就能將其定量地確定下來(lái)。既無(wú)源又無(wú)旋的場(chǎng)是不存在的。（）（）（）（）第55頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-561.4 常用正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)面均為一般的曲面。任意兩坐標(biāo)面的交線為第三個(gè)坐標(biāo)變量的坐標(biāo)軸，一般為曲線。空間任

26、一點(diǎn)有三個(gè)坐標(biāo)軸通過(guò)，坐標(biāo)軸上的單位矢量相互正交且符合右手螺旋法則。這三個(gè)單位矢量的方向隨空間點(diǎn)位置的不同而變化。正交曲線坐標(biāo)系的類型很多, 已出現(xiàn)的有 10 多種。除直角坐標(biāo)系這種特殊的正交曲線坐標(biāo)系以外，其它還有圓柱、球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線坐標(biāo)系。常用的就是直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。第56頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-571.4.1 三種常用的正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 （方向矢量）直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）第57頁(yè)，共67頁(yè)，2022年，5月20日，0點(diǎn)5分，星期六電磁場(chǎng)與電磁波理論第1章 矢量分析1-58圓柱坐標(biāo)系 （方向矢量） 圓柱坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元（1.4