矩陣和算符課件

1、關(guān)于矩陣與算符第一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11. 三維矢量代數(shù) 三維矢量： 列矩陣(Column matrix) 任何一個(gè)矢量都可以寫成一個(gè)基矢i的線性組合。如直角坐標(biāo)中：直角坐標(biāo)中：第二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2矢量的加減法 若：則：第三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3矢量的標(biāo)積(點(diǎn)積) 第四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4相互正交基矢(mutually orthogonal basis vectors)第五張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5所以，有 單位并矢式(unit dyadic) (3.1)(3.1)亦稱基矢 的完

2、備性條件，即任何一矢量可表示為基向量 的線性組合。 第六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6矢量的矢積(叉積) 第七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7第八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月82 行矢和列矢 n個(gè)分量分別由行矩陣和列矩陣表示。3 Dirac 符號(hào) 左矢與右矢互為轉(zhuǎn)置共軛行矢左矢 （ bra vector）， 以“ ” 表示；列矢右矢 （ket vector）, 以 “ ”表示。 第九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月9H=轉(zhuǎn)置+共軛 (3.9) 第十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月104 矢量的標(biāo)積和矢量的正交 括號(hào) - 標(biāo)積，bra

3、& ket 由 bracket而得.連續(xù)函數(shù)在n維復(fù)空間中，矢量 和 的標(biāo)積定義為：第十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11如果 = 0， 稱X和Y正交。當(dāng)X=Y時(shí)，XHX的平方根稱為矢量X的長(zhǎng)度或模(norm), 即第十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月123. 2 矩陣 (Matrices) 1 矩陣的定義：按矩形排列的一組數(shù)。如： A稱為（nm）矩陣，它有n行和m列。矩陣中包含的數(shù)稱為矩陣的元素，簡(jiǎn)稱矩陣元。第 i 行第 j 列的矩陣元以 aij 表示。第十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月132 矩陣的運(yùn)算 相等 A = B, aij = bij加法 C

4、 = A + B, cij = aij + bij數(shù)乘 C = A, cij = aij對(duì)易律和結(jié)合律 A + B = B + A，A =A A + (B + C) = (A + B) + C (a + b)A = aA + bA, (A + B) = A + B 表示A和B的行數(shù)和列數(shù)都相等，且每個(gè)對(duì)應(yīng)元素也都相等。兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)要都相等第十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14矩陣和矩陣相乘 nm mk nk乘法規(guī)則：一個(gè)n行m列的矩陣可以和m行k列的矩陣相乘，得到一個(gè)n行k列的矩陣，即：只有前一矩陣的列數(shù)與后一矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能相乘，否則不能相乘。第十五張，PPT共八十

5、二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月15(i = 1, 2, , n, j= 1,2, , k) 第十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月16例1 一般而言AB BA, 即矩陣乘法不滿足交換律，但滿足結(jié)合律ABC = A(BC) =(AB)C第十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月17轉(zhuǎn)置矩陣、共軛矩陣、轉(zhuǎn)置共軛矩陣 A = aijnm AT = aji mn 把矩陣A的行列互換，叫矩陣的轉(zhuǎn)置，轉(zhuǎn)置后得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，用符號(hào)AT表示，即若在轉(zhuǎn)置矩陣AT中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來(lái)代替則形成的新矩陣稱為轉(zhuǎn)置共軛矩陣，用符號(hào)AH表示，即AH = aji* mn A = aij

6、nm 第十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月18如果 F = ABCX 則 FH = (ABCX)H = XHCHBHAH 例2 第十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月193 方陣與對(duì)角陣 方陣： 行和列相等 （n = m）. 對(duì)角陣： 除對(duì)角線上各元素外，其余都是 零的方陣。 第二十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月204 單位矩陣和純量矩陣 對(duì)角線上各元素為1，其余均為零的方陣稱為單位矩陣（Unit matrix），以I或ij表示： IA = AI, In = I 單位矩陣與同階方陣A的乘積可以對(duì)易；單位矩陣的任何整數(shù)次方等于單位矩陣。第二十一張，PPT共八十二

7、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月21SA = AS純量矩陣（ Scalar matrix ）：對(duì)角元素為相同的數(shù)，其余都是零的方陣，用S表示。純量矩陣和同階方陣的乘積可以對(duì)易，即但對(duì)角陣與同階方陣的乘積一般不能對(duì)易。第二十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月225 方陣的逆 如果方陣A為非奇異的（|A|0），則可以找到另一同階方陣A-1，使A-1A =AA-1=I ，則A-1稱為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱“逆”。例：第二十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月23(AB)-1 = B-1A-1 定理：方陣AB乘積之逆等于B之逆左乘A之逆，即證明：由逆矩陣定義，得： (AB)-1(AB)=I而由結(jié)合

8、律B-1A-1(AB) = B-1(A-1A)B=B-1IB = IB-1B=II =I比較上面兩式可得：(AB)-1 = B-1A-1 得證第二十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月246 Hermite矩陣和Unitary矩陣 A = AH aij=aji* A=AH凡方陣A和它的轉(zhuǎn)置共軛矩陣AH相等者，則稱A為Hermite對(duì)稱矩陣（ Hermite symmetric matrix ），簡(jiǎn)稱Hermite矩陣，即：如：就是Hermite矩陣當(dāng)A元素aij全部為實(shí)數(shù)，且aij= aji時(shí)，則稱A為對(duì)稱矩陣第二十五張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月25U-1 = UH凡方陣

9、的逆矩陣等于轉(zhuǎn)置共軛矩陣的，稱為酉陣（ Unitary matrix ），用U表示，即：或 UHU = U-1U = I如酉陣的元素都是實(shí)數(shù)，則稱此酉陣為正交陣。例如：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)變換關(guān)系可以寫成矩陣形式第二十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月26上式中方陣表示反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)變換，它的逆變換即順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)或反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)（-），相應(yīng)的方陣為：因?yàn)椋篟() R(-) = I所以： R(-) = R()-1即： R()-1 = R()T R()為正交陣第二十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月27酉陣的性質(zhì)：1、n階酉陣的各行或各列形成一組n個(gè)正交歸一的矢量；反之也成

10、立，即由一組n個(gè)n維的正交歸一矢量組成的方陣是酉陣。2、兩個(gè)同階酉陣的乘積也是一個(gè)同階的酉陣。3、酉陣之逆也是酉陣。第二十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月28證明：由酉陣定義得：I=UHU=ij則利用矩陣乘法規(guī)則和單位矩陣定義，得到：(1)第二十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月29令矢量Uj和Uk分別表示酉陣U的第j和第k列，即它們的標(biāo)積為：與（1）式比較，得：所以u(píng)j是一組正交歸一的矢量，同理可證酉陣的各行也是一組正交歸一的矢量。第三十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月307 方陣的跡(Trace)方陣A的各對(duì)角元素之和稱為跡，用TrA表示。定理：幾個(gè)方陣的乘

11、積之跡，不因方陣和循環(huán)置換而變化，即: TrABC=TrBCA =TrCAB;第三十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月31證明：TrABC=TrBCA，同理可證，等于TrCAB第三十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月323.3 行列式(Determinants) 行列式是數(shù)量或元素Aij按行和列的排列，其中行數(shù)等于列數(shù)。行數(shù)或列數(shù)稱為行列式的階。1.行列式的計(jì)算 第三十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月33列指標(biāo)的置換pi為將置換還原所需對(duì)換的數(shù)目。(-1)pi 稱為置換Pi的宇稱，偶宇稱取+1和奇宇稱取 1。對(duì)于三階行列式，pi=3！=6個(gè)，即第三十四張，PPT

12、共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月34S3 =Pi p0 = 0 p1 = 1 p2 = 1 p3 = 1 p4 = 2 p5 = 2 第三十五張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月35例: |A| = a11a22a33a12a21a33a13a22a31a11a23a32 a12a23a31a13a21a32 第三十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月362. 行列式的展開 Aij 稱為aij的代數(shù)余子式-去掉行列式|A| 的i行和j列元素后剩下的子行列式。第三十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月37例 = a11a22a33a11a23a32a12a21a33a12a

13、23a31 a13a21a32a13a22a31 第三十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月38有定理：三角陣的行列式等于它的對(duì)角元素的乘積第三十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月393. 行列式的初等變換及其性質(zhì) 行列互換行列式不變；B. 以一數(shù)乘行列式的一行或一列等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式，即一行或一列的公因子可以提出去；因此，行列式中一行或一列為零，行列式為零；C. 對(duì)換行列式中兩行或兩列的位置，行列式反號(hào)。因此，行列式中如有兩行或兩列相同或成比例，那么行列式為零；D. 把一行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變。第四十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月40

14、利用三角化求行列式的值例：第四十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月413.4 算符(Operators) 算符：算符是把一個(gè)函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)。如 微分算符位置算符也是算符第四十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月421 算符的加法和乘法如果則這就是算符的加法定義。如果則這就是算符的乘法定義。由定義可知：第四十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月432 算符的對(duì)易 若 , 稱 與 對(duì)易，反之非對(duì)易。一般情況下，算符的乘法不對(duì)易。定義：例： 對(duì)易關(guān)系式 算符 （即乘以1）稱為單位算符第四十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月44令 求 第四十五張，

15、PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月45在量子力學(xué)中遇到的微分方程都是線性微分方程，因此在量子力學(xué)中討論的算符都是線性算符。3 算符的平方 2 = 4 線性算符 如果 c1f1(x) + c2f2(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x) 則 為線性算符。一般而言，也是線性算符 an(x) n + an-1(x) n-1 + + a1(x) + a0(x)如：第四十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月46線性算符滿足下列等式 第四十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月475 本征函數(shù)、本征值和本征方程 (Eigenfunctions, eigenvalues and

16、eigenequation) 如果算符作用于f(x)等于某一常數(shù)乘以f(x)，即 f(x) = k f(x)f(x) 本征函數(shù)，k 本征值，此方程為本征方程。 第四十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月48Schroedinger 方程 第四十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月49Schroedinger 方程的算符形式 其中 Hamilton 算符，2 Laplace 算符。 因此，是算符的本征函數(shù)，能量E就是算符的本征值。第五十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月506 算符與量子力學(xué) 經(jīng)典力學(xué) 量子力學(xué) 第五十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月517 平

17、均值（期望值）如果有一力學(xué)量F，它是坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，那么在某一瞬間，發(fā)現(xiàn)微粒的F在某一定值F(xi,yi,zi)附近的幾率為* (xi,yi,zi) (xi,yi,zi)dxidyidzi，而其平均值為：體積元第五十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月52第五十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月53例 6 令 求 、 . 粒子的平均位置在勢(shì)箱的中央第五十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月54粒子的動(dòng)量動(dòng)量的平均值：可知，粒子在勢(shì)箱中正向運(yùn)動(dòng)和逆向運(yùn)動(dòng)相等，平均動(dòng)量為零。第五十五張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月558 Hermite 算符 在量子力學(xué)中

18、常用線性算符表示力學(xué)量G，因此力學(xué)量G的平均值為：而力學(xué)量的平均值必須是實(shí)數(shù)，所以 即：或(3.4-1)第五十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月56凡是滿足（3.4-1）式的算符叫做Hermite算符，因此量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符一定是線性Hermite算符。第五十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月573.5 量子力學(xué)的基本假設(shè) 1 基本概念 力學(xué)量：時(shí)間、位置、速度、質(zhì)量、角動(dòng)量、勢(shì)能、動(dòng)能、總能量 等。 狀態(tài)函數(shù) 描述微觀體系的狀態(tài)； 算符 和力學(xué)量或?qū)ΨQ操作一一對(duì)應(yīng)。第五十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月582 基本假設(shè)假設(shè)I 狀態(tài)函數(shù)和幾率。1、微觀體

19、系的任何狀態(tài)可由坐標(biāo)波函數(shù)(q,t)來(lái)表示，(q,t)是體系內(nèi)所有微粒的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。 *d表示在時(shí)間t發(fā)現(xiàn)體系在微體積內(nèi)的幾率， *為幾率密度?？値茁实扔?，即：2、狀態(tài)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件a.連續(xù)性條件：狀態(tài)函數(shù)在變數(shù)變化的全部區(qū)域內(nèi)必須是連續(xù)的，而且有連續(xù)的一級(jí)微啇。第五十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月59b.單值性條件：由于*是粒子出現(xiàn)的幾率密度，所以必須是坐標(biāo)和時(shí)間的單值函數(shù)。c.平方可積條件：即積分必須是有限的。凡是滿足連續(xù)性、單值性和平方可積三個(gè)條件的任何函數(shù)叫做品優(yōu)函數(shù)(well-behaved function)第六十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月60

20、態(tài)疊加原理：若1,2.n是某一量子體系的可能態(tài)，那么它們的線性組合=cnn也是此體系的可能態(tài)，其中cn是常數(shù)。第六十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月61假設(shè)II 力學(xué)量與線性Hermite算符。對(duì)于體系的每一個(gè)可觀察的力學(xué)量，有一個(gè)對(duì)應(yīng)的線性Hermite算符，組成力學(xué)量算符的規(guī)則為：（1）如力學(xué)量F是(q,t)的函數(shù)，則其算符就是簡(jiǎn)單地用F乘，即：（2）如力學(xué)量G是(q,p,t)的函數(shù)，則其算符為：第六十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月62力學(xué)量及其算符 力 學(xué) 量 算 符時(shí) 間 t 位 置 qi動(dòng) 量 pi角動(dòng)量Mz= xpy - ypx動(dòng) 能 總 能 H = T

21、+ V第六十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月63有了力學(xué)量與算符的假設(shè)后，則任何力學(xué)量的平均值可按下式計(jì)算：第六十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月64假設(shè)III 力學(xué)量的本征狀態(tài)和本征值 (3.38) 微觀體系的力學(xué)量G在狀態(tài)(q, t)下具有確定的值G0, G0稱為G的本征值，(q, t) 稱為G的本征狀態(tài)，(3.38) 稱為G的本征方程。 如果某一力學(xué)量G的算符作用于某一狀態(tài)函數(shù)(q,t)等于一常數(shù)G0乘以(q,t)，即：第六十五張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月65假設(shè) IV 態(tài)隨時(shí)間變化的Schrodinger方程 在量子力學(xué)中，當(dāng)微觀粒子在某一時(shí)刻的狀

22、態(tài)函數(shù)(q, t) 為已知時(shí)，以后時(shí)間粒子所處的狀態(tài)也要由一個(gè)方程來(lái)決定，這個(gè)方程就是態(tài)隨時(shí)間變化的方程，即Schrodinger方程的第二式。 第六十六張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月66假設(shè) V Pauli互不相容原理（自旋假定） 非相對(duì)論量子力學(xué)的補(bǔ)充假設(shè)，在Dirac相對(duì)論量子力學(xué)，自旋是其理論的自然結(jié)論。Pauli原理指出：對(duì)于費(fèi)米子（指電子、質(zhì)子、中子等自旋量子數(shù)s為半整數(shù)的體系），描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的全波函數(shù)必須是反對(duì)稱波函數(shù)。即 (q1, q2, , qn )=- (q2, q1, , qn )對(duì)于光子、介子、氘(2H)和粒子(4He)等（自旋量子數(shù)s為整數(shù)的）玻色子，則

23、要求對(duì)稱波函數(shù)。第六十七張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月673.6 關(guān)于定態(tài)的一些重要推論一、力學(xué)量具有確定值的條件當(dāng)體系處于某一狀態(tài)(x)時(shí)，體系的力學(xué)量G(x,p)在這個(gè)狀態(tài)不一定具有確定的值， G(x,p)在狀態(tài)(x)具有確定值的充分必要條件是：(3.6-1)(3.6-2)第六十八張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月68利用的Hermite對(duì)稱性，即(3.6-2)化為：(3.6-3)即第六十九張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月69(3.6-4)推而廣之(3.6-5)(3.6-5)式表示某一力學(xué)量G，當(dāng)它的相應(yīng)算符作用于某一狀態(tài)，如果等于某一常數(shù)G0乘以時(shí)，那么此常

24、數(shù)G0即為力學(xué)量G在狀態(tài)時(shí)的確定值或本征值。當(dāng)G為能量時(shí)，它的算符就是Hamilton算符，而其本征值即為能量E，（3.6-5）式寫為：第七十張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月70這就是定態(tài)Schrdinger方程，所以定態(tài)Schrdinger方程是（3.6-5）式的一個(gè)特例。第七十一張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月71二、不同力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件體系的兩個(gè)力學(xué)量C和G同時(shí)具有確定值的條件是和 可對(duì)易，即(3.6-6)證明：如果G在態(tài)具有確定值G0，則應(yīng)滿足(3.6-5)式，即同理：第七十二張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月72即是和 的共同本征函數(shù)，因此有：即(3.6-7)由于只是一個(gè)確定的波函數(shù)，而不是任意的波函數(shù)，所以(3.6-7)式成立還不能說(shuō)明和 在態(tài)同時(shí)具有確定值的條件是它們可以對(duì)易。第七十三張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月73如果和 的共同本征函數(shù)n不止一個(gè)，而且組成完全集合，則和 必定是可對(duì)易的。對(duì)于任意波函數(shù)可以展開成下列級(jí)數(shù)：于是有由于是任意波函數(shù)，所以可得：(3.6-8)cn是待定常數(shù)第七十四張，PPT共八十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月74即和 可以對(duì)易。上述定理的逆定理也