極限與連續(xù)教案

1、 -TCOSX-例如：）=,1x2y=y=ln（x+、：4x-3）1+x2二、基本初等函數(shù)（見課本p5）定義由五類基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所構(gòu)成的，并可用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)冪函數(shù)：y=M（四是常數(shù)）；指數(shù)函數(shù)：y=（a是常數(shù)，且a0,aWl）；對數(shù)函數(shù)：（a是常數(shù)，且a0,aWl）；三角函數(shù)：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；反三角函數(shù)：正弦函數(shù)丫=5*在區(qū)間-上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為y=arcsinx.余弦函數(shù)丫=。$*在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為y=arccosx.正切函數(shù)丫=1an乂

2、在區(qū)間（-）上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為y=arctanx.余切函數(shù)丫=。1乂在區(qū)間（0,）上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記y=arccotx.以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所產(chǎn)生的函數(shù)，稱為初等函數(shù)附：初等函數(shù)圖像1.1.2函數(shù)極限的概念.當(dāng)-8時，函數(shù)y=f(x)的極限定義1.4如果x無限增大(即x-8時)，函數(shù)f(x)的值無限接近一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)X8時的極限，記作limf(x)=A或者當(dāng)x8時，f(x)-Ax-8.當(dāng)x-X0時，函數(shù)y=f(x)的極限定義如果x-X0(不要求x=X0)，函數(shù)f(x)的值無限接近于一

3、個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx時的極限，記作limf(x)=A或者f(x0)=A0 x-x00當(dāng)xx時,x即可以從x點(diǎn)的左側(cè)無限接近于x(記為xx-0或0000 xx+).0如果xx0-時，函數(shù)f(x)的值無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時的左極限，記作limf(x)=A或者f(x-0)=A0 xx0-如果xx0+時，函數(shù)f(x)的值無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時的右極限，記作limf(x)=A或者f(x0+0)=Axx0+顯然，當(dāng)limf(x)=lim=A時，有l(wèi)imf(x)=A，反之亦然.xx0-xx0+xx0 x2-1例5討論函數(shù)f(x

4、)=-當(dāng)x1時的極限x+1由圖1.5可知,當(dāng)x2由圖1.5可知,當(dāng)解:因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閤-1,所以于(x)=E=x-1f(-1-0)=lim=lim(x-1)=-2x-1時,寅乂的左、右極限依次為:x-1-0 x+1x-1時,寅乂的左、右極限依次為:x2-1f-1+0)=lim=lim(x-1)=-2x-1+0 x+1x-1+0 x2-1因此可見，當(dāng)x-1時，f(x)的左、右極限存在并且相等，所以lim-=-2x-1x+1圖1.5例4討論函數(shù)f(x)=當(dāng)x0時的極限。解由圖1.4可知，當(dāng)XT0時，f(x)的左右極限依次為：f(00)=limf(x)=lim(X+1)=1X-0-X-0一f(0

5、+0)=limf(x)=lim(X+1)=-1X0+X0+因此可見，當(dāng)X0時，f(x)的左、右極限存在但不相等，所以，當(dāng)X0時，函數(shù)f(X)的極限不存在。安徽中醫(yī)藥高等專科學(xué)校教案課程題目1.2極限的運(yùn)算學(xué)時（單元）4授課時間2010.3.15-3.28授課地點(diǎn)1302授課班級09藥品質(zhì)量檢測專業(yè)09級1-3班教學(xué)目標(biāo)與要求.掌握極限的四則運(yùn)算法則.掌握求極限的方法（4種）.掌握用兩個重要極限求一些極限教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、步驟及時間分配.極限運(yùn)算法則(20)設(shè)limf(x)=A，limg(x)=B則有以下法則xfx0 xfx0法則1limf(x)g(x)=limf(x)+limg(x)=ABxf

6、x0 x-x0 xfx0法則2limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ABxfx0 x-x0 xfx0、rf(x)Llimf(x)_A,“八、法貝U311m11xx0-(B豐0)xf0Lg(x)limg(x)Bxfx0.極限的方法(4種)舉例(80)1)直接法2)約分法3)分子分母同除最高次冪法4)因式有理化法.兩個重要極限limSnx=1lim(1+)x=e(100)x-0 xxTSx教學(xué)重難點(diǎn).極限的四則運(yùn)算法則.兩個重要極限教學(xué)方法講授、啟示、探討教具準(zhǔn)備黑板、多媒體參考資料高等數(shù)學(xué)同濟(jì)出版高等數(shù)學(xué)合工大版醫(yī)用高等數(shù)學(xué)人民衛(wèi)生出版社復(fù)習(xí)思考題課本p12課后小結(jié)1.2極限的運(yùn)

7、算一、極限的運(yùn)算法則設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B則有以下法則法則1limf(x)g(x)=limf(x)+limg(x)=ABX-X0法則2limf(x)g(x)X-X0=limf(x)limg(x)=AB法則3limX-X0limf(X)AX-X0=-(B豐0)limg(x)BX-X0特別地若g(X)=C貝ulimcf(x)=climf(x)=cA二、極限計(jì)算方法一)直接法例1.求lim(3x2-2x+1)X-1解：lim(3x2-2x+1)=lim3x2-2limx+1=3-2+1=2X-1X-12x3+1例2.limx-23-x2x3+1解：limq_x-23-xlim2x3

8、+1-X3=17lim3-xx-2)約分法x2-9例3.limx-3x-3解：因?yàn)閘im(x-3)=0,所以不能直接用法則3,在X-3的過程中，由于X豐3即x-3X-3豐0，因而在分式中可約去非零因子即x2-9limx2-9lim(x-3)(x+3)lim=x-3=x13.=lim(x+3)=6TOC o 1-5 h zx-3x-3limx-3lim(x-3)x-3x13x1311 HYPERLINK l bookmark94 練習(xí)：lim(-)x111-x1-x3三)分子分母同除最高次冪法例4.求下列極限limXlimX-2x2+x3X2+2x-1解：當(dāng)X18時，分子、分母都趨向于確定地常數(shù)

9、，不能直接利用法則3,此時可除以分子、分母的最高次冪2,再求極限即+TOC o 1-5 h z2X2+x丫limX-8 HYPERLINK l bookmark144 =limXlimX-83X2+2X-1X-831十一-（2X-3）20（3X十2）30練習(xí)：X-m（2X+1）50四）因式有理化法通過對根式的有理化，進(jìn)行約分，化簡X+Ax-%：X例5.limAX-0AX解：對分子乘以有理化因子%-%+Ax-%導(dǎo)則原式=limAX-0（x+Ax-X）（%:X十Ax十、:X）Ax（%；x十Ax十、X）limAX-011Xx+Ax+Jx2y：xx十11練習(xí)：lim（1/2）x-0 x1.2.2兩個重

10、要極限sinx1.極限lim=1（注意x-0）x-0 x該性質(zhì)只需要記性，掌握起應(yīng)用即可sin2x例6.求limx-03x解：很顯然本題利用上面的性質(zhì)來解題的。sin2X2sin2X2原式=lim=_lim二一x-o2x.33x-o2x32通式：limX-0sinaXbbXatanx通式：limX-0sinaXbbXatanx例7.limx-0 x1sinx1解：原式=lim-=limx-0 xcosx1-cosx例8.limx-0 x2X-0cosXsinXlim=1X-0X2sin2解：原式=lim2x-0 x21rlim2X-02xsin2X221=2例9.limxsin.Jsm解：原式

11、=limx=11X0 x2.極限一2.極限一Y1lim(1+_)x=e例10.1lim(1+_)2xX8解：原式=l1m(1+解：原式=l1m(1+x81lim(1+_)x_X8例11.lim(1+2)xX8解：原式二一Y1解：原式二一Y1lim(1+)Xlim(1+-)X-8a通式lim(1+一)bx=eabX8例12.lim(X82X1、x+3X)22x+1原式加(1X83X+一lim(1+X8=lim(1+X8=lim(1+2x+122x+11)2)2x1122x+1lim(1+X82x+1)21X8練習(xí)：lim(X8安徽中醫(yī)藥高等專科學(xué)校教案課程題目1.3無窮小與無窮大學(xué)時（單元）2授

12、課時間2010.3.29-4.4授課地點(diǎn)1302授課班級藥品質(zhì)量檢測專業(yè)09級1-3班教學(xué)目標(biāo)與要求.了解無窮小與無窮大的概念.掌握無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系，無窮小量的比較關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì).通過實(shí)例引出無窮小的定義（5）.無窮小的性質(zhì)以及與函數(shù)的關(guān)系（20）.無窮小之間的比較（50）.無窮大的定義及和無窮小的關(guān)系（25）教學(xué)重難點(diǎn).無窮小的性質(zhì).函數(shù)與無窮小的關(guān)系、無窮小比較、無窮小與無窮大關(guān)系教學(xué)方法講授、啟示、探討教具準(zhǔn)備黑板、多媒體參考資料高等數(shù)學(xué)同濟(jì)出版高等數(shù)學(xué)合工大版醫(yī)用高等數(shù)學(xué)人民衛(wèi)生出版社復(fù)習(xí)思考題一課本P17習(xí)題1、（9）課后小結(jié)1.3無窮小與無窮大在實(shí)際問題中,常會

13、遇到以零為極限的變量.例如把石子投入水中,水波的四面?zhèn)鏖_.她的振幅隨時間增大而逐漸減小并趨向于零,又如電容器放電時,其電壓隨時間增加而逐漸減小并趨向于零;另外若f(x)=x-1，當(dāng)X趨向于1時,f(x)無限趨近于零，這樣就引出無窮小的定義.1.無窮小的定義:定義1:如果xfx0(或xT8)時，函數(shù)f(x)的極限為零;那么把f(x)叫做當(dāng)xfx0(或xT9)時的無窮小.注意:無窮小是個變量,不能將其與很小的常數(shù)相混淆,在所有常數(shù)中零是惟一可以看作無窮小的數(shù).l1m=0 xfx0例:x2.sinx與1_c0sx都是當(dāng)xf0時的無窮小量.4廠x是當(dāng)xfl-1時的無窮小量sinxx2.為xf9時的無窮

14、小量無窮小量與自變量的變化過程有關(guān)當(dāng)xfx0時,f(x)是無窮小.當(dāng)xfx1(x豐x0)時f(x)不一定還是無窮小.無窮小的性質(zhì):(1)兩個(相同類型)無窮小量之和、差、積仍為無窮小量(2)無窮小量與有界函數(shù)的乘積為無窮小量i1如：sinx是當(dāng)xf9時的有界量，sinT是當(dāng)xf0時的有界量x1例1求lim4sinx)xf9x解:當(dāng)xf9時，-是無窮小,sinx極限不存在，但sinx是有界函數(shù)，根據(jù)無窮小性質(zhì)可知:x1lim(sinx)=0 xf9x例211mQx2+1+1x2-1)sinx(利用無窮小性質(zhì)求)性質(zhì)2xf9.函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系由11mf(x)=A表示xTx0當(dāng)時，函數(shù)f(x)

15、趨近于常數(shù)A顯然f(x)趨近于A,即等同于xTx0f(x)-A趨近于零，當(dāng)xx0時，變量f(x)-A是無窮小.那么無窮小與極限之間存在如下聯(lián)系:定理1:具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小和.反之,如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是這函數(shù)的極限,下面就xx0時情形加下注明:11mf(x)=A則a=f(x)-A即xTx0lima=limf(x)-A=limf(x)-limA=A-A=0 xxxx0 xx0一x0一x0就是說a是當(dāng)xx0時的無窮小.無窮小的比較在自變量的同一變化過程中的兩個無窮小,雖然同時都趨向于零,但他們趨向于零的快慢程度有時卻不一樣.定義:設(shè)當(dāng)xTx0(或xT8

16、)時，0、B定義:設(shè)當(dāng)0lim1)如果Bx0lim1)如果BxTx0=0則稱0是比B較高價(jià)的無窮小.0lim_2)如果BxTx0=8則稱0是比B較低價(jià)的無窮小.0lim3)如果BxTx0=C(常數(shù)c中0)則稱0和B是同階無窮小.例：當(dāng)xT0例：當(dāng)xT0時，x、3x、都是無窮小.x3lim-=limx2=0所以當(dāng)x-0時，x3是x較高階的無窮小;由于xT0 xxT03xlim_=3x0 x所以當(dāng)x-0,3x與x是同階的無窮小.特別的=1時，稱0和B為等價(jià)無窮小當(dāng)x0，常見等價(jià)無窮小有:sinxx1-cosxln(1+sinxx1-cosxln(1+x)xarcsinxarctanxxP8(6)P

17、8(6)lim24xf02arcsinx3x*解：由等價(jià)無窮小arcsinxx可知2x2lim原式=Ay=2xf0Jx，川二、無窮大.無窮大的定義定義3:當(dāng)xTx0(或xfs)時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大.那么把f(x)叫做當(dāng)xfx0(或xfS)時的無窮大.注意:無窮大是指絕對值無限增大的變量.不能將其與很大的常數(shù)混淆(常數(shù)不是無窮大).無窮小與無窮大的關(guān)系1定理2:在自變量的同義變化過程中，若f(x)為無窮大，則K)為無窮小.反之，若f(x)為無窮1小，/(x)豐0則y(x)為無窮大.下面利用無窮小與無窮大的關(guān)系來求一些函數(shù)的極限lim例2:求xf1lix解:分析:當(dāng)xfL分母x-1

18、的極限為0,所以不能用法則了，但有l(wèi)im-x-1=0TOC o 1-5 h zxflx1 HYPERLINK l bookmark62 x-1x-1x_即是xf1時的無窮小，則它的導(dǎo)數(shù)是xf1時的無窮大,即limx-1二8xxxf1x-L例3:求解:分析當(dāng)x_8時11mx2、lim3x都不存在,所以不能應(yīng)用法則1、2但因?yàn)閤f8xf81limi=limx_-0丫4s1x_8x2-3x+2x_81_3+2即當(dāng)x_8時,x23x+2是無窮小,所以xx2它的倒數(shù)x2-3x+2是無窮大，即11m(x2-3x+2)=8xf82X3-x2+5例4:求1mx2+7Xf8X+/解:分析:當(dāng)X-8時，分子、分母

19、的極限都不存在，所以不能用法則317_+11mX-8=11mX-8=11mX82-1+211mX11mX8X2+72X3-X2+5歸納aXm+aX歸納aXm+aXm-1+1im_0iX-8bXn+bXn-1+01m=n00mn8mn+am.+bna安徽中醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校教案課程題目1.4函數(shù)的連續(xù)性學(xué)時（單元）2授課時間2010.4.5-4.11授課地點(diǎn)1302授課班級藥9品質(zhì)量檢測專業(yè)09級1-3班教學(xué)目標(biāo)與要求了解函數(shù)連續(xù)性定義會求連續(xù)區(qū)間了解函數(shù)間斷的概念了解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)，掌握初等函數(shù)在其區(qū)間內(nèi)連續(xù)的性質(zhì)，教學(xué)設(shè)計(jì).函數(shù)連續(xù)性的概念1）函數(shù)的增量（10）2）函數(shù)在點(diǎn)0處的

20、連續(xù)性（40）3）函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性（10）.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性（20）.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（20）教學(xué)重難點(diǎn)函數(shù)連續(xù)性的判斷教學(xué)方法講授教具準(zhǔn)備黑板參考資料高等數(shù)學(xué)同濟(jì)出版高等數(shù)學(xué)合工大版復(fù)習(xí)思考題課本練習(xí),復(fù)習(xí)題課后小結(jié)1.4函數(shù)連續(xù)性在我們?nèi)粘Ｉ钪杏性S多現(xiàn)象,如氣溫的變化,植物的增長,空氣的流動等都是連續(xù)不斷地運(yùn)動和變化的.那么這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.下面就學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性首先介紹函數(shù)增量的概念.1.函數(shù)的增量(或改變量)設(shè)函數(shù)y=f(x)在及其左右近旁有定義，當(dāng)x由x0(初值)變化到(終值)時，終值與初值之差X1-x0叫做自變量的增量(或改變量)記作：y=f(x-x)

21、-f(x)幾何上，函數(shù)的增量表示當(dāng)自變量從x0到x0+X時，曲線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量.(如圖)應(yīng)當(dāng)注意，增量記號x0是不可分割的整體，增量產(chǎn)、J可正可負(fù)，增量J可正可負(fù)或?yàn)榱?例1:設(shè)y=f(x)=3x2-1，求適合下列條件中的增量x和jTOC o 1-5 h z當(dāng)x由1變化至I1.5時卜卜!(2)當(dāng)x由1變化到0.5時UUU(3)當(dāng)x由1變化到1+x時(卜解：(1),=1.5-1=0.5Uy=/(1.5)-f(1)=(3*1.52-1)-(3*12-1)=3.75(2)ju=1.5-1=0.5)山二于(0.5)-f(1)=(3*0.52-1)-(3*12-1)=-2.25K)。)IX=(1

22、+X)-1=%2函數(shù)的連續(xù)性定義1.7設(shè)函數(shù)2函數(shù)的連續(xù)性定義1.7設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義，如果當(dāng)自變量產(chǎn)在x0處增量x趨近于零時，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的增量y=f(%+x)-/(x0)也趨近于零，即有l(wèi)imy=lim(x+%)/(%)=limy=lim(x+%)/(%)=O,那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，點(diǎn)x0處連續(xù)，點(diǎn)x稱作函數(shù)y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).UU0由定義1.7知,要證明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，只需證明:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)。處及其近旁有定義;當(dāng)x-0時,有y-0.例2證明函數(shù)y=2+1在點(diǎn)x=1處連續(xù).證明：(1)因A為函數(shù)的定義域?yàn)?鞏+8

23、),所以y=2+1在x=1時，y=f(l+x)-/(1)=2x+(x”因?yàn)閘imy=lim2x+(x)2=0 x0 x0I.I所也由定義1.7知，函數(shù)y=娟+1在點(diǎn)x=1處連續(xù).在定義1.7中,，若令=&0+5,則y=ff(-f(。),當(dāng)x-o時,有y0,亦-0時,有f()f(0).因此，又有如下定義.定義1.8設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)&處連續(xù)必須滿足的三個條件:上(1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)0及其近旁有定義；(2)函數(shù)丫=/)在-0時的極限值存在；(3)函數(shù)丫=/)在0時的極限值等于在二0處的函數(shù)值，即有l(wèi)imf()=f()-00上述三個條件中只要有一個條件不滿足,則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的處不連

24、續(xù)，此時，稱點(diǎn)為函00數(shù)y=f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).X+4-20例3設(shè)函數(shù)f(X)=x*在X=0處連續(xù)，則m=(1/4)mX=03.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù);區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在右端點(diǎn)b處左端點(diǎn)a,處右；連續(xù)，即有l(wèi)imf(x)=f(b),limf(x)=f(a)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).X-b-0X-a+0連續(xù)函數(shù)的圖像在其定義域區(qū)間內(nèi)是一條連綿不間斷的曲線.Ix,0 x1例4討論函數(shù)f(X)=一/。點(diǎn)x=1處的連續(xù)性.1,1Vx3解因?yàn)閘imf(x)=limx=lim1=1,limf(x)=lim1=1所以limf(x)存在,x-10 x-10 x-10 xf1+0 x-1+0 x-1且有l(wèi)imf(x)=1=f(1)因此函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù).x-1Ix,x1例5討論函數(shù)f(x)=1/。在點(diǎn)x=-1處的連續(xù)性1,-1x3解因?yàn)閘imf(x)=limx=-1,limf(x)=lim1=1所以limf(x)不存在，因此，函x-10 x-10 x-1+0 x-1+0 x-1數(shù)g)在x=-1處不連續(xù),x=-1是函數(shù)f(x)