流體力學中的三大基本方程

1、流體力學中的三大基本方程第1頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四1 連續(xù)性微分方程 理論依據：質量守恒定律在微元體中的應用數學描述： 單位時間流出的質量-單位時間流入的質量+單位時間質量的累積or增量=0第2頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四 假定流體連續(xù)地 充滿整個流場，從中 任取出以 點為中心的微小六面 體空間作為控制體如 右圖?？刂企w的邊長 為dx，dy，dz，分別 平行于直角坐標軸x，公式推導：（1）單位時間內流入、流出微元體流體總質量變化第3頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四 y，z。設控制體中心點處流速的三個分量

2、為 ,液體密度為 。將各流速分量按泰勒級數展開，并略去高階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流體質點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點M的質點在x方向的分速度為通過控制體后表面中心點N的質點在x方向的分速度為 第4頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時間內沿x軸方向流出控制體的質量為于是，單位時間內在x方向流出與流入控制體的質量差為流入控制體的質量為第5頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四 同理可得在單位時間內沿y，z方向流出與流入控制體的質量差為 故單位時間內流出與流入微

3、元體流體質量總變化為：和第6頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四控制體內質量變化：因控制體是固定的，質量變化是因密度變化引起的，dt時間內：單位時間內，微元體質量增量： （微團密度在單位時間內的變率與微團體積的乘積） 第7頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四根據連續(xù)性條件：矢量形式：三維連續(xù)性微分方程第8頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四適用條件： 不可壓縮和可壓縮流體 理想和實際流體 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：or 說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅塍w積流量與流出體積流量相等。 第9頁，共32

4、頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四穩(wěn)定流動時：所有流體物性參數均不隨時間而變，二維平面流動：第10頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四2.理想流體的運動方程3.4.1-歐拉運動微分方程理論依據：是牛頓第二定律在流體力學上的具體應用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關系。1775年由歐拉推出流體力學中心問題是流速問題，流體流速與其所受到外力間的關系式即是運動方程。第11頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四推導過程：取微小六面控制體牛頓第二定律or動量定理：推導依據：即作用力之合力=動量隨時間的變化速率 第12頁，共32頁，2

5、022年，5月20日，10點55分，星期四分析受力：質量力： 單位質量力： X方向上所受質量力為： 表面力： 理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力 X方向上作用于垂直x軸方向兩個面的壓力分別為：X方向上質點所受表面力合力：第13頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四流體質點加速度 的計算方法：流速的全導數應是：當地加速度：流場中某處流體運動速度對時間的偏導數，反映了流體速度在固定位置處的時間變化特性遷移加速度：流場由于流出、流進某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。第14頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四流體質點加速度 在三個坐標軸上的分量表示成：第1

6、5頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四代入牛頓第二定律求得運動方程：得x方向上的運動微分方程： 單位體積流體的運動微分方程：單位質量流體的運動微分方程：第16頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四同理可得y,z方向上的：第17頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四向量形式： 式中： 理想流體歐拉運動微分方程 適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體第18頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四（5）連續(xù)性微分方程和運動方程在求解速度場中的應用這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：連續(xù)性方程： 運動方程： 第1

7、9頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四1. 含有四個未知量 完整的方程組。2. 描述了各種量間的依賴關系。3. 通解、單值條件（幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件）特解。即描述流體流動的完整方程組+單值性條件描述某一特定流動。第20頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四3. 伯努利方程 (Bernoulli)理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程由理想流體歐拉運動微分方程是穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標函數，與時間無關，方程轉換去除t項伯努利（D.Bernouli 17001782）方程的提出和意義第21頁，共32頁，2022年，5月20日，1

8、0點55分，星期四 推導得： Or 伯努利方程微分形式。 說明： 流體質點在微小控制體dxdydz范圍內，沿任意方向流線流動時的能量平衡關系式。第22頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內沿某一根流線；物理意義：揭示了沿某一根流線運動著的流體質點速度，位移和壓強、密度四者之間的微分關系。 第23頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四3.1 伯努利方程積分形式 1.沿流線的積分方程： 設： Or 理想流體微元流束的伯努利方程。 第24頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55

9、分，星期四適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質量力只有重力，且沿某一根流線；任選一根流線上的兩點： （流線變化了則C值變化） 靜止流體：靜止容器內任一點的z 與 P/r 之和為常數。 靜力學方程第25頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四物理意義及幾何意義：z : 單位重量流體所具有的位能NM/N ；（可以看成mgz/mg）P/r : 單位重量流體所具有的壓力能； 物理意義：單位重量流體所具有的動能； 三者之和為單位重量流體具有的機械能。理解：質量為m微團以v運動，具有mv2/2動能，若用重量mg除之得v2/2g第26頁，共32頁，2022年，5月20日，10點

10、55分，星期四理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時，沿流線or無旋流場中流束運動時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數，即機械能是守恒的，且它們之間可以相互轉換 。物理意義：幾何意義：z ：單位重量流體的位置水頭； （距離某一基準面的高度）P/r : 單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭； （具有的壓力勢能與一段液柱高度相當）: 單位重量流體具有的動壓頭or速度水頭,速度壓頭。物理中：質量為m以速度v垂直向上拋能達到的最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。第27頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時可互相轉換。幾何意義：第28頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四3.2 伯努利方程的應用 可求解流動中的流體v、P及過某一截面的流量；以伯努利方程為原理測量流量的裝置。皮托管（畢托管）：測量流場中某一點流速的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道中任一點流速。第29頁，共32頁，2022年，5月20日，10點55分，星期四A點為駐點總壓皮托管：B點：A點前選一點不受玻璃管干擾的點；A-B認為是一條流線。列沿流線AB上兩點的伯努利方程：zA=zB=0PB總=PA=r(H0+