函數(shù)對(duì)稱中心求法分析

1、函數(shù)對(duì)稱中心的求法分析湖北省廣水市第一中學(xué)（432700）劉才干題目函數(shù)f(x)x33x26x7的圖象是中心對(duì)稱圖象，其對(duì)稱中心為_.一、利用定義求對(duì)稱中心剖析依據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，在函數(shù)f(x)圖象上的隨意一點(diǎn)A(x,y)對(duì)于對(duì)稱中心(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)A(x,y)也在函數(shù)f(x)的圖象上.xx2ax2axA(2ax,2by)，y，即y2b.y2by代入函數(shù)式有：2byf(2ax)(2ax)33(2ax)26(2ax)7,化簡得：yx3(36a)x2(12a212a6)x(2b78a312a212a)，與f(x)x33x26x7是同一函數(shù)，則對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，36a3故12a212a66，a1，

2、b3，即函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(1,3).2b78a312a212a7評(píng)論利用中心對(duì)稱的定義求解是基本方法，觀察基本觀點(diǎn)，經(jīng)過同一函數(shù)的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等建立方程解出對(duì)稱中心.二、巧取特別點(diǎn)求對(duì)稱中心剖析在函數(shù)f(x)的圖象上取點(diǎn)(1,3)、(2,1)，它們對(duì)于對(duì)稱中心(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)分別為(2a1,2b3)、(2a2,2b1)也在函數(shù)f(x)的圖象上.2b3(2a1)33(2a1)26(2a1)75a3)0，2b1(2a2)33(2a2)26(2a2)，相減則6(2a27a1或a3.又若對(duì)稱中心為(3,1)，則(0,7)對(duì)于(3,1)的對(duì)稱點(diǎn)(3,9)應(yīng)在函2b3b122數(shù)圖象上，而f(3)1

3、19，(3,1)不是對(duì)稱中心，故對(duì)稱中心為(1,3).2評(píng)論這里奇妙地在函數(shù)圖象上取兩個(gè)特別點(diǎn)，建立對(duì)于對(duì)稱中心坐標(biāo)的方程，解出對(duì)稱中心，但要注意由特別點(diǎn)求出的解能否也知足一般的點(diǎn)，所以還要持續(xù)查驗(yàn)，清除增解.三、巧構(gòu)奇函數(shù)求對(duì)稱中心剖析把函數(shù)yf(x)變形為y3(x1)33(x1)，設(shè)函數(shù)yg(x)x3x，yg(x)為奇函數(shù)，其對(duì)稱中心為O(0,0)，又將函數(shù)yx3r(1,3)平x的圖象按向量a移恰好獲得y3(x1)33(x1)，yf(x)的對(duì)稱中心是由yg(x)的對(duì)稱中心r3)平移獲得的，即為(1,3)yf(x)的對(duì)稱中心為(1,3)O(0,0)按向量a(1,評(píng)論這里奇妙地結(jié)構(gòu)奇函數(shù)，將原函數(shù)看作是由奇函數(shù)平移獲得的，利用奇函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，這樣原函數(shù)的對(duì)稱中心就是由奇函數(shù)的對(duì)稱中心按向量平移獲得的.四、巧用導(dǎo)函數(shù)求對(duì)稱中心剖析如右圖示，若函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(x0,y0)，且點(diǎn)(x1,y1)y和點(diǎn)(x2,y2)是函數(shù)圖象上對(duì)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩點(diǎn)，由對(duì)稱性知，函數(shù)在x1，x2處的切線斜率相等，設(shè)斜率為k，則f(x)3x26x6k，Ox1x0 x2x3x26x6k0的兩根為x1，x2，則x1x222x0，x01.又y0f(x0)f(1)3.函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(1,3).評(píng)論這里充分利用對(duì)稱中心的性質(zhì)