高等量子力學(xué)-第三章-本征矢量和本征值

1、3 本征矢量和本征值3-1 定義3-2 本征矢量的完全性3-3 厄米算符完備組 3-4 無窮維空間的情況厄米算符的本征值問題有兩個(gè)重要的性質(zhì)： （1）厄米算符的本征值都是實(shí)數(shù)。 3-1 定義（3.1） 本征值一般是復(fù)數(shù)，也可以是零。（2）厄米算符屬于不同本征值的兩個(gè)本征矢量相互正交。 設(shè) 那么 又有, 二式相減，得 下面討論屬于同一個(gè)本征值a，厄米算符A有多少個(gè)本征矢量的問題。 本征子空間的維數(shù)s ，稱為所屬本征值的簡(jiǎn)并度。這個(gè)本征值或這組本征矢量稱為是s重簡(jiǎn)并的；而簡(jiǎn)并度為1的情況，通常稱為無簡(jiǎn)并的。 為了指出 s 維本征子空間，只需給出其中一組 s 個(gè)線性無關(guān)的本征矢量即可。有時(shí)人們說某個(gè)

2、本征值只有一個(gè)本征矢量或有s 個(gè)本征矢量，實(shí)際都是指一個(gè)或 s 個(gè)線性無關(guān)的本征矢量。定理： 若A和B 兩算符相似，即對(duì)于有逆算符R 有則A和B有相同的本征值譜，而且每一本征值都有相同的簡(jiǎn)并度。設(shè)已知A的全部本征值和相應(yīng)本征矢量；即 證明：3-2 本征矢量的完全性 希爾伯特空間中的厄米算符的全部線性無關(guān)的本征矢量，構(gòu)成這個(gè)空間中的正交歸一完全集，亦即構(gòu)成這個(gè)空間的一組基矢。下面我們對(duì)有限維空間的情況給出一個(gè)證明。定理 在有限維空間中，厄米算符的全部本征矢量構(gòu)成正交完全集。A的本征值方程為 可以用它們作為這個(gè)空間的一組基矢。 對(duì)于無窮維希伯特空間，厄米算符具有離散本征值的情況，雖然沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)上

3、的一一證明，在物理上總是認(rèn)為，厄米算符的全部線性無關(guān)的本征矢量，可以構(gòu)成此空間的完全集, 進(jìn)行正交化后，完全性關(guān)系成立，寫成通常的下標(biāo)形式，有： 在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去確定一組基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“構(gòu)造”一個(gè)希爾伯特空間，其原因就在這里。 厄米算符A，本征值不論有無簡(jiǎn)并，本征矢量的集合構(gòu)成此空間的一組正交歸一完全集 , 在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去確定一組基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“構(gòu)造”一個(gè)希爾伯特空間，其原因就在這里。3-2 本征矢量的完全性3-3 厄米算符完備組 對(duì)于一個(gè)希爾伯特空間，每一個(gè)厄米算符的全部線性無關(guān)的本征矢量，都可以用來構(gòu)成空間的基矢，即

4、正交歸一化完全集，這使我們能夠得到一些有物理意義的基矢，給量子力學(xué)的討論帶來方便。 但是，當(dāng)這個(gè)厄米算符的本征值有簡(jiǎn)并時(shí)，對(duì)應(yīng)于這一本征值的本征矢量的數(shù)目與簡(jiǎn)并度相同，這時(shí)，由本征矢量所確定的基矢不是唯一的，在簡(jiǎn)并的子空間中可以有多種選擇，這一小節(jié)的任務(wù)就是要消除這一不確定性，我們可以通過再取一個(gè)厄米算符去把本征子空間中的基矢確定下來。首先給出一個(gè)定理。定理 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)厄米算符互相對(duì)易時(shí)，它們有一組共同的本征矢量完全集。 于是同樣下面分兩種情況：上述矢量成為B的本征矢量的條件是當(dāng)b沒有等根時(shí)，所得的共同本征矢量完全集就是完全確定的。共同本征矢量的完全性關(guān)系簡(jiǎn)寫成 3-4無窮維空間的情況 以上我們對(duì)有限維空間作了較完整的討論，但是在量子力學(xué)中更多見到的是無窮維的矢量空間。這種空間中厄米算符大體上有兩種，一種是離散的本征值譜，其本征值（以及相應(yīng)的本征矢量）是可數(shù)的無窮多個(gè)；另一種具有連續(xù)的本征值譜，具有不可數(shù)無窮多個(gè)本征值和相應(yīng)的本征矢量。歸一化： （1）離散譜的情況 本征方程：正交歸一化關(guān)系： 完全性關(guān)系： （3.2） 歸一化： （2）連續(xù)譜的情況 本征方程