第講優(yōu)化建模方法

1、2022/9/22數(shù)學建模方法2022/9/22 數(shù)學模型是對實際所研究問題的一種抽象，基于數(shù)學理論和方法，把客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系刻畫出來并用數(shù)學符號、數(shù)學關系式、數(shù)學命題、圖形圖表等來表示的一種表達形式。數(shù)學模型如，牛頓第二 定律：2022/9/22數(shù)學建模過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型表述（歸納）求解（演繹）解釋驗證現(xiàn)實對象與數(shù)學模型的關系2022/9/22機理分析法：以經(jīng)典數(shù)學為工具，分析其內(nèi)部的機理規(guī)律。統(tǒng)計分析法：以隨機數(shù)學為基礎，經(jīng)過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計分析。系統(tǒng)分析法：對復雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的

2、思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。數(shù)學建模方法2022/9/22建立數(shù)學模型的方法層次分析法最小二乘法差分法定性理論法優(yōu)化法變分法回歸分析法機理分析法統(tǒng)計分析法聚類分析法主成分分析法馬爾科夫預測法系統(tǒng)分析法模糊數(shù)學法灰色系統(tǒng)法2022/9/22優(yōu)化方法數(shù)據(jù)擬合方法差分方程方法層次分析方法2022/9/22優(yōu)化模型2022/9/22（一）優(yōu)化模型的數(shù)學描述下的最大值或最小值，其中設計變量（決策變量）目標函數(shù)求函數(shù)在約束條件和可行域2022/9/22“受約束于”之意2022/9/22（1）非線性規(guī)劃目標函數(shù)和約束條件中，至少有一個非線性函數(shù)。2022/9/22（2）線性規(guī)劃（LP）

3、目標函數(shù)和所有的約束條件都是設計變量的線性函數(shù)。2022/9/22（3）二次規(guī)劃問題目標函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束2022/9/22（二）建立優(yōu)化模型的一般步驟1.確定設計變量和目標變量；2.確定目標函數(shù)的表達式；3.尋找約束條件。2022/9/22選址問題聘用雇員問題投資問題產(chǎn)品配比問題指派問題平板車裝箱問題（三）優(yōu)化模型舉例2022/9/22實例1 選址問題 一項工程有 個施工點，已知每個施工點對某種材料的需求為 （單位：噸），施工點的位置坐標為 （以公里記）， 。 現(xiàn)要設立 個料場，已知每個料場這種材料的最大容納量為 (單位：噸)， 。 試確定這n個料場的位置坐標，及各料場向各施

4、工點的材料運量，在保證施工需求的條件下，使材料運輸?shù)目倗嵐镒钚　?022/9/221.確定設計變量和目標變量：2.確定目標函數(shù)的表達式： 設第j個料場的位置坐標為 ，第j個料場向第i個施工點的材料運量為 。 第j個料場到第i個施工點的噸公里數(shù)為 總噸公里數(shù)為2022/9/22（1）施工地點的需求：3.尋找約束條件（2）各料場的最大容量：（3）對運量的自然要求：2022/9/22數(shù)學模型2022/9/22問題： 如果還要求每個施工點的R公里內(nèi)至少有一個料場，數(shù)學模型又如何？2022/9/22 郵局一周中每天需要不同數(shù)目的雇員，設周一至少 人，周二至少 人， ，周日至少 人，又規(guī)定應聘者需連續(xù)工

5、作5天，問郵局每天聘用多少雇員才能既滿足需求，又使聘用總?cè)藬?shù)最少。實例2 聘用雇員問題設郵局周一新聘用雇員為 ，周二新聘用雇員為 ，周日新聘用雇員為 ，則目標函數(shù)為2022/9/22周一周二周三周四周五周六周日2022/9/22數(shù)學模型2022/9/22問題： 上述指全時雇員（每天工作8小時）。如果郵局也可聘用半時雇員（每天工作4小時，也需連續(xù)工作5天）。設全時和半時雇員的工資分別為每小時12元和10元，并且限制半時雇員的工作量不應超過總工作量的四分之一，問郵局如何安排聘用方案，使所付工資額最少。2022/9/22數(shù)學模型項目A：若每年初投資一元，則兩年后收回本利共 ；2022/9/22 現(xiàn)有

6、一筆資金 ，今后5年內(nèi)有以下項目的投資可供選擇，問如何確定每年初這些項目的投資，使5年末的本利總額最大。實例3 投資問題項目B：只能在第2年初投資，第五年末收回本利的 倍，但投資額不能小于 ；項目D：每年初可購1年期債券，利率為 。項目C：只能在第3年初投資，第五年末收回本利的 倍，但投資額不能超過 ；設 分別表示第 年初這四個項目的投資額，第1年初，第1年末，第2年初，第2年末，第3年初，第3年末，第4年初，第4年末，第1年初，第1年末，第2年初，第2年末，第3年初，第3年末，第4年初，第4年末，第5年初，第5年末，2022/9/22 某廠生產(chǎn) 種飼料 ，它們均由 種原料 配合而成， 在 中

7、含量（百分比）的上限為 ，下限為 。若 的售價為 （元/千克）， 的成本為 （元/千克）， 的供應量不超過 ，其中實例4 產(chǎn)品配比問題 試確定各種飼料的產(chǎn)量及其原料配比，使工廠的利潤最大。 設 飼料的產(chǎn)量為 ， 在 中的比例為 。2022/9/22建模 設 飼料的產(chǎn)量為 ， 在 中的比例為 。1.確定設計變量和目標變量：2.確定目標函數(shù)的表達式：利潤= 總收入總成本 中 的含量：2022/9/22（1）原料供應的約束：3.尋找約束條件（2）原料含量的約束：2022/9/22數(shù)學模型2022/9/22練習 指派問題 設有n項任務要分給n個人完成，每人完成一項。由于每個人的專長不同，完成任務所需的

8、成本也不同。若第 i 個人完成第 j 個問題的成本為 Cij，見下表。問題是：如何分配這些工作任務，使總成本為最小。2022/9/22 工作人員 12345112797928966637171214941514661054107109表：每個人員的成本 2022/9/22s.t.數(shù)學模型 每輛平板車有10.2米長的地方裝箱（像面包片那樣），載重40噸。由于貨運限制，對 三種包裝箱的裝載有如下特殊要求：它們所占的空間（厚度）不得超過302.7厘米。試把包裝箱裝到平板車上，使浪費的空間最小。2022/9/22 要把7種規(guī)格的包裝箱裝到兩輛鐵路平板車上去，箱子的寬高相同，而厚度和重量不同，下表給出它

9、們的厚度、重量與數(shù)量。討論 平板車裝箱問題厚度t（厘米）48.752.061.372.048.752.064.0重量w（千克）200030001000500400020001000數(shù)量n8796648可見，所有包裝箱的厚度為27.495米，而兩輛包裝箱共有20.4米長的地方，顯然不能全部裝下。這就需要我們優(yōu)化。設包裝箱 裝到平板車1,2的數(shù)量分別為 厚度函數(shù)： 目標函數(shù)： 約束條件： 厚度約束 重量約束 數(shù)量約束 特殊約束 數(shù)學模型： 整數(shù) 2022/9/22年 份 題 目2004 年A題：發(fā)現(xiàn)黃球并定位B題：實用下料問題C題：售后服務數(shù)據(jù)的應用D題：研究生錄取問題2005年A題：Highwa

10、y Traveling time Estimate and Optimal RoutingB題：空中加油C題：城市交通管理中的出租車規(guī)劃 D題：倉庫容量有限條件下的隨機存貯管理 2006年A題：Ad Hoc網(wǎng)絡中的區(qū)域劃分和資源分配問題B題：確定高精度參數(shù)問題C題：維修線性流量閥時的內(nèi)筒設計問題D題：學生面試問題2004年-2012年全國研究生數(shù)學建模競賽題目2022/9/22年 份 題 目2007年A題：建立食品衛(wèi)生安全保障體系數(shù)學模型及改進模型的若干理論問題B題：機械臂運動路徑設計問題（機器人技術(shù)問題）C題：探討提高高速公路路面質(zhì)量的改進方案D題：郵政運輸網(wǎng)絡中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度2008

11、年A題：汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪問題B題：城市道路交通信號實時控制問題C題：貨運列車的編組調(diào)度問題D題：中央空調(diào)系統(tǒng)節(jié)能設計問題2004年-2012年全國研究生數(shù)學建模競賽題目2022/9/22 年 份 題 目2009年A題：我國就業(yè)人數(shù)或城鎮(zhèn)登記失業(yè)率的數(shù)學建模B題：槍彈頭痕跡自動比對方法的研究C題：多傳感器數(shù)據(jù)融合與航跡預測D題：110警車配置及巡邏方案（論文研讀1）2010年A題：確定腫瘤的重要基因信息B題：與封堵潰口有關的重物落水后運動過程的數(shù)學建模C題：神經(jīng)元的形態(tài)分類和識別D題：特殊工件磨削加工的數(shù)學建模2011年A題：基于光的波粒二象性一種猜想的數(shù)學仿真B題：吸波材料與微波暗室問題的數(shù)學建模C題：小麥發(fā)育后期莖稈抗倒性的數(shù)學模型D題：房地產(chǎn)行業(yè)的數(shù)學建模2022/9/22 年