2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標?。ê馕霭妫?/h1>

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1、2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）（含解析版）2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）（含解析版）2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）（含解析版）2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標含解析版未經(jīng)允許 請勿轉載 201年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標一、選取題共12小題,每題5分，滿分60分1.5分設復數(shù)z滿足=，則z=A1B.CD22.分in20os10cos16sin10 A.B.C.D3.分設命題p:N,2n,則為 A.N，2n BN,n22n N,22 nN,2=2未經(jīng)許可 請勿轉載5分投籃測試中，每人投3次,至少投中次才能通過測試.已經(jīng)知道某同學每

2、次投籃投中的概率為.6，且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為未經(jīng)許可 請勿轉載A.648B.0.32C.036D.0.31255分已經(jīng)知道0,y0是雙曲線：=上的一點,F1，F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點，若0,則y的取值范圍是未經(jīng)許可 請勿轉載.BC.D.65分九章算術是我們國家古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:今有委米依垣內角，下周八尺,高五尺問：積及為米幾何？“其意思為:在屋內墻角處堆放米如此圖，米堆為一個圓錐的四分之一,米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少？“已經(jīng)知道1斛米的體積約為1.6立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有未經(jīng)許

3、可 請勿轉載A14斛22斛C36斛D斛75分設D為ABC所在平面內一點，則 ABC.8.5分函數(shù)fx=cosx+的部分圖象如以以下圖,則x的單調遞減區(qū)間為 A.k，k+,kzB2,k+，zCk，k+,.,2k，kz9.5分執(zhí)行如以以下圖的程序框圖,如果輸入的t001，則輸出的n= A56C810分+5的展開式中,x5y的系數(shù)為A.10B.D015分圓柱被一個平面截去一部分后與半球半徑為r組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如以以下圖若該幾何體的表面積為1+0,則r=未經(jīng)許可 請勿轉載B.2C.4D8125分設函數(shù)xex2x1x+a,其中1，若存在唯一的整數(shù)x0使得fx00，an22

4、an4n+3I求an的通項公式:設bn=,求數(shù)列bn的前n項和1.12分如此圖，四邊形ABC為菱形,AB=12，E,F是平面ACD同一側的兩點,B丄平面ACD,DF丄平面 ABCD,E=2DF,AE丄C未經(jīng)許可 請勿轉載證明：平面AEC丄平面求直線AE與直線CF所成角的余弦值.112分某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x單位:千元對年銷售量y單位：t和年利潤z單位:千元的影響,對近8年的年宣傳費i和年銷售量i=1,2，,8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值未經(jīng)許可 請勿轉載xi2xiywyi46563.289.8.6149108表中wi=，根據(jù)散點圖判斷,

5、=a+x與y=c哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型?給出判斷即可，不必說明理由未經(jīng)許可 請勿轉載根據(jù)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;已經(jīng)知道這種產(chǎn)品的年利潤z與x、的關系為z=0.2yx.根據(jù)的結果回答以下問題:i年宣傳費4時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?ii年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)1 v,u2v2.un vn，其回歸線v+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：=,=未經(jīng)許可 請勿轉載.12分在直角坐標系xOy中,曲線C:y=與直線l:y=kaa0交于M，N兩點當=時,分別求在點M和N處的切線方程軸上是否存在點P，使得當k變動時，總

6、有OPM=OPN？說明理由211分已經(jīng)知道函數(shù)fx=x3+ax,=ln當a為何值時,x軸為曲線=f的切線;i用mn,n表示,n中的最小值,設函數(shù)hxinf，gxx，討論h零點的個數(shù).未經(jīng)許可 請勿轉載選修一1:幾何證明選講22.0分如此圖,AB是O的直徑，AC是O的切線,BC交O于點E.若D為AC的中點，證明：DE是O的切線;若A=CE，求AB的大小選修一4:坐標系與參數(shù)方程230分在直角坐標系y中，直線1：x2，圓C:1+y22=1，以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系未經(jīng)許可 請勿轉載求C,C2的極坐標方程;若直線C的極坐標方程為=R,設C2與3的交點為M，N,求CN的面積.選

7、修4一5:不等式選講410分已經(jīng)知道函數(shù)fx|x+1|xa,a0當a=時，求不等式f1的解集;若fx的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標參考答案:：:與試題解析 一、選取題共12小題,每題分,滿分6分1.5分設復數(shù)z滿足i，則|z|= A1B.C.D2【考試點】A:復數(shù)的?！緦ｎ}】11：計算題；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).【分析】先化簡復數(shù)，再求模即可【解答】解:復數(shù)z滿足=,1=iz，z+i=i，z=,|z|=1,故選：A【點評】此題考查復數(shù)的運算，考查學生的計算能力,比較基礎.25分sin2co1co1in10ABC.D.【考試點】P:兩角和與差的

8、三角函數(shù).【專題】56:三角函數(shù)的求值【分析】直接利用誘導公式以及兩角和的正弦函數(shù),化簡求解即可.【解答】解：sn20cos10cos10in0in20os10cs20in10=n=故選：D.【點評】此題考查誘導公式以及兩角和的正弦函數(shù)的應用，基本知識的考查. 3分設命題：nN，n2,則p為 .N,22Bn，n22nCnN,2n.nN,n22未經(jīng)許可 請勿轉載【考試點】J：命題的否定【專題】5L：簡易邏輯【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到結論.【解答】解：命題的否定是：nN，n2n,故選：C.【點評】此題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎分投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能

9、通過測試已經(jīng)知道某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為 未經(jīng)許可 請勿轉載A.648.0.432C.0.36D.0.312【考試點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.【專題】5I：概率與統(tǒng)計.【分析】判斷該同學投籃投中是獨立重復試驗,然后求解概率即可.【解答】解：由題意可知：同學3次測試滿足B3,0.6,該同學通過測試的概率為0.64故選：A.【點評】此題考查獨立重復試驗概率的求法，基本知識的考查 55分已經(jīng)知道Mx0，y0是雙曲線C：=1上的一點,F1，F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點,若0，則y0的取值范圍是 未經(jīng)許可 請勿轉載A.CD

10、【考試點】KC：雙曲線的性質.【專題】1：計算題;5D:圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】利用向量的數(shù)量積公式,結合雙曲線方程，即可確定y的取值范圍【解答】解:由題意，=0，y0 x0，y0=x023y0y010,未經(jīng)許可 請勿轉載所以y0.故選：A.【點評】此題考查向量的數(shù)量積公式,考查雙曲線方程，考查學生的計算能力，比較基礎 .5分九章算術是我們國家古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何？“其意思為:在屋內墻角處堆放米如此圖,米堆為一個圓錐的四分之一，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?“已經(jīng)知道1

11、斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3，估算出堆放的米約有 未經(jīng)許可 請勿轉載A14斛B2斛C36斛66斛【考試點】F:棱柱、棱錐、棱臺的體積.【專題】5F:空間位置關系與距離.【分析】根據(jù)圓錐的體積公式計算出對應的體積即可【解答】解:設圓錐的底面半徑為，則r=，解得r=,故米堆的體積為,1斛米的體積約為1.62立方,16222,故選：B.【點評】此題主要考查椎體的體積的計算,比較基礎.分設D為A所在平面內一點,，則 ABC【考試點】9：平行向量共線.【專題】5A：平面向量及應用【分析】將向量利用向量的三角形法則首先表示為,然后結合已經(jīng)知道表示為的形式【解答】解:由已經(jīng)知道得到如此圖由=;

12、故選:A【點評】此題考查了向量的三角形法則的運用；關鍵是想法將向量表示為. 8.分函數(shù)x=cosx+的部分圖象如以以下圖,則f的單調遞減區(qū)間為 Ak，+，kzB2k,2k+，kzC.k,+，z,k+,k【考試點】H:余弦函數(shù)的單調性【專題】7:三角函數(shù)的圖像與性質.【分析】由周期求出，由五點法作圖求出，可得x的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調性,求得fx的減區(qū)間.未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解:由函數(shù)fx=cosx+的部分圖象,可得函數(shù)的周期為2=2,=，fxcx未經(jīng)許可 請勿轉載再根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點法作圖,可得+=,kz，即=，xcos.由2k+,求得 2k2k+，故fx的單調遞減區(qū)間為，2k

13、+,kz，未經(jīng)許可 請勿轉載故選：.【點評】此題主要考查由函數(shù)y=Asinx+的部分圖象求解析式，由周期求出，由五點法作圖求出的值；還考查了余弦函數(shù)的單調性,屬于基礎題.未經(jīng)許可 請勿轉載 95分執(zhí)行如以以下圖的程序框圖，如果輸入的t=00,則輸出的n= .5.C7.8【考試點】EF:程序框圖【專題】5K：算法和程序框圖.【分析】由已經(jīng)知道中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量n的值,模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案:未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解:第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=,m=，n=1，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m，n2，不滿足

14、退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后,S=,m=,n3,不滿足退出循環(huán)的條件;再次執(zhí)行循環(huán)體后,=，m=,n,不滿足退出循環(huán)的條件;再次執(zhí)行循環(huán)體后,S=,m=,n5，不滿足退出循環(huán)的條件;再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，6，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后,S=，=,=7,滿足退出循環(huán)的條件;故輸出的n值為7,故選:C【點評】此題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時,常采用模擬循環(huán)的方法解答.10分x2+x+y5的展開式中,x5y2的系數(shù)為 A.10B.20C30D.60【考試點】DA：二項式定理.【專題】11:計算題;5P:二項式定理【分析】利用展開式的通項，即可得出結論.【解答

15、】解：x2+x+y的展開式的通項為Tr+1,令=2,則2+x3的通項為=，令6k5,則k=，2+x+y的展開式中,x5y的系數(shù)為=30故選:C.【點評】此題考查二項式定理的運用,考查學生的計算能力,確定通項是關鍵 15分圓柱被一個平面截去一部分后與半球半徑為r組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如以以下圖.若該幾何體的表面積為6+2,則r= 未經(jīng)許可 請勿轉載A1B.2C4.8【考試點】L!：由三視圖求面積、體積【專題】5:立體幾何【分析】通過三視圖可知該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，計算即可【解答】解:由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知,截圓柱的平面過圓柱的軸線,該幾何體是一個

16、半球拼接半個圓柱,其表面積為：4r2+r22rr2r+r22+42，又該幾何體的表面積為6+20，52+=16+20,解得r2，故選：B.【點評】此題考查由三視圖求表面積問題，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 2.分設函數(shù)fx=e2xax+a，其中1，若存在唯一的整數(shù)x0使得fx00，則a的取值范圍是 未經(jīng)許可 請勿轉載A.BD【考試點】1：函數(shù)的零點;:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.【專題】：創(chuàng)新題型;53:導數(shù)的綜合應用.【分析】設=x2x1，y=aa,問題轉化為存在唯一的整數(shù)x0使得gx在直線=xa的下方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值,數(shù)形結合可得ag01且g1=3eaa,解關于a的不

17、等式組可得未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解:設xex2x1，yax，由題意知存在唯一的整數(shù)使得gx在直線y=axa的下方，gxx212ex=x2x+1,當x時，g，直線yaxa恒過定點1，0且斜率為a，故ag=1且g13e1aa，解得a1故選:D【點評】此題考查導數(shù)和極值，涉及數(shù)形結合和轉化的思想，屬中檔題 二、填空題此題共有小題，每題5分.5分若函數(shù)fx=xln+為偶函數(shù),則a=1【考試點】:函數(shù)奇偶性的性質與判斷【專題】:函數(shù)的性質及應用.【分析】由題意可得,ffx,代入根據(jù)對數(shù)的運算性質即可求解【解答】解:fnx為偶函數(shù),fx，xln+=lnx+,l+=x+,lx+x+=，n+x=0,lna

18、=0，1故答案:為：1.【點評】此題主要考查了偶函數(shù)的定義及對數(shù)的運算性質的簡單應用,屬于基礎試題14.5分一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點.且圓心在軸的正半軸上.則該圓標準方程為x2y2= 未經(jīng)許可 請勿轉載【考試點】K3：橢圓的標準方程.【專題】5D:圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用橢圓的方程求出頂點坐標,然后求出圓心坐標,求出半徑即可得到圓的方程.【解答】解:一個圓經(jīng)過橢圓=1的三個頂點且圓心在x軸的正半軸上.可知橢圓的右頂點坐標4，0，上下頂點坐標，2，設圓的圓心a，0，則，解得a=，圓的半徑為：，所求圓的方程為：x2+2.故答案:：:為:x2+y2=【點評】此題考查橢圓的簡單性質的應用

19、，圓的方程的求法，考查計算能力.55分若x,y滿足約束條件則的最大值為 【考試點】7C:簡單線性規(guī)劃【專題】5:不等式的解法及應用【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定的最大值.【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如此圖：陰影部分AB設=，則k的幾何意義為區(qū)域內的點到原點的斜率,由圖象知OA的斜率最大,由,解得,即1，3，kO=3,即的最大值為3.故答案:：為:3.【點評】此題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義以及直線的斜率,利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法未經(jīng)許可 請勿轉載165分在平面四邊形ABD中，=B=C=75BC2，則

20、A的取值范圍是， .未經(jīng)許可 請勿轉載【考試點】H:三角形中的幾何計算.【專題】15:綜合題;2：創(chuàng)新題型;8:解三角形.【分析】如以以下圖,延長B,C交于點E,設A=x,E=x,DE=x,D=，求出xm=+，即可求出AB的取值范圍.未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解：方法一：如以以下圖,延長B，CD交于點E,則在ADE中，AE105，AE=45,E3,設A=，E=x,E=x,CD=，BC=2，x+msin15=，+m+，00,an+an=2,a12+2a=43，a11舍或a1=3，則an是首項為3，公差d=的等差數(shù)列,a的通項公式an=3+2n1=2n1：an2n+1,n=,數(shù)列bn的前n項和n=

21、+=.【點評】此題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決此題的關鍵18.12分如此圖，四邊形ABCD為菱形,C120，E,F是平面ACD同一側的兩點，BE丄平面ABCD,DF丄平面 BC，BE=2F,AE丄EC.未經(jīng)許可 請勿轉載證明：平面AC丄平面AFC求直線AE與直線CF所成角的余弦值【考試點】：異面直線及其所成的角;LY:平面與平面垂直.【專題】5F:空間位置關系與距離;5：空間角；5：空間向量及應用.【分析】連接B，設BDAC=,連接G、EF、FG,運用線面垂直的判定定理得到EG平面F，再由面面垂直的判定定理，即可得到;未經(jīng)許可 請勿轉載以G為坐標原點,分別以GB,

22、GC為x軸,y軸，|B|為單位長度,建立空間直角坐標系Gxyz,求得A,E，F(xiàn),C的坐標,運用向量的數(shù)量積的定義,計算即可得到所求角的余弦值未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解：連接D,設BACG，連接E、EF、G,在菱形BC中,不妨設B=,由C120,可得AG=C=,B平面ABCD，BC=2,可知AE=E,又E，所以=,且EGAC，在直角EBG中,可得BE=，故DF=，在直角三角形FG中,可得FG，在直角梯形BDF中，由BD=，BE,FD=，可得E=,從而E+FG=E,則EGFG，或由tanEGBtanFGD=,可得+FGD=90，則EFGAC=,可得E平面FC，由EG平面C,所以平面EC平面AFC

23、;如此圖,以G為坐標原點，分別以GB，G為x軸,y軸,|GB|為單位長度,建立空間直角坐標系Gxy，由可得0，,0，E1,0，,1,0,0，0，即有=1,，=1，,故co=則有直線AE與直線C所成角的余弦值為.【點評】此題考查空間直線和平面的位置關系和空間角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和異面直線所成的角的求法:向量法,考查運算能力，屬于中檔題未經(jīng)許可 請勿轉載 19.12分某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x單位：千元對年銷售量y單位:t和年利潤z單位：千元的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yii=1，,8數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.未

24、經(jīng)許可 請勿轉載xiw2xiyiwiyi4666.82981.61469108.8表中i=,根據(jù)散點圖判斷，y=+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說明理由未經(jīng)許可 請勿轉載根據(jù)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于x的回歸方程;已經(jīng)知道這種產(chǎn)品的年利潤z與x、的關系為z=x根據(jù)的結果回答以下問題:i年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?i年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大?附：對于一組數(shù)據(jù)1 v,u 2.un ，其回歸線=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:=,=未經(jīng)許可 請勿轉載【考試點】:線性回歸方程.【專題】5I:概率與

25、統(tǒng)計【分析】根據(jù)散點圖，即可判斷出，先建立中間量w=,建立y關于w的線性回歸方程,根據(jù)公式求出w，問題得以解決;i年宣傳費x49時,代入到回歸方程，計算即可,ii求出預報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質,即可求出.【解答】解：由散點圖可以判斷,y=cd適宜作為年銷售量y關于年宣傳費的回歸方程類型；令=，先建立y關于w的線性回歸方程,由于=，=5366.8100.,所以y關于w的線性回歸方程為=100.8w,因此關于x的回歸方程為=10.6+68，i由知,當=49時,年銷售量y的預報值=10.68=576.6,年利潤的預報值=56.0.249=66.32，ii根據(jù)的結果可知,年利潤的預報值=0.10.6

26、68x=x+13.6+202，未經(jīng)許可 請勿轉載當=6.8時，即當=6.2時，年利潤的預報值最大.【點評】此題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是此題的關鍵,屬于中檔題.0.1分在直角坐標系xO中，曲線C:y=與直線l：=x+0交于M，N兩點當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程.y軸上是否存在點，使得當k變動時,總有OMOP？說明理由【考試點】H：直線與圓錐曲線的綜合【分析】聯(lián)立,可得交點,N的坐標,由曲線C:=,利用導數(shù)的運算法則可得：y=,利用導數(shù)的幾何意義、點斜式即可得出切線方程.未經(jīng)許可 請勿轉載存在符合條件的點0，,設P0，b滿足PM=Ox1,x2，,直線PM,P

27、的斜率分別為:k1，k2直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為x4kx4a=0,利用根與系數(shù)的關系、斜率計算公式可得1+k2=.kk20直線PM,N的傾斜角互補OPM=OPN即可證明.未經(jīng)許可 請勿轉載【解答】解:I聯(lián)立，不妨取，N，由曲線C：y=可得：y=,曲線C在M點處的切線斜率為=,其切線方程為：y=,化為同理可得曲線C在點N處的切線方程為:.I存在符合條件的點0,下面給出證明:設P0，b滿足OP=P.Mx1,Nx2,y2，直線PM,N的斜率分別為：k1,k2未經(jīng)許可 請勿轉載聯(lián)立,化為x24k4a=0,xx=4k，x1x2=4k2+=當=a時,k1+k2=0，直線PM，P的傾斜角互補,OM=OPN點，a符合條件【點評】此題考查了導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題未經(jīng)許可 請勿轉載21.12分已經(jīng)知道函數(shù)f=3+a+，ln當a為何值時，x軸為曲線yx的切線；ii用mnm,n表示m,n中的最小值，設函數(shù)hx=minfx，gxx0，討論hx零點的個數(shù)未經(jīng)許可 請勿轉載【考試點】6E:利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【專題】:創(chuàng)新題型;53：導數(shù)的綜合應用.【分析】f=2.設曲線y=x與x軸相切于點x0,0,則fx=0,f0解出即