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1、高三數(shù)學(xué) 特殊數(shù)列求和,數(shù)列極限的意義及運算,數(shù)列極限的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法,歸納 猜想,證明 學(xué)問精講 一. 特殊數(shù)列求和: 1. 概念: 這里所指的“特殊數(shù)列”是指中學(xué)階段能夠求和的數(shù)列,包括:等差,等比數(shù)列,常 數(shù)列,自然數(shù)列,自然數(shù)的平方數(shù)列,自然數(shù)的立方數(shù)列,項部分相消數(shù)列等;數(shù)列求和, 就是通過一些手段將數(shù)列轉(zhuǎn)化為上述這些特殊數(shù)列而達到求和的目的; 2. 常用求和公式 ( 1)等差: Sn na1 an na1 nn 1 d22na 1 q 1 ( 2)等比: Sn a 1 n q q 1 1qn1nn 1 ( 3) i2i 1 ( 4) ni2nn 1 2n 1 i 1 6( 5)
2、ni3nn 21 2 i 1 3. 常見數(shù)列求和的方法大致有五種如: 直接由求和公式求和 (如等差, 等比數(shù)列的求和) , 裂項分組求和,裂項相消求和,錯位相減求和,倒序相加求和; ( 1)在求等比數(shù)列前 n 項和 Sn 時,確定要留意分清公比 q 1 仍是 q1; ( 2)裂項法的關(guān)鍵是爭論通項公式,裂項的目的是轉(zhuǎn)化成幾個等差或等比數(shù)列或自然 數(shù)的平方組成的數(shù)列求和,或者正,負相消; ( 3)錯位相減法求和, 主要用于一個等差與一個等比數(shù)列相應(yīng)項相乘所得的數(shù)列求和; ( 4)含有組合數(shù)的數(shù)列求和,留意考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)公式求和或利用倒序相加求 和; ( 5)三角函數(shù)求和考慮裂項相消求和或利
3、用復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和; 學(xué)習(xí)時,仍要留意歸納總結(jié)一些常見類型的數(shù)列求和方法; 二. 數(shù)列極限的意義及運算 1. 數(shù)列極限的概念 對于數(shù)列 an ,假如存在一個常數(shù) A ,無論預(yù)先指定多么小的正整 都能在數(shù)列中找 到一項 a N 使得這一項后面的全部項 an 與 A 的差的確定值都小于 ,(即當 n N 時,恒 有 |an A| 成立),就把常數(shù) A 叫做數(shù)列 an 的極限,記作: n lim a n A ; 2. 數(shù)列極限概念的懂得 懂得數(shù)列極限的概念要留意以下幾點: ( 1)A 與 n 無關(guān),A 與 無關(guān),A 與 N 無關(guān);A 是否存在以及 A 的值確定, 由數(shù)列 an 來準備; ( 2
4、)N 與 n 無關(guān), N 與 有關(guān),一般來說, 的值不同, N 也不同;另一方面 N 并不 第 1 頁,共 10 頁惟一, 由于假如 N 具有該性質(zhì), 考察數(shù)列的極限時并不需要找出 ( 3)定義的核心是“對一切 那么 N 1, N2 , , N k k N 都具有該性質(zhì), N 的最小值; nN ,都有 |an A| ”這個不等式成立,也就是有 A an A ,這里“ 0 ”是“任意預(yù)先給定”而不是“存在”一個 0 ; ( 4)有窮數(shù)列無極限,數(shù)列極限的爭論對像是無窮數(shù)列; ( 5)不是全部的無窮數(shù)列都有極限;假如一個數(shù)列有極限,那么其極限也只有一個; 3. 數(shù)列極限四就運算 p 4. 假如 l
5、im an nA, lim bn nB ,那么 ( 1) lim a n nb A B ( 2) lim a b nA B ( 3) lim nan A B B 0 bn( 4) lim c nan c A ( c 為常數(shù)) k ( 5) lim a nk A ( k 為常數(shù)) 幾個常用極限及其應(yīng)用 ( 1) lim c nc( C 為常數(shù)) ( 2) n lim 10n0 1 q 1 ( 3) lim q nn1q 1 無 |q| 1 或 q 1 0m ( 4) lim nm a0 n m 1 a1 n am a 0 m p b 0n p p 1 b n apb0無 m p( 5) lim
6、an nlim an 1 (無窮數(shù)列) n三. 數(shù)列極限的應(yīng)用 1. 數(shù)列的各項和的概念 無窮數(shù)列各項的和,它的實質(zhì)是前 n 項和 Sn 的極限; 0 ),要留意公式的含義及適 2. 無窮遞縮等比數(shù)列的各項和公式 S a1| q| 1 1q3. 無窮遞縮等比數(shù)列各項和存在的充要條件是 |q| 1( q 用范疇; 4. 綜合運用 ( 1)化循環(huán)小數(shù)為分數(shù),基本方法是轉(zhuǎn)化為無窮遞縮等比數(shù)列的各項和; ( 2)求某些特殊數(shù)列的各項和; ( 3)與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用問題; 第 2 頁,共 10 頁基本解題思路是:第一結(jié)合圖形分析相鄰圖形的依靠關(guān)系,論證所求問題可否組成一 個無窮等比數(shù)列,且公比確定值小
7、于 1,然后代入運算; 四. 數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是: ( 1)證明當 n 取第一個初始值 ( 2)假設(shè)當 n k k N且 k 成這兩個步驟后,就可以確定命題對從 n0 (例如 n 0 1, n0 2 等)時,結(jié)論正確; n0 時結(jié)論正確,證明當 n k 1 結(jié)論也正確;在n n0 開頭的全部的自然數(shù) n 都正確; 完 上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ),其次步是遞推的依據(jù),兩者缺一不行; 五. 歸納,猜想,證明 1. 懂得歸納法的意義 由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方 法通常叫做歸納法; 2. 懂得不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法之間的關(guān)系 本節(jié)是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法
8、并 舉,簡潔而快速的運算是抽像的前提,常見的等 差,等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是抽像的橋梁,而運用數(shù)學(xué)歸納證明才是抽像的歸宿; 3. 把握歸納推理的思維方法 求解某些數(shù)學(xué)問題而不能直接找到解題途徑,可先考查幾 個連續(xù)的初始特例;歸納出 規(guī)律,猜想結(jié)論,這是關(guān)鍵,規(guī)律的發(fā)覺要憑借體會,有時仍要合理變形; 例 1. ( 2022全國) a,4, 3a,前 n 項和為 Sn , Sk 2550 已知等差數(shù)列前三項為 ( 1)求 a 及 k 的值; ( 2)求 lim n111a, a2 4, a 3 3a S1 S2 Sn 解析:( 1)設(shè)等差數(shù)列為 an ,就 a1 Sk 2550 由已知有 a3a 2
9、4解得 a 1 a2公差 d a 2 a1 2代入公式 Sk k a1 k k 1 d得: 22k k k 1 22整理得 k k 22550 2550 0k 50, k 51 (舍去 k N) 故 a 2, k 50 ( 2)依據(jù)( 1)的結(jié)果及等差數(shù)列求和公式可求得 第 3 頁,共 10 頁Sn nn 1 1 1 1 1Sn nn 1 n n1S1 1S2 1Sn 1 1 1 2 1 2 13 1n n 11 1n 1 1lim n Sn 1 S2 1Sn 1 1例 2. ( 1994 全國理 25) 設(shè) an 是正數(shù)組成的數(shù)列, 其前 n 項和為 Sn ,并且對全部自然數(shù) n, an 與
10、 2 的等差中 項等于 Sn 與 2 的等比中項; ( 1)寫出數(shù)列 an 的前三項; ( 2)求數(shù)列 an 的通項公式(寫出推證過程); ( 3)令 bn 1 an 2 an 1an an 1 n N ,求 lim b1 n b2 bn n an 2 解:( 1)由題意 2 S , a n 02令 n 1 時, a1 22S1 , S1 a1 2解得 a1 2a2 2令 n 2 時,有 2S2 , S2 a1 a2 2解得 a 2 6令 n 3 時,有 a 3 22 S , S 3 a 1 a 2 a 32解得 a 3 10 故該數(shù)列的前三項為 2, 6, 10 ( 2)解法一: 由( 1)
11、猜想數(shù)列 an 有通項公式 an 4n 2 ; 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 an 的通項公式是 an 4 n 2n N 1 當 n 1 時,由 4 1 2 2 ,又在( 1)中已求得 a1 2 ,所以上述結(jié)論正 確; 于 2 假設(shè) n k 時,結(jié)論正確,即有 ak 4 k 2ak 2由題意有 2 S 得 a k 4k 2 代入上式,得 2k 2S k 22解得 Sk 2 k 由題意有 a k 1 22S k 1,S k 1 S k a k 1 2得 Sk 2k 2 代入得 ak 12 2 2 2 ak 1 2 k 2 2 2整理 a k 1 4ak 1 4 16 k 0由于 ak 1 0 解得
12、ak 1 2 4 k 第 4 頁,共 10 頁所以 ak 124k 4 k 1 22 2 這就是說 n k 1 時,上述結(jié)論成依據(jù) 1 , 2 上述結(jié)論對全部自然數(shù) n 成立; 解法二:由題意有 an222S n Z 整理得 Sn 1an 2 2 8由此得 Sn 11an 12 2 8所以 an 1Sn 1Sn 1 an 12 2 an 8整理得 an 1an an 1an 4 0由題意知 an 1an0所以 an 1an 4 即數(shù)列 an 為等差數(shù)列 其中 a1 2 ,公差 d 4所以 an a1 n 1 d 2 4n 1 即通項公式 an 4n 2( 3)令 cn bn 1 ,就 cn 1
13、 2 an 1an 2 an an 11 2n 1 2 2n 11 2n 11 2n 1112n 12n 1 b1 b2 bn n c1 c2 cn 1 1 3 1 31111 1 52n 2n 11112n 所以 lim b1 nb2 bn n lim 1 n112n 說明:該題的解題思想是從所給條件動身,通過觀看,試驗,分析,歸納,概括,猜 想出一般規(guī)律,然后再對歸納,猜想的結(jié)論進行證明,對于自然數(shù) n 的命題,可以考慮用 數(shù)學(xué)歸納法進行證明,該題著重考查了歸納,概括和數(shù)學(xué)變換的才能; 例 1. 某城市 20XX 年末汽車保有量為 30 萬輛,估量此后每年報廢上一年末汽車保有量 的 6%,
14、并且每年新增汽車數(shù)量相同,為愛惜城市環(huán)境,要求該城市汽車保有量不超過 60 萬輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛? 輛 解: 20XX 年末汽車保有量為 b1 萬輛,以后各年末汽車保有量依次為 ,每年新增汽車 x 萬輛,就 b1 30 ,b2 b1 0.94 x ,對于 nb2 萬輛, b3 萬 1 ,有 第 5 頁,共 10 頁bn 1bn x x b1 30 bn 121 0.94x bn 1b1 nx1 n1b1 n1nx x 30 x n當 30 x 0 ,即 x 1.8 時, bn 1bn x 當 30 0 ,即 x 1.8 時 lim bn nlim nx 30 x n 1 0
15、.94 并且數(shù)列 bn 逐項增加,可以任意靠近 x 因此,假如要求汽車保有量不超過 60 萬輛,即 bn 60n 1, 2 , 3, 就 x 60 ,即 x (萬輛) 綜上,每年新增汽車不應(yīng)超過 萬輛 例 3. ( 2022 天津理 22) a1 已知 an 是由非負整數(shù)組成的數(shù)列,中意 3, 4, 5 0 , a 2 3, an 1 an an 12 an22, n ( 1)求 a 3 ; ( 2)證明 an an 22 , n 3, 4 , 5 ( 3)求 an 的通項公式及其前 n 項和 Sn ; 解:( 1)由題意得 a3 a4 10 且 a 3, a4 均為非負整數(shù) 所以 a 3 的
16、可能的值是 1, 2, 5, 10 3如 a3 1,就 a4 10, a 5 與題設(shè)沖突; 235 如 a3 5 ,就 a4 2, a5 與題設(shè)沖突; 23如 a3 10, a 4 1, a5 60, a 6 與題設(shè)沖突; 5所以 a 3 2( 2)用數(shù)學(xué)歸納法證明; 當 n3, a 3 a1 2 等式成立; ak a k 22假設(shè)當 nk k 3 時等式成立,即 由題設(shè) ak 1ak ak 12 ak 22 由于 ak 1ak 21220所以 ak 12 成立 ak 也就是說當 nk 1 時,等ak 1ak 式 第 6 頁,共 10 頁由( 1)( 2)得對于全部 n3 ,有 an 1an
17、122 , a2 3( 3)由 a 2k 1 a2 k 1 2 , a 10 及 a 2k a2 k 1 得 a2 k 12k 1, a2 k 2 k 1, k 1, 2 , 3, 即 an nn 1 , n 1, 2 , 3, 所以 Sn 1 2n n 1 ,當 n為偶數(shù) 1 n n 21 1, 當 n為奇數(shù) 說明:此題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前 決問題的才能; n 項和等基礎(chǔ)學(xué)問,以及精確表述,分析和解 1. 設(shè)數(shù)列 an 中意: a1 a2 1, a 3 2 , an an 1 an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3, 100 n 1 ,且 an an 1 an 2 1 對
18、一切 n 都成立,試求: S100 ai 之值; i12. 已知數(shù)列 an 的首項 a1 3 ,且對任意自然數(shù) n 都有 2n n 1 ; an an 1( 1)求 an ; 1( 2)設(shè) bn a1 a2 a3 an ,求數(shù)列 bn 的前 n 項和; 13. 設(shè) an 為無窮等比數(shù)列且 lim n a 2 a 3 an 4,就首項 a1 的取值范疇是 ( ) A. , 2 1 B. 0, 1 1C. , 0 D. , 0 , 2 24. 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ,且 Sn 1 an 2 2 ,如 b n 1 n S n ; ( 1)求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Tn 的表達
19、式; ( 2)如 lim bn 的極限存在,試求此極限; n T n1 15. 設(shè)正數(shù)數(shù)列 an 的前 n 項的和為 Sn ,通項為 an ,且知 Sn 2 anan ,用數(shù)學(xué)歸 納法證明: an nn12 ,且 an 121n N6. 已知數(shù)列 an 中意 a1 b, b an ( 1)試將 an 表示為 b 的函數(shù); ( 2)試求 lim a a a n 3 a 第 7 頁,共 10 頁1. 由已知條件有:對任何 參考答案 n 1, an an 1 an 2 an 3an an 1an 2an 31 8 而 an 1 an 2 an 3 an 4 an 1an 2an 3an 4 2 a1
20、 a 2 a 3 a 4 1 2 得 an 1 an 2 an 3 an an 4 an an 4即 an an 4 an 1an 2 an 31 0而由已知 an 1an 2 an 3 1 知 an 4an n 1 即 an 是以 4為周期的數(shù)列,又一個周期內(nèi)各項之值 100 25 4 故 S100 25 8200 2. ( 1)由已知得 an an 121 1 2 n1n n n1a2 a1 a1 3an an 1 an 1an 2 2 1 nn1 1 11 1 21 n 1 n2n2n( 2)由于 a1a 2a 3 an 345n1nn21 21 n 23n11n 2 所以 bn n 22 1 2 n1n121 n 所以 Sn b1 b2 bn 1 2 21 3 11 4 11 3n1n2nn2 3. D lim a 2 na3 a4 11| 14 an 的公比 |q| 1a2 101 | 4a1 1q4a1q 即 1q1 4q114a1 解得 a1 1或 a1 2應(yīng)選 D4. ( 1) Tn n 1 nn 1 2第 8 頁,共 10 頁( 2) 2 2 0略解:( 1)由 a1 S1 1 a1 22 得 a1 1設(shè) an 的公差為 d,就 S2 1 a 2 2 得 d 2 或 d2如 d2 ,就 a3 12 2 3, S2
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