高一數(shù)學上期三角函數(shù)恒等變換知識歸納與整理

1、三角函數(shù)恒等變換學問歸納與整理 一、基本公式 1、必需把握的基本公式（1） 兩角和與差的三角函數(shù)CCCSS同名乘積的和與差S SCCS異名乘積的和與差TT 1TT T（2） 二倍角的三角函數(shù)S 22 SC2C21122 S差點等于 1 C2C22 ST22 T1 T2（3） 半角的三角函數(shù)S 21C 2T21sin1cosC21C 2T21C C1cossin2、懂得記憶的其他公式（1） 積化和差CC11CC同名相乘用余弦；2SSC-C異名相乘用正弦；2留首項,用加法；SC1S S 剩尾項,用減法；2CS1S S 2第 1 頁 共 23 頁（2） 和差化積SS2S2C2正弦加減得異名；SS2S

2、2C2余弦加減得同名；CC2 C2C22加法得 2 倍首項；減法得 2 倍尾項；CC2S2S（3） 萬能公式全部用正切來表示另外的三角函數(shù)稱為萬能公式SCT2 T21T221T221T222 T21T22（4） 幫助角公式asinxbcosxa2b2sinx其中：tanba常見的幾種特殊幫助角公式：sinxcosx2sinx4sinx3cosx2sinx33 sinxcosx2sinx6sinxcosx2sinx4sinx3cosx2sinx33 sinxcosx2sinx6第 2 頁 共 23 頁二、懂得證明 1、兩個基本公式的證明CCCSS的證明方法：在單位圓內(nèi)利用兩點間的距離公式證明；運

3、算紛雜；在化簡中留意使用“sin22 cos1”S的證明方法：CCCS在單位圓內(nèi)利用向量的數(shù)量積證明；運算簡便；運用向量數(shù)量積與兩向量的 夾角關系來證明；或者：在單位圓內(nèi)利用三角函數(shù)線證明；平移來代換；2、由兩角和向差的演化構(gòu)圖較難； 利用三角函數(shù)線的加減、方法：用代替,代入兩角和的公式即可推導出兩角的差公式；3、由余弦向正弦的演化方法：用誘導公式把余弦轉(zhuǎn)化為正弦：cos 2sin,綻開即可推導出正弦的兩角的和公式；4、由正弦和余弦推導正切方法：利用：sintan可以推導出正切的兩角和與差有的公式；cos5、由兩角和推導二倍角方法：把換成代入兩角和的公式,即可得到二倍角的三角函數(shù)公式；6、由余

4、弦的二倍角推導半角2 2 2 2方法：由余弦的二倍角公式：C 2 C S 2 C 1 1 2 S,把 2 換成,即 換成,通過移項,整理,開方即得正弦、余弦的半角公式；然2后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式；另外：關于正切的另一個半角公式：T 2 1 sincos 1sin cossin可以通過：tan 2 來懂得；特殊體會其演化過程中的轉(zhuǎn)化思想：分子、2 cos2分母同時乘一個式子,向二倍角靠攏！然后再利用二倍角化簡；第 3 頁 共 23 頁7、由兩角的和與差推導積化和差方法：整體摸索法：兩角的和與差的和差必定會相互抵清一些項；相加會抵消尾項,相減會抵消首項；這與完全平方的和與差的加減類

5、似；ab2ab 2會抵消中間項,剩下首尾項的 2 倍；而ab 2ab 2會抵消首尾項,剩下中間項的2 倍；8、由兩角的和與差推導和差化積方法：對于兩角和差的和與差來說,化成積并不難；利用綻開相抵原就即可得到；關鍵是角度的轉(zhuǎn)換問題；只有一個角無法綻開；因此引入了一個合新的角度變換方法： 把單角：和 轉(zhuǎn)換成兩角的和與差：,2 2；于時可以利用和差綻開相抵原就得到和差化積的目的；2 29、萬能公式的懂得方法：利用二倍角公式轉(zhuǎn)換：sin 2 sin cos,然后把分母“1” 奇妙利2 22 sin cos用；sin 2 2,這種思路在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化中應用特別廣泛；值12 sin cos 2 sin c

6、os得高度關注；sin 2 2 2 2,然后上下再同時除以1 2 2sin 2 cos 22cos 2 即得；2 2同樣利用二倍角公式轉(zhuǎn)化余弦：cos cos 22 sin 22 = cos 2sin1 22 2再奇妙利用“1” 的轉(zhuǎn)化：cos2 2 sin2 2,上下同時除以 cos 22 即得；sin 2 cos 2對于正切的萬能公式,直接利用二倍角公式即得；10、幫助角公式的懂得方法：幫助角公式實際上是兩角和與差的逆運算；只是通過一些轉(zhuǎn)換化成：sincoscossin的形式而已；對于asinxbcosx來說：要通過換元法來轉(zhuǎn)換,這種換元法叫三角換元法 以前的換元法叫代數(shù)換元法 ；三角換元

7、法是一種特別奇妙的換元方法,利用它能把兩個毫不相干的變量聯(lián)系起來,從而得到簡化式子的作用；分析摸索過程如下： 假設直接換元： 令 cosa ,就怎樣用三角函數(shù)式表示b第 4 頁 共 23 頁呢？無法完成換元過程,因此：asinxbcosx化不成sincoscossin的形式；假設提公因式呢！假設公因式為 ab ,就得：a sin x b cos x ab 1sin x 1 cos x ,此時令 cos 1,也無法用三角b a b函數(shù)表示出 1 ,因而化不成：sin cos cos sin 的形式；a所以公因式必定與 a 、 b 同時有聯(lián)系；考慮到三角函數(shù)的產(chǎn)生環(huán)境,我們不妨將常數(shù) a 、b 放

8、到直角三角形中來摸索：假設a 、 b 分別是直角三角形的兩2 2 2 2直角邊,得斜邊為：a b；這個常數(shù) a b 明顯與 a 、 b 都有關系；2 2假設公因式是 a b,就 a sin x b cos x 化為：a sin x b cos x a 2b 22 a2 sin x2 b2 cos x a b a b此時令2 a2 cos此時在直角三角形中, a 為鄰邊,a 2b 2為斜邊a b所以：2 b2 sin此時在直角三角形中,b 為對邊,a 2b 2為斜邊a b于是 a sin x b cos x 化為：2 2a sin x b cos x a b cos sin x sin cos

9、x 依據(jù)兩角和的正弦公式得：asinxbcosxa2b2cossinxsincosx=a2b2sinx角在直角三角形中：tanb對邊：鄰邊a當然：假設令aab2sin,就ab2 bcos22就于是asinxbcosx化為：asinxbcosxa2b2sinsinxcoscosx=a22 bcos x所以：asinxbcosx=a2b2cos x=a2b2cos x 此時：tana對邊：鄰邊b在此推導過程中,千萬留意：兩種演化中的是不同的實質(zhì)上這兩個互余；不然就會產(chǎn)生以下錯覺：sinxcosx；第 5 頁 共 23 頁假如留意到兩個角互余,那么就會得到：sinxcosx2下面來分析這個結(jié)論：si

10、nxcosx2cos2x右邊xcosx2cosx2cos2由誘導公式得：cos2xsinx左邊所以結(jié)論成立；三、實際運用1、給角求值：告知已知角度,求出它的一些倍角、半角等的值；1求 sin 15、 cos15 的值 方法 1：直接用半角公式可求得：sin15=1cos301232323sin42322242231231=2264222323423cos15 =1cos301232222422=3123164222cos45sin3022方法 2：由兩角的差求得：sin15sin4530sin45cos30=23216262222244445sin30同理可得：cos 15cos 4530co

11、s45cos30=232162622222444方法 3：用 60 與 45 的差角求得sin15sin6045sin60cos45cos60sin45第 6 頁 共 23 頁=32126262cos4 5sin60sin4522224464同理可得：cos 15cos 6045cos6 0=12322622222444方法 4：利用直角三角形作圖運算如圖：直角三角形ABC 中, A=30 , C=90 ；B D 1530C A 延長 CA 到 D,使 AD=AB ；就易知：D=15 設 BC=1,就 AB=2,AC= 3 ；CD=2+ 3sin15BCBC21 113264813（4123）

12、DBBC2CD24=21131222 1263同理可求得 cos15cos 15CD6CD2162232 3 243233）DBBC2CD 283（42=2 632 23424方法 5：利用誘導公式和倍角公式求解：利用誘導公式我們知道：cos150 的值,然后利用倍角公式可求得cos75的值,再利用誘導公式就可以求出sin15 的值；cos150 =3 ,2第 7 頁 共 23 頁cos75 =1cos 150=1234236264222484sin15642同理可得：sin150 =1 ,22362sin75 =1cos 150=12322284cos 156422求sin15+ cos15

13、 的值方法 1：分別求出sin15的值：64和cos15 的值：二者相加得：sin15+ cos15642+642=24662方法 2：直接利用幫助角公式運算：sin15+cos152sin 15452sin6023611sin3022方法 3：奇妙利用公式：sin22 cos1和倍角公式sin15+ cos15 =sin15cos152 12 sin15cos15=113662242方法 4：運用向量運算：將sin15+cos15 寫成：sin151+cos15這 樣 可 以 看 成 兩 個 向 量 的 數(shù) 量 積 ； 如 圖 ： 在 單 位 圓 內(nèi) , 設 向 量OAcos15,sin15

14、,向量OB ,；就向量 OA 和 OB 之間的夾角為4515 =30|OA|1,|OB|2；由向量數(shù)量積公式得：sin151+cos151OA.OB|OA|OB|cos30第 8 頁 共 23 頁sin15+ cos15 =|OA|OB|cos30123622B O A 3求 1 tan 15 的值1 tan 15分析：方法 1：直接求 tan15 的值有些困難；當然用半角可求；可考慮能否奇妙轉(zhuǎn)化；考慮到常數(shù)“1” 的轉(zhuǎn)化； tan45 =1,原式可化為：tan45tan15tan4515tan603cos 15sin 15= sin301tan45tan15sin 15方法 2：代入tan1

15、5sin15得：原式 =1cos15 sin 15cos 15cos 15 sin 15cos151cos 15cos 15cos15sin15cos 15sin1522 cos15sin1511cos15sin15cos 15sin15212cos 15sin151sin30113332222 2得：2 11112226方法 3：直接代入：tan15sin15646cos152641tan 151tan6266226226 23tan 152362621tan 15162262266262方法 4：代入15sin15462并化簡得：62cos 15624第 9 頁 共 23 頁原式 =1ta

16、n 15sin12sin333 3331 31tan 151233124求sin153075的值分析：方法 1：sin30 是特殊角,關鍵是求sin15 sin75 的值；假設用積化和差來運算,就有些復雜；可考慮把 sin75 轉(zhuǎn)化為 cos15 ,然后利用倍角公式求得：sin 15 sin 30 sin 75 = 1 1 1 1 1sin 15 sin75 sin 15 cos 15（sin 30）2 2 2 2 8方法 2：直接用積化和差運算：sin 15 sin 75原式 = 1sin 15 sin 75 1 1 cos 75 15 cos 75 15 2 2 21 1 1 1= cos

17、 90 cos 60 4 4 2 82 25求 sin 10 cos 40 sin 10 cos 40 的值分析：方法 1：利用余弦的倍角公式化簡：sin 210 1 cos202,cos 240 1 cos802,就原式 = 1 cos202 1 cos802 + sin 10 cos 40cos 80 cos 20 11 sin 10 cos 40 1 cos 80 cos 20 sin 10 cos 402 2 2再利用知差化積與積化和差的公式得：11cos 80cos20sin 10cos 40sin40103來分析；2112sin50sin301sin401022311sin501s

18、in501sin301122244cos22方法 2：利用規(guī)律：sin22 cos22sin4136求sin22的值10cos 10分析：方法 1：把常數(shù)換為特殊的三角函數(shù),就原式=sin30cos 30sin30cos 10sin10cos 30sin 30102sin10cos 10sin 10cos 101sin2022、給值求值15,cosB9cos A,求cosC的值；（1） 在 ABC 中,已知1741第 10 頁 共 23 頁分析：在三角形 ABC 中, C=180ABcosCcosABcosABcosAcos BsinA sinB=sinAsinBcosAcosBsinAsin

19、B159sinAsinB1351741697sinA1cos 2 A115281717sinB1cos 2 B19 4124041cosCsinAsinB135840135=1856971741697697（2） 已知sincos2,求 sin2的值3分 析 ： 用 完 全 平 方 公 式 和 平 方 關 系 、 及 倍 角 公 式 求 值 ：sincos24sin22 cos2sincos499即：2sincos4152x的值99由倍角公式得：sin2594 cos的值（3） 已知cos23,求sin45分析：由倍角公式求值：2 cossin22 cossin44 cos sin2=2 co

20、ssin2=35（4） 已知cos4x3,17x7,求sin2x2 sintan x51241分析：對于求值的代數(shù)式, 要利用化弦的思想, 把正切化成正弦與余弦的比值,再利用和角公式綻開得：cos4xx5cos4cosxsinxsin4即：2（2cosxsinx）3cosxsin325第 11 頁 共 23 頁所以cosxsinx 21832sinxcosx 2x25即：2 cosxsin2x2sinxcosx18252sinxcosx11872525sin2x2sinxcosx2 cosx172525而cosxsinx2sinx44217x7,cos xsinx3212425252 sins

21、in x2x cossin2x2 sintan x2x=2sinxcosx22 sinxsinxcosx11sinxcosxcosx28=2sinxcosxsinxxcosx745225cosxsin327553、給值求角（1） 已知 ABC 中,tanA 2,tanB 3,求角 C分析：tan A B tan A tan B 2 311 tan A tan B 1 2 3 A B 0, A B = 34C44、證明（1） 已知 A 、 B 、 C 是三角形 ABC 的三個內(nèi)角；求證： sin A Bcos C2 2 cos A Bsin C2 2分析：使用誘導公式證明：證明：ABBCA2BC

22、2sinA2Bsin2Csin2CcosC 22即：sinA2cosC 2第 12 頁 共 23 頁同理：cosABcos2Cycos 22CsinCx1y12222即：cosAsinC 2B2（2） 已知xy3cos4,x4sin；求證：22分析：先利用二元一次方程的思想分別求出 公式分析：x和 y 的式子,再利用倍角證明：x3cos424sin2,y23cos424sin2由倍角公式得：cos412sin2x3 122 sin 224 sin22 sin22sin21sin22 1y3 12sin224sin22 sin22sin21sin2122x1sin2121sin22y1sin21

23、21sin2sin212故：x1y11sin21sin2222然后比照摸索：即：x1y1222（3） 已知4,求證：1tan1tan2分析：同時綻開tan和 1tan1tan證明：tantan4tantan11tantantantan1tantan1tan1tan1tantantantan=11tantantantan21tan1tan2（4） 在直角三角形 ABC 中, C 為直角, a 、 b 、 c分別是 A、B、第 13 頁 共 23 頁C 的對邊；求證：sin A c b2 2 c分析：明顯兩邊要平方 sin 2 A2 c2 c b,平方后再利用倍角公式轉(zhuǎn)換2 sin 2 A2 cc

24、 b；2sin 2 A2 1 cos A,而 cc b1 bc；只需要證明：cos A b 即可；c證明：在 Rt ABC 中,cos A bc由倍角公式得：cos A 1 2 sin 2 A22sin 2 A2 1 cos A 1 bc = cc b即：sin 2 A2 c2 c bA 0 , sin A c b2 2 c（5） 已知 A、 B、C 是非直角三角形的三個內(nèi)角；求證：tanAtanBtanCtanAtanBtanC分析：用化切為弦的思想分析：證明：tanAtanBtanCsinAsinBsinCsinCcosAcosBcosC=sinAcosBcosBsinAsinCsinAB

25、cosAcosBcosCcosAcosBcosCCC而：sinABsinsintanAtanBtanCsinCBsinCsinCcosCcosAcosBcosAcoscosCcosAcosBcosCB而：cosCcosABcosABcos CcosAcosBcosA BcosAcosBcosAcos=cosAcos BsinAsinBcosAcosBcosAcosBsinAsinBBtanC=sinAsinB即：tanAtanBtanCsinAsinBsinCtanAtancosAcosBcos CtanAtanBtanCtanAtanBtanC第 14 頁 共 23 頁（6） 已知 A、 B

26、、C 是三角形的三個內(nèi)角；求證：sinAsinBsinC4cosAcosBcosCA2B222分析：使用誘導公式、積化和差與和差化積公式證明：證明：sinAsinBCsinBCcosAcosB1cosABcosAB=1cosA2Bcos22222222而：cosCcosABcos（2A2B）sinA2B224cosAcosBcosC41cosA2BcosA2BsinA2B22222sinA2BcosA2B2sinA2BcosA2B=sinAB21sinA2BA2BsinA2BA2B2sinABsinAsinB而：sinABsinCsinCsinAsinBsinC4cosAcosBcosC222

27、（7） 已知3sinsin2,求證：tan2tan分析：對欲證的式了轉(zhuǎn)化為弦來分析：sin2sincoscos再綻開得：sincos2sincos證明：對已知條件作如下變形：3sinsin即：cos2cossin3sincos3cossinsin移項得：2sincos4cossinsin即：sincos2cossin兩邊同時除以：coscos得：sincoscos第 15 頁 共 23 頁tan2tan,且m1,k,m2kkz ,（8） 已知sinmsin22求證：tan1msintan1m證明：由sin得：msin2cossinmsin綻開得：sincoscossinmsincos移項得：1

28、m sincosmm1 cossin即：sin cos1sin1mcostan1mtan1m5、化簡（1） 化簡：1 sin cos1 sin分析：奇妙利用常數(shù)“sin 2cos1” 及倍角公式湊成完全平方式來化簡：1sinsincossin2=sin2cos2sincos2 coscossincos1cos1sin=sincos2sinsincossincos 11sincos1sincos=sincos2sin4（2） 化簡：sin50 13tan 10分析：方法 1：第一考慮“ 化弦” ：即把正切化成正弦與余弦的比值,再通分,最終利用倍角公式及和差公式化簡；sin50 113tan10s

29、in5013sin10sin50cos103sin10cos10cos 102sin50cos 103sin1022=cos 10第 16 頁 共 23 頁= 2 sin 50 cos 60 cos 10 sin 60 sin 10 2 sin 50 cos 50 sin 100cos 10 cos 10 cos 10= sin 90 10 cos 10 1cos 10 cos 10此題解法奇妙：先化切為弦,然后通分；最終向倍角公式靠攏,利用和角公式轉(zhuǎn)化；方法 2：把常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),觀看括號內(nèi)的形式,利用正切的和角公式化簡：sin50 13tan 10= 50tan6060tan10tan

30、60tan1010sin50 1tan60tan10sin1tantan10= tan10sin50tan50tan60tansin50tan6010tan60=cos50sin60sin10cos50sin60cos10cos60sin10cos60cos10cos60cos10=2cos50sin50sin100sin901010cos 101cos10cos10coscos 10（3） 化簡：tantan1tantan分析：用正切的兩角和公式化簡：tantan1tantantantantantan1tantan（4） 化簡：sin262tan54tan45tan36sin228分析：利用

31、平方關系和倒數(shù)關系求解：sin2622 cos28tan54 =12得：tan36原式 =2 cos281tan45tan36sin22811tan36（5） 化簡：tantantantantan式分析：方法 1：將tantantan變形為：1tantantantantan 1tantan代入原得 ：tantantan 1tantan, 同 時 約 去tantan第 17 頁 共 23 頁1 1tantantantantantantan1tantan2tantan1tantantan=1tantan方法 2：同時除以 tan得：tantan=11tantantantantantantan（6）

32、 化簡：1sin2cos21sin2cos2cos21sin2 122 sin 2cos分析：利用倍角公式化簡得：1sin21sin211sin2cos2=sin222 sin 2 cos2sincos22 sin 2 cos2sincossintansin222sincos22coscossin（7） 化簡：1111tantan分析：通分后,利用倍角公式化簡：1111=1tan 1tan=12tantan2tantan12 tan2 tan6、證明不等式（1） 假設0,4,求證：sin2cossin8cos目前仍無思路：7、推導新公式sin3和 cos3sin22sin31請推導出三倍角公式

33、：思路：sin3sin2sin2coscos2sin=2sin2 cos12sin2sin=2sin 1sin2=2sin2 sin3sin2sin3cossin2cos=3sin4sin3cossin2sincos3cos2cos2=2 2cos1 cos2sincossin=23 cos第 18 頁 共 23 頁=23 coscos212 cos）cos=23 coscos2cos22 cos=3 4cos3cos8、與方程的綜合（1） 設 tan和 tan是方程2 x6x70的兩個根；171 求tan的值 求證：sincos6,tantan分析：由韋達定理可得：tantan代入正切的兩角

34、和公式得：tan1tantan61tantan7tan1sincos即：sincos9、與函數(shù)的綜合（1） 求函數(shù)ysin3xcos3x的值域1,1分析：利用倍角公式得：ysin3xcos3x1sin6x2sin6x的值域為1,1函數(shù)ysin3xcos3x的值域為22（2） 已知函數(shù)fxsin2x2sinxcosx32 cosx,xR；問： 函數(shù)fx的最小正周期是什么？ 函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？ 函數(shù)的圖象可以由函數(shù)gx 2sin2x,xR的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？分析：fxsin2x2sinxcosx32 cosx可化為：第 19 頁 共 23 頁fxsin2x2 cosx22 cosx2sinxcosx1cos2x1sin2x=sin2xcos2x22sin2x422kZfx2sin2x42它的最小正周期：T22函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：2k22x42k即：當xk3,k8,函數(shù)是增函數(shù)；84個單位, 再向上平函數(shù)fx可以看作是函數(shù)gx2sin2x向左平移移 2 個單位得到的圖象；10、與幾何圖形的綜合4；（1） 如圖,三個相同的正方形相接拼成一個長方形；求證：A B C D 分析：實質(zhì)就是求證： tan11 tan1111151證明：觀圖可得：tan1tan326 5324326又（0,）說明：假如用中學的學問來分析：就可通過