數學建模 SARS疫情分析與經濟預測

1、SARS 情分析與經濟測 本文以微分方程為理論基礎,綜合運用機理分析和參數辨識的一般原理建立模型用北 京地區(qū)的統(tǒng)計數據,研究了 的傳播規(guī)律利用時間序列分析法等預測方法針對 對 北京海外旅游業(yè)的影響，作出合理的預測。問題一，從參數的合理性與實用性對題目提供的模型進行了客觀評價。問題二，首先將社會系統(tǒng)的人群分為四類：健康類，潛伏類，病人類，退出類，建立轉 化關系；其次，由于疫情發(fā)展規(guī)律主要由日接觸率 發(fā)展過程分為控制前階段和控制后階段。控制前階段考慮了超級傳染事件（ 件對疫情的影響等效為一個脈沖的瞬時行為，建立脈沖微分方程組模型；控制后階段詳細刻畫 響，而防范意識受政府措施力度和人們警惕指標兩因素

2、的影響；結合實際定性或定量的刻畫各因素的內在關系，建立微分方程模型；最后，用數值方法求解， 并用參數辨識確 問題三以預測 SARS 對北京市海外旅游人數的影響為例建立兩個模型模型一首先綜合 利用時間序列分析法和灰 GM(1,1) 建立了預測模型測了若不發(fā)生 SARS 時 2003 年 412月的旅游人數為：30.3 30.2 30.9 33.2 28.9 29.1；之后，通過定性分析面對危機事件時，人們心理恐慌度的變化規(guī)律，建立疫情與恐慌度的聯(lián)系；又由于經濟受到的影響 與危機帶來的恐慌度正相關，從而根據疫情可以得出海外旅游人數受到的影響， 月影響最 大，10 月影響比較小，到第二年的 月完全恢

3、復；得到 2003 年 512 的旅游人數為： 14.9 17.0 23.7 19.2 ；模型二簡單基于時間序列分析法預測影響。問題二的結果分析，對衛(wèi)生部采取嚴格隔離措施的時間、政府措施力度、人們的警惕程 度三因素分別對疫情的影響，繪制了對比曲線，并結合實際進行了比較深入的分析，對衛(wèi)生 部門所采取的措施做了評價。問題三的結果分析通過對比模型一與模型二的結果進一步驗證 模型一的合理性。最后，對模型的優(yōu)缺點進行了分析，提出改進方案，并給報社寫了一篇短文說明了建立 傳染病模型的重要性。1一問的述SARS 作為 世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā) 展和人民生活帶來很大影響，同

4、時也給人們許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染 病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性?，F在的問題是針 SARS 的傳 播建立數學模型，要求如下：（1）對題目中所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。（2）建立自己的模型，并比較它與題目提供模型的優(yōu)劣；對建立一個真正能夠預測且能 為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，提出建議，并指出難點所在；另外對 衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后 天采取嚴格的隔離措施，對疫 情傳播所造成的影響做出估計。（3）收 對濟某個方面影響的數據，建立相應的模型并進行預測。（4）給當地報刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數學模型的重

5、要性。二問的析問題二要求建立 SARS 傳播模型。一個健康人被傳染過程為：健康人 潛伏類人 病人 退出者（包括亡者和治愈）通過分析各類人之間的轉化關系，建立微分方程模型。在 傳播過程中，政府的干 預起較大作用，以政府采取措施控制疫情的時刻 t 作為分割點，分別考慮 t 前后兩階段，稱 0之為控制前階段和控制后階段疫情發(fā)展規(guī)律主要由日接觸 影響因素不同?？刂魄?，因按自然傳播規(guī)律傳播，故 可視為常量；同時，在疫情初期，人們的防范意識比較弱 ,再加上非典自身的傳播特 ,在許多地區(qū)出現一個病人傳染很多人的現象,即“超級傳染事件” 事件)；隨著人們防范意識的增, SSE 事件發(fā)生的概率減小,因此 SSE

6、 事件在非典的發(fā)展早期起著重要作用而 SSE 事件作超級傳染事件特性在于 在較短的時間內，即可使傳染者數目增幅較大。因此可將 SSE 事件對疫情的影響看作一個脈沖的瞬時行為，使用脈沖微分方程描述。控制后， t ) 受人們防范意識的影響，而引起人們防范意識變化的原因主要有兩方面，一方面來自因對疫情的恐慌而迫使人們自身加強防范意 識，用警惕指 面由于政府政策，法律法規(guī)的頒布等而加強的防范意識，用政府措施力度 g 疫情指標的函數定性分析確定各因素之間的函數關系，再在求解過程中利用參數辨識確定其中的參數。問題三要求預測 對經濟某方面的影響，我們根據北京市海外旅游人數的數據模型預測SARS 對北京市海外

7、旅游業(yè)的影響。首先觀察北京市海外旅游人數隨時間變化關系（圖一知此數據無很好的統(tǒng)計規(guī)律性其作為時間序列具有增長的2圖一旅游人數曲線趨勢和較明顯的周期性變化趨勢。則用以下方法預測：首先經濟系統(tǒng)顯然是一個灰色系統(tǒng)， 利用灰 GM(1,1) 模型對此序列的確定性趨勢進行預測其次所給序列明顯的具有周期特性，可用時間序列分析法對此序列的隨機變化進行預測。另外為建立疫情的變化與海外旅游人數 的變化的關系，可從疫情引起人們一定的心理恐慌，而人們的心理恐慌又會對經濟造成一定 的影響著手進行分析。三模的設符說3模型的假設 由于 SRAS 的傳播時間不是很長，故假設不考慮這段時間內的人口出生率和自然死 亡率 平均潛

8、伏期為 6 天2 處于潛伏期的 SARS 病人不具有傳染性2 提供的北京統(tǒng)計數據真實可信3符號說明t從最初發(fā)現非典患者到政府采取防御措施的時間間隔N (t)I (t) Q 總人口數t 時刻健康人數占總人數的比例t 時刻感染人數占總人數的比例t 時刻潛伏期的人數占總人數的比例t 時刻退出類的人數占總人數的比例 日發(fā)病率系統(tǒng)退出率日接觸率，表示每個病人平均每天有效接觸的人數f g w疫情指標政府措施力度警惕指標防范意識3四模的立求問題一題目所模型的評價題目中提出了病例數目的增長隨時 t 的變化關系模型： N (1 K )t該模型簡單直觀刻畫了隨著公眾的防范意識、政府的防范措施的變化非典患者數目的變

9、 化。模型中的顯性參 K 和隱性參 L 決定了疫情的發(fā)展趨勢。 模型的合理性 :模型中的參數具有實際的物理意義參數 K 表示在一定地理范圍內一個人使其他人感染 的概率。在疫情的整個發(fā)展過程中， K 取決于政府的防范措施和公眾的防范意識等因素， 且在疫情初期和疫情中后期其大小是不一樣的。在疫情初期，政府措施和人們的防范意識 較弱，因 K 較大；中后期由于政府采取措施，相應地人們的防范意識增強， 值開始減 小。模型中給出的物理意義符合實際情況，且反映了實際的疫情，是合理的。參數 在模型中表示病人的傳染期，模型中給出了 ，是基于實際疫情發(fā)展數據得 出的，反映了 病本身的特性。 模型的適用性：通過調整

10、參數可計算出不同地區(qū)疫情發(fā)展周期和峰值，并作相對比較。模型通過對香港數據和廣州數據進行了計算和分析，和實際結果符合得較好，并對北京 進行了預測和分析，與實際雖有一定的偏差，但考慮在模型較為簡單的情況下，具有一定 的優(yōu)點。問題二4 播模型 模型建：由問題的分析，將人群分為健康人類 潛伏類 E ，病人 I ，退出 類， 之間的轉化關系為：健康人類) 傳染潛伏類E發(fā)病病人類I退出退出類健康人 S 與潛類 的轉：健康人和病人有效接觸成為潛伏類，因每個病人平均每天有效接觸的健康人數 (t ) S ， 個 使 t 以 NdtSNI 即dt潛伏類 與病人 I 的轉化：44m m 4m m 表示潛伏期日傳染率

11、，潛伏類人的變化等于健康人的變化減去病人的變化即：dt 由假設 2每一位處于潛伏期的人每天將以1 的概率轉化為病人 I ， 6 6病人類 I 與退出類 的轉化： 表示退出系統(tǒng)的比率，單位時間內退出人的增加等于病人的減少，即:dt綜上，我們建立了這個系統(tǒng)的轉化過程，以下我們從將疫情傳播過程分為控前階段和控 后階段建立模型。4 控前階段：自然傳規(guī)律傳播 參數確定：在傳播的初期，SARS 自然傳播規(guī)律傳播 t ) 保持不變，記此常量 體取值在模型求解中通過參數辨識得到 由資料5 0.008超級傳染事件（SSE）的處理：定義脈沖函數 0 x 0 x 0else函數 由問題的分析，將 SSE 事件對疫情

12、的影響看作一個瞬時的脈沖行為，且僅會對dSdtii idEdtii i其中 為所 數的個數，在實際中 SSE 件的個數 i 數的強度，i據資料1顯示，每例 SSE 事件的平均感染人數為 人。綜上我們建立了控前階段的模型：5i ii ii i E 0 0 其中 ， ， I 為系統(tǒng)中各類的初始值。 0 0 04控后階：疫情指 影響疫情指標因素主要是每日新增死亡人數 d (t ) 、新增確診人 (t ) 、新增疑似病例數 (t ) 。對這三個因素歸一后求加權和得到：f (t ) 0 1d max 2b v b( 3 其中， f q , 依次為 t ) bt ) , (t ) 對疫情指標的相對影響權重

13、， 0 1 且 q ?？紤]到人們對三類新增人數的敏感程度， q 0.4, q 0.2 。由于 1 3統(tǒng)計得到的數據均為離散的 為到 f 0關于時間 t 的連續(xù)變化 , 采用最小二乘法擬合,得到 f 散點看出， 用f mx0 m ( t v ) x進行擬合，由題目提供的北京市數據可得： m 1.1578, x 14.35300其離散的 f f 0圖二圖二疫情指標的擬和曲線與實際數據比較圖6 由圖象可以看出二者由較好的擬合度，則擬合后的 f 疫情指標隨時間 的變化關系。政府措力度 g 疫情的發(fā)展對經濟、社會造成一定的影響，政府必會采取措施削弱其影響；同時，政府須根據以往的疫情采取相應的措施，所以，

14、政府力度 均值 f (t ) 的函數1 t（ f ( ) f i 分析實際情況 g t 應滿足以下性狀： ti 1) t 時 g 即為潛在的政府力 0 02) 長較為緩慢因為開始疫情的蔓延不足以使政府的重視程度提高很快；但疫情發(fā)展到一定階段后政府對疫情的蔓延變得敏感起來；后 期府力度已較高疫情指標的增長變化較慢；3) 當 f 綜合性質 1）2）3 圖三所示（橫坐標為 f ，僅表示形態(tài)使用 t f ( t ) 圖三圖三來刻畫政府措施力度根據北京實際，取 0.2, ；計算得到 f ，取 g 可計算出0 1 0 00.1803警惕指 人們對 SARS 的警惕程度隨疫情的變化而變化。政府公布疫情初期，

15、疫情的變化引起人們很大的關注，警惕程度隨疫情的微小變動波動很大；中后期，波動逐漸變緩直至平穩(wěn)。 3 其中根據 有的警惕指標 7可 k k 。2 防范意 由問題分析防范意識 大 而 增 大 ， 隨 且 g 大 致 取 w防范意 觸 天有效接觸的人數，由問題的分析知，傳染系數 識 w足以下性質：當防范意識 取最大值控制前日接觸率； （1）（2）隨 w數 (t ) 減小。 w) 的變化所起的作用較（3）小； w ) 的影響效果較明顯； 當 w可能為 1）時 ) 趨近于 0由上三點確定的 態(tài)，采用函數 ( ) (1( t ) 畫此形態(tài)。其中 待定。綜上，控后階段建立的模型為： dS IS dE t I

16、 dI ( t ) ) k E Q S 0 I I Q0 08)4 模型求解由于模型無法得到解析解 ,所以將連續(xù)模型離散化再求解。在求解過程 ,用參數辨識 的方法,即確 t時刻實際的北京市新增確診人數 b t 時刻北京市新增確診人數。初始狀： 京人口總數 N12,000,000 ，3 月 日北京市 12 例非典患者作為疫情 初發(fā)， I 0.1 E 一） 圖四新增確診人數的實際值于計算值的比較圖由圖象可以看 （注：開始的小高峰是 SSE 事件造成的另外，由參數辨識可以得到模型中未確定的兩個待定參 0.374,0 2問題三模型一4 灰色預測時間序列預結合對非典影響下京市海旅游人數的測衛(wèi)生部 4 月

17、 20 日開始每天一次公布非典疫情說明四月份非典疫情趨于嚴重2003 年 3 月之前，每月北京市海外旅游人數可視為還未被非典疫情嚴重影響，故取其為歷史數據（ ）進行預測。將其分解為 機變化趨勢。4利用灰 模型對 X 確性趨勢行預測預測步驟為:9 數據預處理，盡量減少隨機干擾的影響：初始數據序列為從 年 1 月至 2003 年 3 月 每月北京市接待的海外旅游人數X 0 X 0 X (75) ,10.1,12.9,17.7,21.0, ,23.5)做一次累加： X(1), (2), , X(1) 建立白化微分方程： dt其中: a 為模型參數由最小二乘法求解，得從而得到： (1)( k 3226

18、.3e0.0056 k3216.9由此式即可得 4用時間列分析法對序列的機變化 Z 圖像如圖五。從圖中可明顯得看出 勢性變化而是明顯的具有以 12 個月為周期的 季節(jié)性周期變化 所以 析 法處理。圖五圖五提取周期項L k Z k 13 求樣本自相關函 k，樣本偏相關函 ，圖像分別為圖六（a六（b）圖六（a圖六（b k拖尾 截尾；故可確定選擇自回歸模型 108 8 由 的分布漸進于正態(tài)分布，通過對其截尾性的判斷，確定階數 2用自相關函數檢驗法檢驗模型，統(tǒng)計 R 8 ii a 13.7813對給定的顯著性水 可用此模型進行預測。 ,所以此模型通過檢驗，被接受，則利 中函數 行預報，最終得到在未考慮

19、 SARS 影響下2003 年 4 到 12 月海 外旅游人數依次為： 29.766 實際 2003 年 4 到 8 月海外旅游人 1.78 2.61 8.8 8 月份）0實際數據與預測數據的對比圖如圖七圖七海外旅游人數實際數據與預測數據的比較圖可以看出，在 發(fā)之前，預測值與實際值吻合較好，而 年 4 之后，實際數 值嚴重偏離了預測值，這顯然 SARS 造成的影響。因此，對未來經濟發(fā)展的預測，必須考慮 SARS 對此經濟帶來的負面影響。4結合疫對北京市海旅游人的預測SARS 對人們心理造成的恐慌SARS 本身是一個突發(fā)的危機事件，該事件必然對人們的消費心理造成影響，清華大學教授樊富珉指出 引

20、：沖擊階段，安定階段，解決階段。這三個階段一般維持 周。在這三 個階段內，人們的心理壓力維持在一個較高的水平上，經過解決階段后，恐慌情緒將隨時間 迅速降低，該衰減規(guī)律應遵循一般的遺忘規(guī)律（如圖八上，一次沖擊后人們的恐慌度隨時間變化規(guī)律“型采用函數 11 t來刻畫該規(guī)律由于 SARS 病危險性大，11在解決階段末期，人們的恐慌度應維持在一個較高的水平， C 即：0.0278 1 10.0278 t另外，SARS 的傳播、發(fā)展、消亡是一個較長的過程，它給人們帶來的心理沖擊絕不是一 次性的我們不妨以一周疫情的均值為一次沖擊在任一時刻 帶來的恐 V 之前所有沖擊帶來的恐慌度的累加。 說明圖的橫坐標為時

21、間， 做坐標為記憶量，此圖像只是 描述記憶隨時間的遺忘過程， 刻度沒有意義。圖八利用 模預測海旅游人數稱在不考慮 響時預測的經濟指標為理論值，實際值與理論值之 稱為 SARS 該指標的影響程度。針對北京市海外游客數這一經濟指標，繪制 年 月8 月 SARS 對 北京海外游客人數的影響程度與同期疫情比較（如圖九圖九北京海外游客人數的影響程度與同期疫情比較12說明：各曲線是歸一化后放在同一坐標系內，故縱坐標無實際意義，橫坐標為時間，單 位是天，原點為 2003 年 1 月 1 。此圖形僅僅是觀察圖像的相似性。曲線二是 實際值與理論值之 的曲線，因為它是以月為單位的離散點，而該坐標系橫系 縱橫坐標單

22、位為天，故曲線為階躍曲線；曲線三為實際的 2003 年疫情指標（與 問題二中定義相同，是從問題二中引過來的線族是由疫情引起的沖擊曲線， 每周沖擊一次，故產生曲線族；曲線一為曲線族的累加。容易看到曲線一和曲線二吻合較好，曲線二是實際中海外旅游人數與預測值之間的差， 即反映了非典疫情對北京海外旅游人數的影響。故可用曲線一來描述曲線二，從而了解非典 疫情對海外旅游人數的影響。從圖中可以看出 月受非典影響最嚴重第 300 （ 月疫情的影響已經很小， 到 天（2004 2 影響幾乎降為 0則可近似用曲線一代替 SARS 對北京境外游客人數的影響程度，因為 連續(xù)函數，則對 2003 年 412 北京海外游

23、客人數的預測時，可利用未考慮 SARS 的預測值 1減 此 得 到 2003 年 5 12 月 游 客 數2 26.29, 27.89 模型二時間序列分法對有 SARS 時 2003 年海外游客的測以 1997 1 月至 2003 年 8 的每月北京市海外旅游人數為初始序列，按 4.3.2 中時間 序 列 分 析 法 進 行 預 測 得 2003 年 5 月 京 外 旅 人 人 數 14.9 17.0 24.1 23.7 19.2 附錄二）五模結的析檢5 問題二的果分析（對生部門取措施的評）采取嚴隔離措施早的影響衛(wèi)生部采取嚴格隔離措施，是在 4 月 20 日左右，我們對早 5 天或晚 5 天做

24、了如圖的對 比圖（圖十圖十每日新增確診人數隨天數的關系13從圖中可看出，政府延后五天采取嚴格隔離措施時，日新增病例峰值為 ，提前五 天時日新增病例峰值為 例可見日新增病例的峰值對政府采取嚴格隔離措施的早晚十分 敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越長。這對于指導非典工作具有重要意義， 政府部門應該在實際工作中“早發(fā)現早隔離取有效的隔離預防措施。政府采措施的力度疫情的響政府措施力度 g (t ) 反映了政府針對情所采取的力度，我們分別取 g (t 0代入模型重新計算，得對比圖如圖十一圖十一每日新增確診人數占總人口中的比例隨天數的關系從圖中可看出，政府措施力度越弱，曲線的拖尾越長，甚至會再

25、次出現疫情小高峰的現 象。 ( 0.5 ，曲線出現了第二次峰值，這表示如果政府（衛(wèi)生部）在疫情剛有所下降0時，就過度的減小力度，將會使疫情發(fā)生反彈，引起第二次疫情峰值的到來。因此政府措施 力度一定要持續(xù)不能看到疫情有所緩和就放松警惕北京的實際情況是 t 0.7 對應的0曲線，可見衛(wèi)生部實際上所采取的力度是比較危險的，很容易引起第二次峰值，因此衛(wèi)生部 的措施應該在加強一些。 人們警惕程度對情的影響對突發(fā)性事件人們有個固有的警惕程度該固有警惕程度取 0.1,0.2,0.3代入模重新求解，得對比圖如圖十二從圖象中可看出有警惕程度越小疫情曲線拖尾越長至會發(fā)生二次高峰現象中給出了當警惕程度為 0.1 時

26、現 了二次疫情高峰現象 . 衛(wèi)生部 號召我們要戒除陋習，改變生活圖十二14圖十一每日新增確診人數占總人口中的比例隨天數的關系習慣，就是為了使固有警惕程度增加，這樣不僅可以使疫情不出現二次峰值，而且可以使疫 情周期縮短，因此衛(wèi)生部加強該項措施對減緩疫情是非常有效的。5 問題三的果分析模型一模型二預測果的對分析（2003 年 56789021 表一從表一中可看出: 直接對 1997 年 1 月至 2003 8 月所有數據使用時間序列預測，雖此序列包含了一些 SARS 影響的信息，但 的對比可知 的值明顯偏大。而 與 0 3 0吻合得較好，特別在 月時已相當接近 的 月數據 也較貼近，但仍偏小，說明

27、2 模型一預測地結果較貼近實際，疫情對海外旅游業(yè)的影響逐漸減小，但今年內仍不能恢復。 這與官方的一些預測相符，更驗證了模型一的合理性。優(yōu)點 :缺點 :六模的缺與進向問題二通過對 SARS 播機理的分析從有效接觸 入手建立了 SARS 的疾病傳播模型。 政府措施力度、人們的警惕指標有關，其包含了豐 富的信息，通過控制 以對疾病進行有效的控制和預防。并對結果進行 了較全面的分析.問題三中，首先利用灰色預測方法，對旅游人數的走勢進行了初步預測； 在此基礎之上，對灰色預測的殘差，根據其具有周期性的特點，利用時間 序列法，對殘差進行預測，最后的結果綜合兩部分得到。和實際結果進行 了比較，比較理想。在某些

28、參數的確定上由于缺乏數據，不免主觀的成分稍大模型建立中取潛伏期為常數，簡化了模型，但與實際不太相符15改進方立可靠模及困難在 )問題二可以建立基于仿真的反映 疫情發(fā)展規(guī)律的模型,收集足夠多且準 確數據后,對 的日傳染率,健康轉疑似率似轉健康率等進行回歸和擬合, 以得到更為可靠的參數值,具有更強的實用性另外建立反應較快的傳染病預 警體制，以獲得較多的傳染病傳播早期的數據。七給社一短增危意提預機今年入春以來在神州大地上發(fā)生了一場沒有硝煙的戰(zhàn)爭抗擊非典全國人民在黨 中央和國務院的統(tǒng)一領導下，萬眾一心，眾志成城，使疾病在較短時間內得到控制。非典高 潮雖然已經過去，但它卻給我們敲響了一個警鐘對突發(fā)疾病的

29、預防控制刻不容緩。在疫情發(fā)展的初期由于對 沒有充分的認識和行之有效的預防措施之人們思 想上不夠重視，使 迅速蔓延開來，甚至出現一個非典患者感染幾十人的“超級傳染事 件到疫情發(fā)展的中后期，政府部門采取了嚴格的疾病預防與隔離措施，通過擴大宣傳力度 提高全社會對疾病的防范意識，使非典的嚴峻形勢得到有效緩解，也為打贏這場戰(zhàn)爭，爭取 全面勝利奠定了基礎。從這次 SARS 疫情發(fā)展的趨勢可以看出，政府和衛(wèi)生部門采取的措施 及全社會的防范意識對抗擊非典工作起著重要的作用。一方面可以通過建立數學模型來定量描述 的發(fā)展趨勢與政府的防范措施及人 們的防范意識之間的關系。并利用模型分別對政府提前 天采取措施和滯后

30、天采取措施的 情況下對疫情進行了預測，結果發(fā)現晚采取措施時疫情要比早采取措施時嚴重得多。這說明 了政府在防治非典的過程中扮演著重要的角色。另一方面認識非典自身的特點確地把握疾病傳播的規(guī)律靈活地應對突發(fā)性疾病， 在科學的指導下進行疾病的預防與治療，對于 SARS 的防治工作也具有重要的意義。因此，在抗擊非典的過程中總結經驗、汲取教訓，建立科學合理的傳染病模型，在這一 模型的指導下對疾病進行科學有效地預測，并采取相應的措施，可以提高全社會對突發(fā)性疾 病的危機意識以及政府和衛(wèi)生部門的預警機制！八附參考文獻1柯南SARS 流行和超級傳染事件/news.htm. 2003.9.2 http:/23 Ma

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