交通流參數(shù)與非參數(shù)模型

1、交通流參數(shù)與非參數(shù)模型劉曉偉一、交通三參數(shù)模型1 歷史回顧1933年，格林希爾茨根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的分析結(jié)果，提出了V-K線性關(guān)系模型V=a-bk,并 推導(dǎo)出了如下關(guān)系式， TOC o 1-5 h z V 二 Vjrd K/K*(I)Q-K/V- V/VJQ-Vf(K-K2/K(3)式中:K為車流密度，V為行車速度，Q為交通流量，Vt為暢行速度,Kj為堵塞密度.Q/(L-h-r)Q/(L-h-r)500| 0001 $002 000圖咅北京城ill睥三環(huán)怏運(yùn)歸逵度-挺婁乘500| 0001 $002 000圖咅北京城ill睥三環(huán)怏運(yùn)歸逵度-挺婁乘Fig. 3 Flaw-Bpecd relBtione

2、hip plot on The W,Ring Eapre樹砒 in 險(xiǎn)ijing一非慟和狀遐 排肚肅放狀戀0Q/(L h1陽 1 Greenshields關(guān)察Fi：g 1 Flow-speixi 胡時(shí)伽卯hip plot格林希爾茨給出的速度和流量之間的關(guān)系符合拋物線模型(如圖1),它在Vf/2處有最大 流量Qmax，與目前的一些觀測結(jié)果出入較大，其原因在于Greenshields的函數(shù)形式V=a-bk 是根據(jù)當(dāng)時(shí)的觀測數(shù)據(jù)假設(shè)得出的,交通量、道路狀況以及觀測手段與現(xiàn)在均有較大差距 而且交通調(diào)查又是在假期進(jìn)行的，樣本量有限，不具備代表性，與交通流的本質(zhì)特性具有一 定的偏差該理論盛行了約30a,直

3、到1985年的美國通行能力手冊仍采用了該曲線.20世紀(jì)80年代以后，許多文獻(xiàn)將注意力集中到對交通流到達(dá)或接近通行能力時(shí)交通流 狀況的研究,Hounsel認(rèn)為自由流速度幾乎可以保持到當(dāng)流量接近通行能力時(shí),Ha11在1992 年指出對應(yīng)于高速公路的不同區(qū)段，速度一流量曲線應(yīng)分為3 部分:第1 段為非飽和狀態(tài)， 第2段為排隊(duì)釋放狀態(tài)，第3段為過飽和狀態(tài)(如圖2).圖2 罠國鍛行能力手冊20加版速度-澆美霖圖Fig. 2 Flo-spccd relalJonahLp plot tn f TCM 2D00郭繼孚等人對北京市內(nèi)二、三環(huán)快速路進(jìn)行了觀測，從結(jié)果可以看出，北京城市快速 路的交通流特性與國外高速

4、公路存在較大差異，國外高速公路的速度一流量曲線在流量較低 時(shí)，曲線平坦，速度隨流量增加變化不大.而北京的城市快速路的速度一流量關(guān)系曲線更符 合 Greenshields 提出的二次曲線關(guān)系(如圖 3) ，車流速度隨流量增加迅速降低，并不像高速 公路那樣可以保持在較高的水平.交通流 3 個(gè)基本參數(shù)的研究受樣本量、觀測手段和現(xiàn)狀交通現(xiàn)象的影響，而所有的研究 都是以實(shí)際觀測數(shù)據(jù)為依據(jù)得出的結(jié)論，其結(jié)果受車行量和上路間隔時(shí)間的影響很大，并不 能真正認(rèn)識(shí)流量與密度、車速的關(guān)系本質(zhì)、車流密度與行車速度的關(guān)系2 車流密度與行車速度的關(guān)系在以往的研究中，3個(gè)參數(shù)關(guān)系式Q = VK假設(shè)交通流為自由流的，由物理學(xué)

5、中的流體 理論導(dǎo)出的，與交通流的性質(zhì)無關(guān).交通流量首先是由上路行車數(shù)量決定的，當(dāng)車流密度很小時(shí)，車輛可以在允許的最大時(shí) 速Vf下自由行駛，不受其它車輛的影響，此時(shí)v與K沒有任何關(guān)系當(dāng)密度達(dá)到跟馳密度Kf后，車流狀態(tài)由自由流變?yōu)楦Y流，車速受密度制約，當(dāng)車流密度達(dá)到堵塞密度兒時(shí)，車輛停止行駛，此時(shí)V=0.車輛行駛的首要前提是車流密度能保持車輛行駛速度由車輛本身所能達(dá)到的在規(guī)定時(shí)速下的速度值Vf和車流密度決定，車流 密度決定車頭間距，車頭間距決定車行速度控制車頭間距h:應(yīng)考慮反應(yīng)時(shí)間內(nèi)行駛的距離 dl、制動(dòng)期間的行駛距離d:，停車后的安全距離d3、車身長度d4、以及前車的制動(dòng)距離ds， 其關(guān)系表達(dá)

6、式為 TOC o 1-5 h z 式中“是駕駛?cè)藛T對前車變化的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)的車行距離，它是速度V的函數(shù),b是反映時(shí)間，一般取b=ls;分別是停車安全距離和車身長度，用計(jì)算車長c來表示，可取m.根據(jù)車頭間距和密度之間的倒數(shù)關(guān)系可知，； 分別是前后 2 個(gè)車制動(dòng)距離，根據(jù)車輛跟馳特性可知，后車平均行駛速度與前車相同，后車的 制動(dòng)減速度小于或等于前車制動(dòng)減速度，故有d2= V2J(2O2)(5)d2-d5= V2/(2a2) - V3/(24|)(7)式中：分別為前后車剎車減速度，設(shè)“Ji，貝y讓-J滿足應(yīng)對前車剎車 減速所需的安全距離d為J =v2(l= &訐(8)“小- ；稱為剎車安全度系數(shù)，它與

7、汽車的剎車性能及前后車剎車差異有關(guān),是一個(gè)變量當(dāng)無論前車的減速行為如何，跟馳車輛都能保證以和前車相同的減速度剎車減 速時(shí)， ，剎車安全距離有最小值 ；當(dāng)前車以 擋墻式停車，而后車以 自身期望的減速度心停車時(shí)，則有 ，a= ，剎車安全距離有最大值 因?yàn)榍败嚨男袨槭遣豢芍?，駕駛者只能憑經(jīng)驗(yàn)根據(jù)實(shí)際狀況來控制剎車所需距離，車速愈 高車輛愈難控制，所考慮的剎車距離越長，所以 a 值隨著車速的根高而減小.車頭間距與車 流密度是倒數(shù)關(guān)系.跟馳狀況下速度與密度的關(guān)系式為速度與密度的關(guān)系分3個(gè)階段，第1個(gè)階段是自由流階段，此時(shí)因上路的車輛較少，車 流密度較小，車輛能夠在大于安全車頭間距的條件下，以所允許的期

8、望速度Vf自由行駛，此時(shí)兩者之間沒有交通關(guān)聯(lián)，車速不變.密度隨上路車輛的增加而增加.第2 階段是過渡階段，隨著車流密度的增大，車輛行駛開始受到前車的影響，出于安全 的考慮，駕駛者需要控制與前車保持足夠的距離，以防前車剎車減速.由于在車流形態(tài)變化 點(diǎn) Kf 處的車速較高，駕駛者應(yīng)當(dāng)以最不利情況的車頭間距控制行駛，剎車距離完全按前車 擋墻式停車考慮,a=0.隨著密度的增大，速度逐漸降低，對于剎車距離的考慮逐漸減弱a值由 0趨近于1,其變化軌跡如圖4中虛線所示，此間兩者之間的關(guān)系式為1/(aV2 +(11)K廠兩阪7而莎第3階段是跟馳階段，此階段密度較大，車速較低，車輛容易控制，控制車頭間距中已 不

9、再包括剎車距離的影響，而是認(rèn)為能和前車以相同的減速度減速剎車，即:T=O,a=O,式(12) 為此階段的關(guān)系式當(dāng)K=Kj=1/c時(shí)，V=0,車流停止前行.K-l/(AV + c(12)120I0C剛604G2010203040506070鈕 J kju)ffi4逵廈-密度艾藁Fig. 4 Densaty-spctd relatioiiship plot如果能保證前后車剎車距離相同，則V-K關(guān)系函數(shù)由式(10)和式(12)組成，但這種車流 狀態(tài)不能保證行車的安全，一旦出現(xiàn)意外，就會(huì)發(fā)生追尾事件，且速度越高,這種危險(xiǎn)性越 大，所以存在Kf至Kq過渡階段，這一階段的范圍形狀與駕駛技術(shù)和行為習(xí)慣等有關(guān)

10、，Kf 120I0C剛604G2010203040506070鈕 J kju)ffi4逵廈-密度艾藁Fig. 4 Densaty-spctd relatioiiship plot團(tuán)5加拿大高遠(yuǎn)舍路速度-密崖其辜Fig. 5 Dcnaity-spctd relationship plot anfreeway in Canada (Mark, I9W )3交通流里與行車速度的關(guān)系由于V-K由3個(gè)階段構(gòu)成，則Q 一 V關(guān)系亦相應(yīng)分為3個(gè)部分，根據(jù)基本公式Q= VK 和式(10),(11),(12)可得到3個(gè)階段的Q 一 V關(guān)系式分別為第1階段：K =0-*Kz, V=Q = KVf(13)第2階段：

11、K = Kf KqrQ= V/(aV2+frV+t)(14第3階段：K二仏-瓦,Q = V/(&V + d如圖示6所示，在K=0 一 Kf階段，由于車流密度較小，車頭間距較大，車輛能夠以Vf穩(wěn) 定地行駛此段的流量隨著車流密度的增大而增加，Q-V關(guān)系是一條平行于Q軸的直線當(dāng)車 流密度達(dá)到 Kf 值后，行車速度開始受到車流密度的約束，隨著密度的增加車速降低，流量 的增加變得愈來愈緩慢，此階段是由于a值的存在，駕駛行為在譏 ；- 和；，-汛-之間擺動(dòng)所造成的，如果a 0，對式(14)求導(dǎo)可得流量的最大值即當(dāng)=時(shí),有最大流量，由于a是變量，最大流量也因地而異.當(dāng)密度繼續(xù)增加時(shí)速度繼續(xù)下降，流量也隨之下

12、降，Q-V關(guān)系越來越接近式(15).當(dāng)密度達(dá)到Kj時(shí)，車輛停 止行駛，V=0,流量也就達(dá)到了最小值Q=O.Vf和V=0時(shí)的流量為零是截然不同的原因造成 的，前者是因?yàn)闆]有車，而后者是因?yàn)檐嚩嘣斐闪硕氯?oFtg. 6Flow-speed rcktioTwhip plot圖oFtg. 6Flow-speed rcktioTwhip plot圖T謊薩-巒度關(guān)星圖Fig. 7 Flow-drtisiiy TElainndiLp plot鈕 L knr”)4交通流量與車流密度的關(guān)系同樣，將式(11).(12)變換為V-K形式后代入Q = VK可得式(16).(17),(19)從圖9可以看 出，當(dāng)密度較

13、小和密度較大時(shí)，流量與密度成線性關(guān)系，B Kj線完全不考慮剎車距離， O-A段完全考慮剎車安全，由于緊隨要求的作用，駕駛行為隨著速度的降低，由O-A向B 一 Kj過渡，由此產(chǎn)生了過渡段A-B.自由流階段： TOC o 1-5 h z Q=VfK(16)過渡階段： HYPERLINK l bookmark16 o Current Document Q = (-1/K)-b)K/(2a )(17)排隊(duì)擁擠階段： HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 0,具體形式如下：這樣定義的權(quán)函數(shù)W稱為以K為核函數(shù)的核權(quán)函數(shù),h稱為窗寬。一般來說它滿足條件:近鄰型估

14、計(jì)是找n個(gè)常數(shù)滿足如下條件：G 三 f 三.三 g.三（I Wj； =1（ 3心I如果對應(yīng)于所有樣本 、,在Rd中引入各樣本與自變量x的距離門、，并 按距離由近至遠(yuǎn)排序樣本為；,則權(quán)函數(shù)可定義為:如果樣本量很多時(shí)，可考慮給予x最近的k個(gè)樣本權(quán)值，其它樣本權(quán)值為零，這樣的方法稱為k 鄰近估計(jì)。在因變量與自變量散點(diǎn)圖接近直線時(shí)可以采用權(quán)函數(shù)與最小二乘法結(jié)合起來使用, 即先進(jìn)行最小二乘線性回歸，然后再對殘差進(jìn)行權(quán)函數(shù)估計(jì)，最后進(jìn)行迭加。(1)核估計(jì)模型 對交通流三個(gè)參數(shù)流量、密度和速度采取非參數(shù)方法建模，只要知道任何兩個(gè)參數(shù)對即 可，也即設(shè)其中一個(gè)為自變量，另一個(gè)為因變量，就可以對因變量進(jìn)行估計(jì)和預(yù)

15、測。正常情況下， 數(shù)據(jù)對越多，如幾天或幾星期的數(shù)據(jù)，估計(jì)曲線越光滑，圖2是采用常用的核函數(shù)Triangle和 Nadaraya-Watson核估計(jì)公式進(jìn)行計(jì)算所得結(jié)果。對窗寬的選擇一般來說，窗寬越小，估計(jì)的核函數(shù)曲線和樣本擬合得較好，但可能不太光滑;窗 寬越大，核函數(shù)曲線越光滑，和樣本擬合誤差越大。因此我們可采取交叉證實(shí)法，使速度核估計(jì) 與實(shí)測數(shù)據(jù)的均方誤差最小。大量的計(jì)算表明，當(dāng)窗寬在l.lvhvl.2范圍時(shí)，各個(gè)核估計(jì)的均 方誤差在9.0與9.7之間，估計(jì)值與實(shí)測數(shù)據(jù)對的相關(guān)系數(shù)接近0.90，各個(gè)核函數(shù)在相同的點(diǎn) 取大于零的值，且權(quán)數(shù)大小不完全一樣;而當(dāng)窗寬小于 l 時(shí)，所有核估計(jì)的均方誤

16、差達(dá)到最小 且為8.6155,估計(jì)值與實(shí)測數(shù)據(jù)對的相關(guān)系數(shù)最大，且為0.9061，各個(gè)核函數(shù)是完全一樣的。(2) k-近鄰模型近鄰權(quán)與核函數(shù)相比簡單實(shí)用，但是誤差可能較大，如果能適當(dāng)增加近鄰數(shù)目或采取其它 形式的平均算法，如幾何平均、調(diào)和平均等，則可降低誤差，但要求數(shù)據(jù)必須是正數(shù)。在使用均 勻近鄰權(quán)時(shí)，對于估計(jì)值偏大的情況下，采用幾何平均或調(diào)和平均，可以有效地降低估計(jì)值大 小表1是比較不同近鄰權(quán)函數(shù)、不同近鄰數(shù)和不同平均算法對估計(jì)模型的影響。從表1中可 以看出，不論采用何種形式的近鄰權(quán)函數(shù)，隨著近鄰數(shù)的增加，模型均方誤差變少，同時(shí)估計(jì)值 與實(shí)測值的相關(guān)程度增大;對于均勻權(quán)函數(shù)來說，調(diào)和平均的均

17、方誤差小于幾何平均，幾何平 均的均方誤差小于算術(shù)平均;線性權(quán)函數(shù)和平方權(quán)函數(shù)的均方差幾乎都比均勻函數(shù)要大，不如 均勻權(quán)函數(shù)有效。圖3分別是5近鄰和9階近鄰的算術(shù)平均、幾何平均和調(diào)和平均估計(jì)曲線。最小二乘加權(quán)混合模型根據(jù)毅面的權(quán)函數(shù)種類可以分為兩種,即最小二乘核函數(shù)估計(jì)和 最小二乘k近鄰估計(jì)。針對前面的數(shù)據(jù),運(yùn)用最小二乘原理求出線性部分為y=20.8136-0.2662x, 和Creenshields模型是一致的。然后，再對殘差V-（20.8136-0.2662k）進(jìn)行核函數(shù)估計(jì)和k近鄰 估計(jì),顯然,最后模型的估計(jì)為線性部分與權(quán)函數(shù)估計(jì)之和。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),對于窗寬小于 1 的 情況，最小二乘核函

18、數(shù)估計(jì)與純核函數(shù)估計(jì)的結(jié)果是一樣的，沒有任何改進(jìn)。而最小二乘k近 鄰估計(jì)比k近鄰估計(jì)僅有微弱的改進(jìn)，見表1。表丨 卜近鄰K速度一密度欖型的均方丁 1相戔系數(shù)近鄰數(shù)近鄰杈3階近鄰5階近鄰7怖近鄰9階近鄰均方差相關(guān)系數(shù)均方差相關(guān)系數(shù)均方差相關(guān)索數(shù)均方差相關(guān)系數(shù)均權(quán)算術(shù)平均31-0965a 88830. 888416. 157316. 1542*0. 8963a 8964*1 3- 44M13-43140 89740. W77*11 - 02761剛0. 8987蝕 1*幾何平均3。73090- 887914- 25490. 897812- 24870 898410. 2(10. 8994囲和T：均

19、3。3932.O 887412- 45420.用)931 1- IW0 89959 70390. 8999線性權(quán)菌數(shù)32-843932. 8439*Q 88810. 8882*2 2- 174522 1736*0. 89340. 893517. 891717- 88780- 89540. 895614. 899614. 89090. 8970(K即門平方權(quán)菌數(shù)31-10731-9100O 88820- 8882*19 5332la 53100.卅斗70. 894815- 836515- 83040 89630. 896613- 187913- 17540.豹 790 89S2*表示相應(yīng)的最小二

20、乘加權(quán)模塑2、流量和密度的非參數(shù)模型利用第二節(jié)速度）密度參數(shù)模型和公式Q=VK導(dǎo)出流量）密度模型擬合效果較差，擬合 最好的 Underwood 模型均方誤差也達(dá)1191.1。而如果直接進(jìn)行二次多項(xiàng)式回歸，可得模型 Q= 6.92+16.87K-0.179K*K，均方誤差為981.3,相關(guān)度為0.95?，F(xiàn)在對流量）密度數(shù)據(jù)進(jìn)行核 函數(shù)估計(jì)（取窗寬=0.95）可得均方誤差為540.76,相關(guān)度為0.9863;而進(jìn)行k近鄰估計(jì)時(shí)，上 節(jié)所有模型的均方誤差都不同程度的小于二次多項(xiàng)式回歸模型，相關(guān)度大于它，最好的是5階 近鄰調(diào)和平均估計(jì)，均方誤差為760.7，相關(guān)度為0.98。權(quán)函數(shù)估計(jì)的結(jié)果差別不是很

21、大，都 較為滿意。最小二乘的權(quán)函數(shù)混合估計(jì)對結(jié)果沒有改進(jìn)。工口&ajjd*暫sw2 y旳6Cac工口&ajjd*暫sw2 y旳6Cac匝5.hoaJUDaiQBCTJ 4D圖4立迎涪逍塑一密度枝估計(jì)模型表2卜近鄰械倚雖一密度模型的均方）異郴關(guān)采數(shù)匠鄰、近鄰數(shù)3階近鄰5階近鄰7階近鄰9階近鄰均方差相關(guān)系數(shù)均方差相關(guān)系數(shù)均方差相并系數(shù)均方差相關(guān)系數(shù)算術(shù)平均826. 9177824-806剛G0 9807796. 7354800- 2060. 98050 9804858- 2786875- 1450- 97860 9783929- 659& 97720- 9767幾何平均814- 37010. 98

22、06775. 28330.陽口g斗 1- 94740 9788900 1406& 9772闊和T：均808- 80S00.陽U76(K 72M0. i刑的H32- 54470 9789902- 5896a 9771線性M幅數(shù)863一748986$ 1195(X 98020 9803768- 0854767. 9490.則0 9819766. 1775770- 521心陽40. 9814792- 4759802- 0730.98050- 9803平方權(quán)函數(shù)828- 0715K27- 137ft 98080 9808768 - 3735769- 112*則G O.Kiri*792- 4871799

23、- 970.則】心8317276846. 8770 97930-* 表示相應(yīng)的址小 一乘加杈混合模型3、流量和速度的非參數(shù)模型流量與速度的相關(guān)程度比其它兩變量的相關(guān)程度要差,所以非參數(shù)模型在流量與速度關(guān)系中*3.XE0OrQ曲4獸itl*3.XE0OrQ曲4獸itl500圖5交迎流流量一速度松怙計(jì)樓熨可以發(fā)揮最大效益。仍然取參數(shù)模型作為參照,擬合最好的二次多項(xiàng)式回歸模型的均方誤差 可達(dá) 9479.8,實(shí)測值與估計(jì)值的相關(guān)系數(shù)僅為017243。對流量與速度進(jìn)行核估計(jì),選取窗寬從 0.1 到3.0,則各核估計(jì)的均方誤差逐漸增加,在 3000到7000之間,實(shí)測值與估計(jì)值的相關(guān)系 數(shù)逐漸減少,在 0

24、.82 到 0.92 之間,以 Gauss 核函數(shù)為例,計(jì)算結(jié)果見圖 5。對流量-速度進(jìn)行 k 近鄰估計(jì),計(jì)算結(jié)果見表 3。我們發(fā)現(xiàn)與第二節(jié)速度-密度模型正好相反,線性權(quán)函數(shù)、平方權(quán) 函數(shù)比均勻權(quán)函數(shù)的效果好,誤差小,擬合程度高;同時(shí)幾何平均與調(diào)和平均都比算術(shù)平均效 果要差。而最小二乘權(quán)函數(shù)混合估計(jì)對結(jié)果沒有改進(jìn)。表Jk-近鄰杈猗量一速度欖塑的肉方)TI相關(guān)岳數(shù)近鄰數(shù)近鄰權(quán)蟲、s階近鄰5階近鄰7階近鄰9階近鄰均方差相關(guān)系數(shù)均方差相并系數(shù)均方差相關(guān)系敬均方差相并系數(shù)算術(shù)平均4 1機(jī)X4185. 5*0. 8891O 88895113- 85135-9*0.舲0 86185203- 9M75. 1

25、450- 8616X60I5(KJ5511. 50. 8629(K昭U50800. S7046145- 40. 7 1儷h 70 84715(). 40. 8529囲和T：均7IHI.M0. 83209344- 80. 733嘶一 70- 784391隔0.7892線性杠憾數(shù)25642566*a 93410.93403691- 53698- 80. 90310.90294251. 7Q丄00 88720.隔Q4505. 74545. K0. 88000- 8787平方權(quán)函數(shù)334U73343-勺0. 91260 91254網(wǎng)-54410 h0.祁卻0.哺4788- 7422-2*0 8717a

26、 87084豹忙0. 86860- 8669* 表出相血的顯小-嫌加械混合模型4、交通變量非參數(shù)預(yù)測11 交通量預(yù)測以二環(huán)路月壇橋中路段2000年2 月29日-3月5 日的流量、密度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),預(yù)測 3月 6 日和7日的流量情況。表4和圖6 說明,對于一定范圍內(nèi)的窗寬和近鄰數(shù),非參數(shù)方法比參數(shù) 模型的預(yù)測結(jié)果要好。21 交通變量時(shí)間序列預(yù)測國外對交通時(shí)間序列預(yù)測研究已經(jīng)開始采 用 k 近鄰方法, 確定輸入變量應(yīng)檢驗(yàn)具體可用的歷史數(shù)據(jù)庫和現(xiàn)有變量是否一致。輸入變量 可以是一個(gè)向量形式，如根據(jù)某時(shí)刻t流量值F(t)和前一個(gè)時(shí)刻流量值F(t-l)作為輸入,在歷史 數(shù)據(jù)庫中查詢與對應(yīng)向量(F(t),F(t-1)距離最近的k個(gè)對應(yīng)向量,把與這k個(gè)向量對應(yīng)的因變量 值表4瀕量一密度模塑預(yù)測的吃方關(guān)系數(shù)、秫丨丨期預(yù)測方3月6日3 J1 7 1 1旳方差相關(guān)系數(shù)塚方差相關(guān)系數(shù).-J 史 TM3235-2& 90843244-5二抿多項(xiàng)式回FII2K6-2(X 96331331-90 9710llitirirllikV12K0. 2a 9HI1274- 10 971415階近鄰算術(shù)平血丨綱4& 96311 184-60 9723丨5階近鄰線性