整理彈性力學(xué)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系

1、精品文檔第四章應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系知識點(diǎn)應(yīng)變能原理應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式完全各向異性彈性體正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系彈性常數(shù)各向同性彈性體應(yīng)變能格林公式廣義胡克定理一個彈性對稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系 各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系 應(yīng)變表示的各向同性本構(gòu)關(guān)系一、內(nèi)容介紹前兩章分別從靜力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的角度推導(dǎo)了靜力平衡方程，幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于彈性體的靜力平衡和幾何變形是通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系 的，因此，必須建立了材料的應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系。 應(yīng)力和應(yīng)變是相輔相成的， 有應(yīng)力就有應(yīng)變； 反之，有應(yīng)變則必有應(yīng)力。對于每一種材料，在一定的溫度 下，應(yīng)力和應(yīng)變之間有著完全確定的關(guān)系。 這是材料的固

2、有特性，因此稱為物理 方程或者本構(gòu)關(guān)系。對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)測試是有困難的，因此本章首先通 過能量法討論本構(gòu)關(guān)系的一般形式。 分別討論廣義胡克定理；具有一個和兩個彈 性對稱面的本構(gòu)關(guān)系一般表達(dá)式；各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系等。本章的任務(wù)就是建立彈性變形階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。二、重點(diǎn)1、應(yīng)變能函數(shù)和格林公式；2、廣義胡克定律的一般表達(dá)式；3、具 有一個和兩個彈性對稱面的本構(gòu)關(guān)系；4、各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系； 5、材料的彈性常數(shù)。4.1彈性體的應(yīng)變能原理學(xué)習(xí)思路：彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，因此外力在變形過程中作功。同時，彈性體 內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。借助于能量關(guān)系，可以使得彈性

3、力學(xué)問題的求精品文檔精品文檔解方法和思路簡化，因此能量原理是一個有效的分析工具。本節(jié)根據(jù)熱力學(xué)概念推導(dǎo)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式，并且建立應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)的材料本構(gòu)方程。根據(jù)能量關(guān)系，容易得到由于變形而存儲于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢能， 即應(yīng)變能函數(shù)。探討應(yīng)變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本 構(gòu)關(guān)系。如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量 的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應(yīng)變或者應(yīng)力表示的應(yīng) 變能函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)變能；2、格林公式；3、應(yīng)變能原理。1、應(yīng)變能彈性體發(fā)生變形時，外力將要做功，內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。本

4、節(jié) 通過熱力學(xué)的觀點(diǎn)，分析彈性體的功能變化規(guī)律。根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力在變形過程中所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，一 部分將轉(zhuǎn)化為動能；另外變形過程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界 吸收或釋放熱量。設(shè)彈性體變形時，外力所做的功為 dW,則dW=dWi + dW2其中，dWi為表面力Fs所做白功，dW2為體積力Fb所做的功。變形過程中, 由外界輸入熱量為dQ,彈性體的內(nèi)能增量為dE,根據(jù)熱力學(xué)第一定律,dWi+dW2=dE - dQ因?yàn)閐% = |J F dudS - JJ 也 d5 =5ss二JTJ（外皿）/ d1二jjj回山十%dK=JJJ&二JJJ心啊政 VF將上式代入功能關(guān)系公式，

5、則d取二 d肌 + d町= JJJ （%, / + 風(fēng)）也 + 與V嗎，可，嚕）*jp綱嚕）+%嚕肥精品文檔叫J /閏；（白+ ）四=JJJ %科,歲 2 ox 現(xiàn) *精品文檔2、格林公式如果加載很快，變形在極短的時間內(nèi)完成，變形過程中沒有進(jìn)行熱交換，稱 為絕熱過程。絕熱過程中，dQ=0,故有dWi+dW2=dE對于完全彈性體，內(nèi)能就是物體的應(yīng)變能，設(shè)Uo為彈性體單位體積的應(yīng)變能, 則由上述公式，可得四二圾qw叩J (dujw叩”以FV即dU。二二%d j+ %dq卡 + %匕也設(shè)應(yīng)變能為應(yīng)變的函數(shù)，則由變應(yīng)能的全微分對上式積分，可得Uo=Uo (4)，它是由于變形而存儲于物體內(nèi)的單位體積的

6、彈性勢能，通常稱為應(yīng)變能函數(shù)或變形比能。 在絕熱條件下，它包等于物體的內(nèi) 能。以上公式稱為格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系3、應(yīng)變能原理如果加載緩慢，變形過程中物體與外界進(jìn)行熱交換，但物體的溫度保持不變， 稱為等溫過程。設(shè)等溫過程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ,嫡的增量為dS, 對于彈性變形等可逆過程，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，有dS 二些 ,0T因?yàn)?，dQ=TdS,所以，Q=TSo上式中，T為絕對溫度，TS為輸入單位體積 的熱能。代入公式可得精品文檔精品文檔所以d% + 此二 dE 必二 d“綜d展d二 jjjd（綜TS）AV =jjE0為物體單段瓠/糯，八需為輸入的熱能，即U0=E

7、0 - TS 。所以在等溫條件下，功能公式仍然成立。上述公式是從熱力學(xué)第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質(zhì)的限制。如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則由格林公式，單位體積的應(yīng)變能 必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得% = 百+冬邑+ 4邑+7療及+ % +七晨）用張量表示，寫作設(shè)物體的體積為V,整個物體的應(yīng)變能為 。=JJJ Ugd，4.2廣義胡克定義 學(xué)習(xí)思路：根據(jù)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)，可以確定本構(gòu)方程的能量表達(dá)形式。本節(jié)的任務(wù) 是利用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。如果將應(yīng)力分量表達(dá)為應(yīng)變分量的函數(shù)，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表 達(dá)式。對

8、于小變形問題，這個一般表達(dá)式可以展開為泰勒級數(shù)。對于各向同性材料，根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變的性質(zhì)，可以得到具有36個常數(shù)的廣義胡克定理。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式；2、廣義胡克定理1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式精品文檔精品文檔由于應(yīng)變能函數(shù)的存在，通過格林公式就可求出應(yīng)力。本節(jié)將通過應(yīng)變能的推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。若將應(yīng)力表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的 一般表達(dá)式為巧-工（與/3，名%/蘆5%）二工以，與汽，%,七，七）這里的函數(shù)f i （i=1, 2,，6）取決于材料自身的物理特性。對于均勻的各 向同性材料，單向拉伸或壓縮時，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)直接確定。 但是對 于復(fù)雜的應(yīng)力狀

9、態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過實(shí)驗(yàn)直接確定其關(guān)系。這里不去討論如何建立一般條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，僅考慮彈性范圍內(nèi)的小變形問題。對于小變形問題，上述一般表達(dá)式可以展開成泰勒級數(shù)，并且可以略去二階 以上的高階小量。例如將的第一式展開，可得%=CA)o +(0上式中（f 1）0表達(dá)了函數(shù)f 1在應(yīng)變分量為零時的值，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變的一般 關(guān)系式可知，它代表了初始應(yīng)力。2、廣義胡克定理根據(jù)無初始應(yīng)力的假設(shè)，（f i） 0應(yīng)為零。對于均勻材料，材料性質(zhì)與坐標(biāo)無 關(guān)，因此函數(shù)f i對應(yīng)變的一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。因此應(yīng)力應(yīng)變的一般關(guān)系表達(dá)式 可以簡化為巴=邑+a丹+。邑+C孫+a%+% = gr+2洛+q 在

10、+04y歲+q%+”也*=S兩+飛4+ q4y外+ c34G + c充幾% = + 5r + q 汽 + G/平 +% = 瑪 + C5 在 + c.% + 05/收 + 4 人j = Qij + “7+”工 +十。茲在上述關(guān)系式是胡克（Hooke）定律在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此又稱作廣 義胡克定律。精品文檔精品文檔廣義胡克定律中的系數(shù) Cmn (m, n=1, 2,，6)稱為彈性常數(shù)，一共有 36個。如果物體是非均勻材料構(gòu)成的，物體內(nèi)各點(diǎn)受力后將有不同的彈性效應(yīng)，因 此一般的講，Cmn是坐標(biāo)X, y, Z的函數(shù)。但是如果物體是由均勻材料構(gòu)成的，那么物體內(nèi)部各點(diǎn)，如果受同樣的應(yīng)力, 將有相同

11、的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)如果有相同的應(yīng)變，必承受同樣的應(yīng)力。這一條件反映在廣義胡克定理上，就是 Cmn為彈性常數(shù)。4.3各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系學(xué)習(xí)思路：本節(jié)應(yīng)用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。對于完全的各向異性彈性體，本構(gòu)關(guān)系有 21個彈性常數(shù)，對于具有一個彈性對稱面的各向異性材料，本構(gòu)各向具有13個彈性常數(shù)。對于正交各向異性材料，彈性常數(shù)有 9個。正交各向異性材料的本構(gòu)方程中，正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力僅與對應(yīng) 的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間，以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合 作用。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、完全各向異性彈性體；2、有一個彈性對稱面的彈性體；3、有一 個彈性對稱面的彈性體

12、本構(gòu)關(guān)系；4、正交各向異性彈性體；5、正交 各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系。1、完全各向異性彈性體下面從廣義胡克定理公式出發(fā)，用應(yīng)變能的概念建立常見的各向異性彈性體 的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有*二5二G向+ G向+ Gm與+ G/JGg九對于上式，如果對切應(yīng)變 均求偏導(dǎo)數(shù)，有精品文檔精品文檔a %犯14同理，有+的汽+ 4/J蘆+ 京對于上式，如果對正應(yīng)變 反求偏導(dǎo)數(shù)，有沏口 _8yh 41因此，C14=C41O對于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則 Cmn=Cnm0上述結(jié)論證明完全各向異性彈性體只有 21個彈性常數(shù)。其本構(gòu)方程為=011 J +。1 /j +。；3與十孰4/胡十

13、 G7j + G6yxi% =。邑+ y + Ca遇留+加/金+。田+ C水心% 0 13% + 23 + 0工 + C34y歲 + C35y四十 7燃也% = & J+。源 + 圓與 + c* + c* + c46/ % = G，/ + %,+ 十 卡 + % + 7溫-G邑+ C如邑+ 035邑+ 046yq+ C年乙c + 065了2、具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體如果彈性體內(nèi)每一點(diǎn)都存在這樣一個平面， 和該面對稱的方向具有相同的彈 性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對稱面。垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。若設(shè)yz為彈性對稱面，則x軸為彈性主方向。以下根據(jù)完全各向異性彈性體本

14、構(gòu)方程，推導(dǎo)具有一個彈性對稱面的各向異 性彈性體的本構(gòu)方程。將x軸繞動z軸轉(zhuǎn)動冗角度，成為新的Oxyz坐標(biāo)系。新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為xyzxl1 = -1m1=0n1=0y12= -1m2=0n2=0z13=-1m3=0n3=0根據(jù)彈性對稱性質(zhì)，關(guān)于x軸對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時保持不精品文檔精品文檔變，而關(guān)于x軸反對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時取負(fù)值。所以Cx二q,y=CFy, 0z=oz,京yy,Eyz yz,zx =-zxx = x , y = y , z = ；z,xy = xy, yz = yz, zx = zx根據(jù)彈性主方向性質(zhì)，作這一坐標(biāo)變換時，本構(gòu)關(guān)系將保持不變。3

15、、有一個彈性對稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式如二一%，八丁二了蘆,r=-y代入廣義胡克定理，可得江優(yōu) 61，+a汽1十二百與一 64%尸+一。近九丁Q4 Ky + G5yA爾-c比7 評47,.三, C41f 川 + C$2 叼 + J 一。44 /再,+G1% + q 叼 +一+ C55yH 一 /經(jīng)將上式與廣義胡克定理相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變， 則必有Cl4=C 16=C 24=C 26=C 34=C 36=C 54=C56= 0這樣，對于具有一個彈性對稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個將減少為13個。具有一個彈性對稱面的彈性體的應(yīng)力應(yīng)變

16、關(guān)系為 =Gi工 + G2 殍 + G%工,=Gr + q 聲J +G汽 + a/E = Q1Z + C32 + C334 +。30再=q4y歲十 c4=。5工 +。52% +。53月 +。5$ 晨=+ 心/衣4、正交各向異性彈性體若物體每一點(diǎn)有兩個彈性對稱面，稱為正交各向異性彈性體。以下根據(jù)完全精品文檔精品文檔具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體本構(gòu)方程% = G3 + 4邑+63邑+ G/工%=Gij + 02聲十c咨+。工=03】與+。32三+0334+。3弘町% = 044及十。皮% = 051邑 + 052*+ 053 J +。寸湃xz平面也是彈7羽=+ 公廬推導(dǎo)具有兩個彈性對稱面的各

17、向異性彈性體的本構(gòu)方程。設(shè)性對稱面，即y軸也是彈性主方向。在具有一個彈性對稱面的基礎(chǔ)上，將y軸繞動z軸轉(zhuǎn)動優(yōu)度，成為新的Oxyz坐標(biāo)系,如圖所示根據(jù)彈性對稱性質(zhì)。關(guān)于y軸對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時也保持 不變，而關(guān)于y軸反對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時取負(fù)值。所以，則 新舊坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為Gx =Gx, Oy =Oy, 仃z=仃z,ky =- y,Tyz=-Tyz,zx =zxx二次, y=y,z=二：z,xy = xy, yz=- yz,zx = zx將上述關(guān)于y軸彈性對稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個彈性對稱面的各向 異性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變在坐標(biāo)變換后不

18、變，則必有Cl5= C25= C35= C64=05、正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系a精品文檔這樣，對于具有二個彈性對稱面的彈性體，如圖所示，其彈性常數(shù)由 13個將減少為9個。于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為J = 十+ g聲工% = Q% 丁在=c55yli假如彈T生體有3個彈性對稱面，也就是說，如果設(shè) xy平面也是彈性對稱面， z軸也為彈性主方向，則類似的推導(dǎo)可以證明，本構(gòu)方程不會出現(xiàn)有新的變化。因此，如果相互垂直的3個平面中有兩個彈性對稱面，則第三個必為彈性對稱面。二個彈性對稱面的彈性體本構(gòu)方程表明：如果坐標(biāo)軸與彈性主方向一致時， 正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力僅與對應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間

19、， 以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合作用。這種彈性體稱為正交各向異性彈性體，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個。4.4各向同性彈性體 學(xué)習(xí)思路：各向同性彈性體，就物理意義來講，就是物體各個方向上的彈性性質(zhì)完全相 同，即物理性質(zhì)的完全對稱。該物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間 的關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。對于各向同性材料，材料性質(zhì)不僅與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，而且與坐標(biāo)軸的任精品文檔精品文檔意變換方位也無關(guān)。根據(jù)這一原則，可以確定具有2個獨(dú)立彈性常數(shù)的本構(gòu)關(guān)系。各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系可以通過拉梅（Lam彈性常數(shù)九，N表示；也可以通 過工程彈性常數(shù)E, v, G表示。各彈性常數(shù)可由實(shí)驗(yàn)的方法測

20、定。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、各向同性彈性體；2、各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系； 3、應(yīng)變表示的本構(gòu)關(guān)系；4、彈性常數(shù)與應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系。1、各向同性彈性體各向同性彈性體，就其物理意義來講，就是物體各個方向上的彈性性質(zhì)完全 相同。這一物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在所有方位不 同的坐標(biāo)系中都一樣。本節(jié)將從正交各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變公式出發(fā)，建立各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。對于各向同性材料，顯然其材料性質(zhì)應(yīng)與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，任意一個平面都是彈性對稱面。因此Cl1=C22=C33, Cl2=C23=C31, C44=C55=C66于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為二 Ga邑 + GiJ +C

21、，12 b GaJ + G 盧 + &% = c44yM千口=CqqYii其獨(dú)立的彈性常數(shù)僅為 C11, C12和C44o但是各向同性彈性體的彈性常數(shù)不但與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)， 而且與坐標(biāo)軸的 任意變換方位也無關(guān)。為了簡化分析，將坐標(biāo)系沿Z軸旋轉(zhuǎn)任一角度中。新舊坐 標(biāo)系之間的關(guān)系如下所示xyzx11 = cos :m1 = sin :n1=0y12=-sin ：m2= cosn2=0zl3=0m3=0n3=1精品文檔精品文檔2、各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系根據(jù)應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式，可得-4T)sin2? + r , 喜 2 印根據(jù)應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式力，23 + cos2p將以上兩式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系公

22、式的第四式 手女I=九,，則-生)汨2卯 + % cos2(p = c(sy - 4)in2毋 + %因?yàn)? =到,所以% 巴=2c“區(qū)J)0 根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式，可得 令一巴=Gi- D(三 一 %)。比較上述兩個公式，可得，2c44 = C11-C12。所以各向同性彈性體的彈性常數(shù)只有兩個。其應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為二冊怎+G汽+ G汽二G田+ (GGJs. 二 0心&/ + G* + c汽-gw + (G - cn =q %+q 弓+q 4=c13s+(4 - c1a應(yīng)二/(Gi-GJr 制二(G 。公產(chǎn)博二；(G1-GJy停其中，；一 二.二一3、應(yīng)變表示的本構(gòu)關(guān)系為了使得各向同性材料的本構(gòu)關(guān)

23、系公式表達(dá)簡潔，令= X, C? = 2 /則同性材料的本構(gòu)關(guān)系公式可以簡化為精品文檔精品文檔仃工=丸8+2/工,3n2吟、萬二%3 =%外？叭、= /或?qū)懽鲝埩勘磉_(dá)式上述公式即為各向同性彈性材料的廣義胡克(Hooke)定理，九，N稱為拉梅 (Lame)彈性常數(shù)。如果將坐標(biāo)軸選取的與彈性體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力主方向重合， 則對應(yīng)的切應(yīng)力分 量均應(yīng)為零。根據(jù)各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系的后三式可見， 此時所有的切應(yīng)變分 量也為零。根據(jù)上述分析，對于各向同性彈性體內(nèi)的任一點(diǎn)， 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方 向是一致的。因此這三個坐標(biāo)軸，即應(yīng)力主軸同時又是應(yīng)變主軸方向， 對于各向 同性彈性體，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向二者是重合的。設(shè)體積應(yīng)力為二%+區(qū),將拉梅公式的前三式相加，可得0 = (3Z + 2上式稱為體積應(yīng)變的胡克定理。4、彈性常數(shù)與應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系如果各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系用應(yīng)力表示，一般用工程彈性常數(shù)E, v, G表示胡克定律，有精品文檔精品文檔 TOC o 1-5 h z 與二爐（%+巴）二1。+吟%-Af，二二%= HQ+y)% - 正JiA HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 噸=之同1/(5 + %)= 1(1