立體幾何高考知識點(diǎn)和解題思想?yún)R總

1、立體幾何高考知識點(diǎn)和解題思想?yún)R總補(bǔ)充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識四心的概念介紹：（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。F垂心重心內(nèi)心F垂心重心內(nèi)心外心第一節(jié) 平面、空間直線核心知識點(diǎn)平面的概念和性質(zhì)：（1）、平面的基本特征：平的；無厚度；可以無限延展、無邊界。（2）、平面的基本性質(zhì)：三個(gè)公理、三個(gè)推論：公理1、已知直線及平面，若點(diǎn)，且則；（作用：證明一條直線在一個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)）公理2、若兩個(gè)

2、平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且僅有一條過的公共直線；（作用：判定兩平面相交；判斷點(diǎn)在直線上，證明若干點(diǎn)共線的依據(jù)）公理3、不共線的三點(diǎn)可唯一確定一個(gè)平面。其有如下三個(gè)推論：推論1、經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2、經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3、經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；（公理3及推論的作用：空間中確定平面的依據(jù)；為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法）2、空間兩直線的位置關(guān)系：（1）、空間兩不重合直線的位置關(guān)系：相交，平行，異面；從公共點(diǎn)角度：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相交；沒有公共點(diǎn)平行或異面；從共面與否的角度：在同一個(gè)平面內(nèi)相交或平行；不同在任何一

3、個(gè)平面異面；（2）、平行直線：公理4、（平行公理）平行于同一直線的兩直線平行，即且；等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；推論：如果兩相交直線和另兩相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等。（3）、異面直線：定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；異面直線所成的角：設(shè)是兩異面直線，經(jīng)過空間中任意一點(diǎn)，分別引直線，則稱與所成的角（銳角或直角）叫做異面直線所成的角；兩異面直線所成的角，當(dāng)時(shí)稱互相垂直，記為；（說明：該角與點(diǎn)的選擇無關(guān)；體現(xiàn)由“立體”向“平面”轉(zhuǎn)化的思想，是立體幾何中最常用的轉(zhuǎn)化思想）距離：和兩異面直線都垂直且相交的直線

4、（有且僅有一條），叫做兩異面直線的公垂線，兩垂足間的距離叫做異面直線間的距離方法總結(jié)（1）、符號語言：點(diǎn)，線，面；表示方法：，；，；，； ，；（2）、求空間中的點(diǎn)、線確定平面的個(gè)數(shù)，除運(yùn)用平面的性質(zhì)，還要用到排列組合等知識；（3）、證明若干點(diǎn)共線問題，只需證明這些點(diǎn)都同在兩個(gè)相交的平面內(nèi)即可（點(diǎn)就在交線上）；（4）、證明三線共點(diǎn)，只需證明其中兩線相交，然后證明另一條過此交點(diǎn)；（5）、證明點(diǎn)線共面的方法：先用部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，再證余下的點(diǎn)、線都在此平面內(nèi)；分別用部分點(diǎn)、線確定兩個(gè)平面，再證這兩個(gè)平面重合；圖9-2-1（6）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉(zhuǎn)化法

5、放到三角形中去求，用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位線平移法（涉及中點(diǎn)時(shí)常用）；補(bǔ)形法圖9-2-1第二節(jié) 空間直線與平面核心知識點(diǎn)1、直線與平面的位置關(guān)系（如圖9-2-1）（1）相交直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（即）（2）平行直線與平面沒有公共點(diǎn)；（記為）（3）直線在平面內(nèi)直線與平面有無數(shù)個(gè)個(gè)公共點(diǎn)；（記為）其中，相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，記為。2、線面平行的判定和性質(zhì)（1）定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則稱這條直線與這個(gè)平面平行。（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法）： = 1 * GB3 （判定定理）如果平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則

6、直線與平面平行，即： 下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法： = 2 * GB3 如果平面外的兩條平行直線中有一條和平面平行，則另一條也和平面平行，即： 如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另外一個(gè)平面，即： 如果直線垂直于平面，平面外的直線與直線垂直，則直線平行于平面，即： 若平面和外的一直線都垂直于同一個(gè)平面，則直線平行于平面，即： 圖9-2-2（3）線面平行的性質(zhì)定理：(如圖9-2-2)如果直線與平面平行，過直線的平面與面相交，則交線與直線平行即： 圖9-2-23、線面垂直的判定和性質(zhì)：（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平

7、面垂直。（2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）（判定定理1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。即： （判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。即： （面面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。即： （面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個(gè)平面垂直，則在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。即： ；如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則交線也垂直于第三個(gè)平面,即： 線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行,即： 4、線面角（1）如果平面外

8、的直線與平面不平行也不垂直，則稱直線為平面的斜線，設(shè)，在上任取一點(diǎn)（不與斜足重合），過作面的垂線，垂足為，則垂足與斜足的連線叫做斜線在平面上的射影，與其射影的夾角叫做 與面所成的角。規(guī)定：當(dāng)或時(shí)，時(shí)，于是線面角的范圍是方法總結(jié)下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具： （1）若為所在平面 外一點(diǎn), 是點(diǎn)在 內(nèi)的射影，則：若或、與 所成角均相等, 則為的外心；若到的三邊的距離相等, 則為ABC的內(nèi)心；若、兩兩互相垂直, 或則為的垂心面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。第三節(jié) 空間平面與平面核心知識點(diǎn)：面面平行的判定和性質(zhì)（1）面面平行的判定：（判定定理）

9、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（線面平行面面平行）即： ； 垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直面面平行）即： ；（面面平行的傳遞性）如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；即： （2）面面平行的性質(zhì)若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面；（面面平行線面平行）即： ；若兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則兩交線平行；（面面平行線線平行）即： 若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則該直線也和另一個(gè)平面垂直；即： ；夾在兩平行平面間的平行線段相等；經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行面面垂直的判定和性質(zhì)（1）面

10、面垂直的判定：（定義法）兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個(gè)平面垂直（即求證二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面經(jīng)過了平面的一條垂線，則；（線面垂直面面垂直）即： ；（2）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；（面面垂直線面垂直）即： ；若兩平面垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)4、兩個(gè)平行平面間的距離：如果直線與兩平行平面都垂直，垂足分別為，則稱線段的長為兩平行平面間的距離5、二面角的定義及表示方法：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發(fā)出

11、的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱為（或），面為的二面角記為（或）6、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角（范圍：）方法總結(jié)（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關(guān)定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行，則只需去其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中一個(gè)平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的思想；（2）有關(guān)面面平行和垂直的相關(guān)的定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要結(jié)合上節(jié)的知識；

12、（3）與面面距離相關(guān)的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節(jié)中系統(tǒng)地講解第四節(jié) 空間角核心知識點(diǎn)：高考中立體幾何題的計(jì)算常涉及“求角”、“求距離”、“求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾乎年年涉及，求角問題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角三種空間角的概念及范圍（1）異面直線所成的角：過空間任一點(diǎn)分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角異面直線所成角的范圍 （2）直線與平面所成的角：當(dāng)或時(shí)，與所成的角為；當(dāng)時(shí)， 與所成的角為；當(dāng)與斜交時(shí)，與所成的角是指與在面上的射影所成的銳角線面角的范圍： （3）二面角的平面角須具有以下三個(gè)特點(diǎn)

13、：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直二面角的范圍： 方法總結(jié)：1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉(zhuǎn)化法來作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角關(guān)系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍2、求線面角的一般過程是：（1）在斜線上找到一個(gè)合適的點(diǎn)，過作面的垂線（注意垂足的確定），垂足和斜足的連線即為斜線在平面上的射影，則即為所求；（2）將放到或其它包含此角的三角形中去求說明：在解題過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點(diǎn)，作平面的垂線后，垂足位置的確定復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意對常用的找垂足的方法進(jìn)行歸納總結(jié) 上面的（2）及下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工

14、具： （1）若為所在平面 外一點(diǎn), 是點(diǎn)在 內(nèi)的射影，則：若或、與 所成角均相等, 則為的外心；若到的三邊的距離相等, 則為ABC的內(nèi)心；若、兩兩互相垂直, 或則為的垂心（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；第五節(jié) 空間距離核心知識點(diǎn)點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題常見的空間距離的求法：（1）求點(diǎn)到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；（2）點(diǎn)到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，求出點(diǎn)和垂足之間的距離即可“

15、體積代換法”：把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為以該點(diǎn)為頂點(diǎn)，平面內(nèi)的一個(gè)三角形為底面的三棱錐的高，再通過變換（從方便求高的角度）三棱錐頂點(diǎn)用等體積法，求點(diǎn)到平面的距離這種方法比較常用，應(yīng)掌握（3）直線到它的平行平面的距離通常轉(zhuǎn)化為直線上一個(gè)特殊點(diǎn)到平面的距離，要找到直線和它的平行平面的公垂面，直線和公垂面的垂足就是這個(gè)特殊點(diǎn)，從這點(diǎn)向公垂面和已知平面的交線引垂線段，該垂線段就是直線到它的平行平面的距離，還可以用等體積法求特殊點(diǎn)到平面的距離（4）兩個(gè)平行平面的距離求解時(shí)，在一個(gè)面內(nèi)任取一點(diǎn)，作它到另一平面的垂線段，垂線段的長就是所求實(shí)質(zhì)上也是點(diǎn)到平面的距離因此，點(diǎn)面距離的求解方法,對求解面到面的距離仍然適用(5)兩條異面直線間的距離要注意定義中“都垂直且相交”的理解兩條異面直線的距離是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最段的一條.求解方法主要是定義法:找出兩異面直線的公垂線段,求出其長度 (6)兩點(diǎn)之間的球面距離求法分三步：計(jì)算兩點(diǎn)之間的線段長；計(jì)