機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)課件第1頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四D-H表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解D-H法原理 2. 學(xué)會(huì)用D-H法對(duì)機(jī)器人建模學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1. 給關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系 2. 制定D-H參數(shù)表 3. 利用參數(shù)表計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣第2頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四背景簡介： 1955年，Denavit和Hartenberg(迪納維特和哈坦伯格)提出了這一方法，后成為表示機(jī)器人以及對(duì)機(jī)器人建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，應(yīng)用廣泛。 總體思想： 首先給每個(gè)關(guān)節(jié)指定坐標(biāo)系，然后確定從一個(gè)關(guān)節(jié)到下一個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行變化的步驟，這體現(xiàn)在兩個(gè)相鄰參考坐標(biāo)系之間的變化，將所有變化結(jié)合起

2、來，就確定了末端關(guān)節(jié)與基座之間的總變化，從而建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，進(jìn)一步對(duì)其求解。第3頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四1.第一個(gè)關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n,第二個(gè)關(guān)節(jié)為n+1,其余關(guān)節(jié)以此類推。坐標(biāo)系的確定2.Z軸確定規(guī)則：如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，Z軸位于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向，轉(zhuǎn)角 為關(guān)節(jié)變量。如果關(guān)節(jié)是滑動(dòng)的，Z軸為沿直線運(yùn)動(dòng)的方向，連桿長度d為關(guān)節(jié)變量。關(guān)節(jié)n處Z軸下標(biāo)為n-1。第4頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四3.X軸確定規(guī)則情況1：兩關(guān)節(jié)Z軸既不平行也不相交取兩Z軸公垂線方向作為X軸方向，命名規(guī)則同Z軸。情況2：兩關(guān)節(jié)Z軸平行此時(shí)，兩Z軸之間有無數(shù)條公垂線，

3、可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線。情況3：兩關(guān)節(jié)Z軸相交取兩條Z軸的叉積方向作為X軸。4.Y軸確定原則取X軸、Z軸叉積方向作為Y軸方向。（右手）5.變量選擇原則用n+1角表示Xn到Xn+1繞Zn軸的旋轉(zhuǎn)角;dn+1表示從Xn到Xn+1沿Zn測(cè)量的距離;an+1表示關(guān)節(jié)偏移，an+1是從Zn到Zn+1沿Xn+1測(cè)量的距離;角表示關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn), n+1是從Zn到Zn+1繞Xn+1旋轉(zhuǎn)的角度。 通常情況下，只有和d是關(guān)節(jié)變量。第5頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四斯坦福機(jī)器人斯坦福機(jī)器人開始的兩個(gè)關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，第三個(gè)關(guān)節(jié)是滑動(dòng)的，最后三個(gè)腕關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)第6頁，共59頁，

4、2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第7頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四例1：Stanford機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第8頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0為右手坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi： Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線的交點(diǎn)zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 xi軸： Zi和Zi-1構(gòu)成的面的法線yi軸：按右手定則 ai沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到Oi 的距離i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)

5、向zidi 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點(diǎn)至Oi 1 坐標(biāo) 系原點(diǎn)的距離i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi關(guān)節(jié)1坐標(biāo)系0關(guān)節(jié)2坐標(biāo)系1關(guān)節(jié)3坐標(biāo)系2連桿0連桿1連桿2連桿3連桿4連桿5關(guān)節(jié)4坐標(biāo)系3關(guān)節(jié)5坐標(biāo)系4關(guān)節(jié)6坐標(biāo)系5第9頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四解：第10頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第11頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第12頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第13頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四123456關(guān)節(jié)變量都是例2、PUMA

6、560運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（六個(gè)自由度，全部是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)）第14頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四PUMA560機(jī)器人的連桿及關(guān)節(jié)編號(hào)第15頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四為右手坐標(biāo)系，Yi軸：按右手定則 Zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： Zi和Zi-1構(gòu)成的面的法線， 或連桿i兩端軸線Ai 與Ai+1的公垂線(即： Zi和Zi-1的公垂線)原點(diǎn)Oi： Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線的交點(diǎn)，或Zi與Xi的交點(diǎn)ai沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到Oi 的距離i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)向zidi 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi

7、 交點(diǎn)至Oi 1 坐標(biāo) 系原點(diǎn)的距離i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xiA1A2A3A4A5A6O1O0第16頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第17頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第18頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 對(duì)下圖所示簡單機(jī)器人，根據(jù)D-H法，建立必要坐標(biāo)系及參數(shù)表。例 3第19頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第一步：根據(jù)D-H法建立坐標(biāo)系的規(guī)則建立坐標(biāo)系 第20頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第二步：將做好的坐標(biāo)系簡化為我們熟悉的線圖形式第21頁，共59

8、頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第三步：根據(jù)建立好的坐標(biāo)系，確定各參數(shù)，并寫入D-H參數(shù)表#da1009020030040-90500906000第22頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四#da1009020030040-90500906000第23頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第四步：將參數(shù)代入A矩陣，可得到第24頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四第5步 求出總變化矩陣第25頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 依次寫出從基坐標(biāo)系到手爪坐標(biāo)系之間相鄰兩坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，它們依次連乘的結(jié)果

9、就是末端執(zhí)行器（手爪）在基坐標(biāo)系中的空間描述，即已知q1,q2,qn，求 ，稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解；已知 ，求q1,q2,qn，稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。上式稱為運(yùn)動(dòng)方程。綜上：第26頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四正解反解第27頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四1.5 機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解 給定機(jī)器人終端位姿，求各關(guān)節(jié)變量，稱求機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。讓我們通過下面這道例題來了解一下機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的一般步驟。前面例子最后方程為：求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解第28頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 根據(jù)第3行第4列元素對(duì)應(yīng)相等可得到依次用 左乘上面兩個(gè)矩陣，

10、得到：第29頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四根據(jù)1，4元素和2，4元素，可得到：將上面兩個(gè)方程兩邊平方相加，并利用和差化積公式得到第30頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四已知于是可得到：依次類推，分別在方程2.19兩邊左乘A1A4的逆，可得到第31頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四接下來再一次利用式由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：第32頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四最后用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素，得到：123456關(guān)節(jié)變量都是第33頁

11、，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四2.10 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)編程 在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解是相當(dāng)繁瑣和耗時(shí)的，因此需要用計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。并且應(yīng)盡量避免使用矩陣求逆或高斯消去法等相對(duì)繁瑣的算法。正確的算法是：第34頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四2.11 設(shè)計(jì)項(xiàng)目 利用本書中所介紹的四自由度機(jī)器人，結(jié)合本章所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行四自由度機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。 SCARA型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立，包括機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的表示，以及運(yùn)動(dòng)學(xué)正解、逆解等，這些是研究機(jī)器人控制的重要基礎(chǔ)，也是開放式機(jī)器人系統(tǒng)軌跡規(guī)劃的重要基礎(chǔ)。為了描述SCARA型機(jī)器人各連桿之間

12、的數(shù)學(xué)關(guān)系，采用D-H法。SCARA型機(jī)器人操作臂可以看作是一個(gè)開式運(yùn)動(dòng)鏈。它是由一系列連桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成的。為了研究操作臂各連桿之間的位移關(guān)系，可在每個(gè)連桿上固接一個(gè)坐標(biāo)系，然后描述這些坐標(biāo)系之間的關(guān)系。第35頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm裝配機(jī)器人臂）機(jī)器人坐標(biāo)系的建立 1.SCARA機(jī)器人坐標(biāo)系建立原則根據(jù)D-H坐標(biāo)系建立方法，SCARA機(jī)器人的每個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立可參照以下的三原則(1) 軸沿著第n個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軸;基坐標(biāo)系的選擇為:當(dāng)?shù)谝魂P(guān)節(jié)變量為零時(shí)，零坐標(biāo)

13、系與一坐標(biāo)系重合。(2) 軸垂直于 軸并指向離開 軸的方向。(3) 軸的方向按右手定則確定。 2.構(gòu)件參數(shù)的確定根據(jù)D-H構(gòu)件坐標(biāo)系表示法，構(gòu)件本身的結(jié)構(gòu)參數(shù) 、 和相對(duì)位置參數(shù) 、 可由以下的方法確定:(1) 為繞 軸(按右手定則)由 軸到 軸的關(guān)節(jié)角。(2) 為沿 軸，將 軸平移至 軸的距離。(3) 為沿 軸從 量至 軸的距離。(4) 為繞 軸(按右手定則)由 軸到 軸的偏轉(zhuǎn)角。第36頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 3.變換矩陣的建立全部的連桿規(guī)定坐標(biāo)系之后，就可以按照下列的順序來建立相鄰兩連桿n-1和n之間的相對(duì)關(guān)系:(1)繞 軸轉(zhuǎn) 角。(2)沿 軸移動(dòng) 。(3

14、)繞 軸轉(zhuǎn) 角。(4)沿 軸移動(dòng) 。這種關(guān)系可由表示連桿n對(duì)連桿n-1相對(duì)位置齊次變換 來表征。即：展開上式得 第37頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四由于 描述第n個(gè)連桿相對(duì)于第n-1連桿的位姿，對(duì)于SCARA教學(xué)機(jī)器人(四個(gè)自由度)，機(jī)器人的末端裝置即為連桿4的坐標(biāo)系，它與基座的關(guān)系為: 第38頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四如上圖坐標(biāo)系，可寫出連桿n相對(duì)于n-1變換矩陣 : 其中： 以下相同。相應(yīng)連桿初始位置及參數(shù)列于表2.4，表中 、 為關(guān)節(jié)變量。 構(gòu)件1000102001030010400010第39頁，共59頁，2022年，5月20日，

15、2點(diǎn)18分，星期四 各連桿變換矩陣相乘，可得到SCARA機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿方程(正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)為下 式它表示了SCARA手臂變換矩陣 ，它描述了末端連桿坐標(biāo)系4相對(duì)基坐標(biāo)系0的位姿 。SCARA機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 第40頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 SCARA機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 1.求關(guān)節(jié)變量 為了分離變量，對(duì)方程的兩邊同時(shí)左乘 ,得:即：第41頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 左右矩陣中的第一行第四個(gè)元素(1.4)，第二行第四個(gè)元素(2.4)分別相等。即: 由以上兩式聯(lián)立可得: 式中： 第42頁，共59頁，2022年，5月20日，2

16、點(diǎn)18分，星期四2 求關(guān)節(jié)變量 由式(2.87)可得: 式中：第43頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四3 求關(guān)節(jié)變量 再令左右矩陣中的第三行第四個(gè)元素(3.4)相等，可得: 4 求關(guān)節(jié)變量 再令左右矩陣中的第一行第一個(gè)元素、第二行第一個(gè)元素(1.1，2.1)分別相等，即：由上兩式可求得: 第44頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 至此，機(jī)器人的所有運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解都已求出。在逆解的求解過程中只進(jìn)行了一次矩陣逆乘，從而使計(jì)算過程大為簡化，從 的表達(dá)式中可以看出它有兩個(gè)解，所以SCARA機(jī)器人應(yīng)該存在兩組解。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和軌跡控制的理論基礎(chǔ)。

17、第45頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四對(duì)機(jī)器人相關(guān)概念的補(bǔ)充退化：當(dāng)機(jī)器人失去一個(gè)自由度，并因此不按所期望的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)即稱為退化。退化發(fā)生條件：1.機(jī)器人達(dá)到物理極限，不能進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)2.兩個(gè)相似關(guān)節(jié)共線不靈巧區(qū)域：能對(duì)機(jī)器人定位不定姿的區(qū)域稱為不靈巧區(qū)域。D-H法的局限性：無法表示關(guān)于y軸的運(yùn)動(dòng)。第46頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四退化狀態(tài)下的機(jī)器人第47頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四總 結(jié)1 用矩陣表示點(diǎn)，向量，坐標(biāo)系及變換的方法2 正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立3 用D-H法建立坐標(biāo)系及變化方程4 正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解第48

18、頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四9.2 機(jī)器人桿件，關(guān)節(jié)和它們的參數(shù) 9.2.1 桿件與關(guān)節(jié)操作機(jī)由一串用轉(zhuǎn)動(dòng)或平移（棱柱形）關(guān)節(jié)連接的剛體（桿件）組成每一對(duì)關(guān)節(jié)桿件構(gòu)成一個(gè)自由度，因此N個(gè)自由度的操作機(jī)就有N對(duì)關(guān)節(jié)桿件。0號(hào)桿件（一般不把它當(dāng)作機(jī)器人的一部分）固聯(lián)在機(jī)座上，通常在這里建立一個(gè)固定參考坐標(biāo)系，最后一個(gè)桿件與工具相連關(guān)節(jié)和桿件均由底座向外順序排列，每個(gè)桿件最多和另外兩個(gè)桿件相聯(lián)，不構(gòu)成閉環(huán)。 關(guān)節(jié)桿件末端操作手機(jī)座兩自由度關(guān)節(jié)第49頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四關(guān)節(jié)：一般說來，兩個(gè)桿件間是用低副相聯(lián)的只可能有6種低副關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)

19、動(dòng)）、棱柱（移動(dòng)）、圓柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋轉(zhuǎn)和棱柱形關(guān)節(jié)是串聯(lián)機(jī)器人操作機(jī)常見的，各種低副形狀如下圖所示：旋轉(zhuǎn)棱柱形柱形球形螺旋形平面第50頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四9.2.2 桿件參數(shù)的設(shè)定 條件關(guān)節(jié)串聯(lián)每個(gè)桿件最多與2個(gè)桿件相連，如Ai與Ai-1和 Ai+1相連。第 i 關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)軸 Ai 位于2個(gè)桿件相連接處，如圖所示， i -1關(guān)節(jié)和 i +1關(guān)節(jié)也各有一個(gè)關(guān)節(jié)軸 Ai-1 和 Ai+1。AiAi+1Ai-1第51頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 桿件參數(shù)的定義 、 、 和 li 和 li-1 在 Ai 軸 線上的交點(diǎn)

20、之間 的距離。AiAi+1Ai-1 li 和 li-1 之間的夾 角，按右手定則 由li-1 轉(zhuǎn)向 li。 由運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來看，桿件保持其兩端關(guān)節(jié)間的形態(tài)不變，這種形態(tài)由兩個(gè)參數(shù)決定：桿件長度 li 和桿件扭轉(zhuǎn)角 。桿件的相對(duì)位置關(guān)系，由另外兩個(gè)參數(shù)決定：桿件的距離 di 和桿件的回轉(zhuǎn)角 。 li 關(guān)節(jié) Ai 軸和 Ai+1 軸線公法線的長度。 關(guān)節(jié)i 軸線與i+1軸線在垂直于li 平面內(nèi)的夾角。 第52頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 上述4個(gè)參數(shù)，就確定了桿件的結(jié)構(gòu)形態(tài)和相鄰桿件相對(duì)位置關(guān)系。在轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中，li, i, di是固定值，i是變量。在移動(dòng)關(guān)節(jié)中，li,

21、i , i是固定值， d i 是變量。第53頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四9.3 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立對(duì)于每個(gè)桿件都可以在關(guān)節(jié)軸處建立一個(gè)正規(guī)的笛卡兒坐標(biāo)系（xi, yi, zi），（i=1, 2, , n），n是自由度數(shù)，再加上基座坐標(biāo)系，一共有（n+1）個(gè)坐標(biāo)系。基座坐標(biāo)系 O0定義為0號(hào)坐標(biāo)系（x0, y0, z0）,它也是機(jī)器人的慣性坐標(biāo)系，0號(hào)坐標(biāo)系在基座上的位置和方向可任選，但z0軸線必須與關(guān)節(jié)1的軸線重合，位置和方向可任選；最后一個(gè)坐標(biāo)系（n關(guān)節(jié)），可以設(shè)在手的任意部位，但必須保證 zn與zn-1 垂直。第54頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)

22、18分，星期四機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立主要是為了描述機(jī)器人各桿件和終端之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)建立運(yùn)動(dòng)方程和動(dòng)力學(xué)研究是基礎(chǔ)性的工作。為了描述機(jī)器人各桿件和終端之間轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一種為運(yùn)動(dòng)鏈中每個(gè)桿件建立附體坐標(biāo)系的矩陣方法（D-H方法） ，建立原則如下： 9.3.1 D-H關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立原則右手坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線的交點(diǎn)上 Zi軸： 與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： 與公法線Li重合，指向沿Li由Ai軸線指向Ai+1軸線 Yi軸： 按右手定則 第55頁，共59頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)18分，星期四 9.3.2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立方法AiAi+1Ai-1原點(diǎn)Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線的交點(diǎn)上 zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重