濾波器設(shè)計(jì)經(jīng)典

1、濾波器是一種二端口網(wǎng)絡(luò)。它具有選擇頻率的特性，即可以讓某些頻 率順利通過，而對(duì)其它頻率則加以阻攔，目前由于在雷達(dá)、微波、通 訊等部門，多頻率工作越來越普遍，對(duì)分隔頻率的要求也相應(yīng)提高； 所以需用大量的濾波器。再則，微波固體器件的應(yīng)用對(duì)濾波器的發(fā)展 也有推動(dòng)作用，像參數(shù)放大器、微波固體倍頻器、微波固體混頻器等 一類器件都是多頻率工作的，都需用相應(yīng)的濾波器。更何況，隨著集 成電路的迅速發(fā)展，近幾年來，電子電路的構(gòu)成完全改變了，電子設(shè) 備日趨小型化。原來為處理模擬信號(hào)所不可缺少的 LC型濾波器，在 低頻部分，將逐漸為有源濾波器和陶瓷濾波器所替代。 在高頻部分也 出現(xiàn)了許多新型的濾波器，例如：螺旋振子

2、濾波器、微帶濾波器、交 指型濾波器等等。雖然它們的設(shè)計(jì)方法各有自己的特殊之點(diǎn)， 但是這 些設(shè)計(jì)方法仍是以低頻 綜合法濾波器設(shè)計(jì)”為基礎(chǔ)，再從中演變而 成，我們要講的波導(dǎo)濾波器就是一例。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，希望大家對(duì)復(fù)變函數(shù)在濾波器綜合中的應(yīng)用 有所了解。同時(shí)也向大家說明：即使初看起來一件簡(jiǎn)單事情或一個(gè)簡(jiǎn) 單的器件，當(dāng)你深入地去研究它時(shí)，就會(huì)有許多意想不到的問題出現(xiàn)， 解決這些問題并把它用數(shù)學(xué)形式來表示， 這就是我們的任務(wù)。誰對(duì)事 物研究得越深，誰能提出的問題就越多，或者也可以說誰能解決的問 題就越多，微波濾波器的實(shí)例就能很好的說明這個(gè)情況。 我們把整個(gè) 問題不斷地 化整為零”，然后逐個(gè)地加以

3、解決，最后再把它們合在一 起，也就解決了大問題。這講義還沒有對(duì)各個(gè)問題都進(jìn)行詳細(xì)分析， 由此可知提出問題的重要性。希望大家都來試試。 1-1濾波器的基本概念圖1的虛線方框里面是一個(gè)由電抗元件 L和C組成的兩端口。它的 輸入端1-1與電源相接，其電動(dòng)勢(shì)為Eg,內(nèi) 阻為R1。二端口網(wǎng)絡(luò)的 輸出端2-2與負(fù)載R2相接，當(dāng)電源的頻率為零（直流）或較低時(shí)， 感抗j眼小，負(fù)載R2兩端的電壓降E2比較大（當(dāng)然這也就是說負(fù) 載R2可以得到比較大的功率）。但是，當(dāng)電流的頻率很高時(shí)，一方面感抗j 3度得很大，另一方面容 抗j/ 3即很小，電感L上有一個(gè)很大的壓降，電容 C又幾乎把R2 短路，所以，縱然電源的電動(dòng)勢(shì)

4、 Eg保持不變，負(fù)載R2兩端的壓降 E2也接近于零。換句話說，R2不能從電源取得多少功率。網(wǎng)絡(luò)會(huì)讓 低頻信號(hào)順利通過，到達(dá)R2,但阻攔了高頻信號(hào)，使R2不受它們的 作用，那些被網(wǎng)絡(luò) A （或其他濾波器）順利通過的頻率構(gòu)成一個(gè) 通 帶”，而那些受網(wǎng)絡(luò)A阻攔的頻率構(gòu)成一個(gè) 止帶”，通帶和止帶相接 頻率稱為截止頻率。什么機(jī)理使網(wǎng)絡(luò)A具有阻止高頻功率通過的能力呢網(wǎng)絡(luò) A是由電抗 元件組成的，而電抗元件是不消耗功率的，所以，高頻功率并沒有被 網(wǎng)絡(luò)A吸收，在圖一所示的具體情況中，它有時(shí)貯存于電感L的周圍，作為磁能；在另一些時(shí)間，它又由電感L交還給電源。如果L和 C都是無損元件（即它們的電阻等于零），那么，

5、高頻功率就是這樣 在電感與電源之間來回交換，絲毫不受損耗，這就是電抗濾波器阻止 一些頻率通過的物理基礎(chǔ)。從這個(gè)意義來說，我們可以認(rèn)為濾波器將 止帶頻率的功率發(fā)射回電源去，同時(shí)也是因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系，在止帶內(nèi)濾 波器的輸入阻抗是純電抗性的。圖一的網(wǎng)絡(luò)A是一個(gè)很簡(jiǎn)單的濾波電路，它的濾波效能是比較低的， 在許多場(chǎng)合下，往往不能滿足技術(shù)上的要求，而不得不采取更復(fù)雜的 電路結(jié)構(gòu)。然而，不管電路結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，濾波作用的物理根源還是 和前面所說的完全一樣。濾波作用是濾波網(wǎng)絡(luò)所具有的內(nèi)在特性，但濾波網(wǎng)絡(luò)所能起到的作用 還受外界因素（電源內(nèi)阻R1和負(fù)載電阻R2）的影響。濾波效能首先 決定于濾波器的內(nèi)在特性（這是主要的

6、），同時(shí)還決定于濾波器的外 加阻抗（這也是不可忽略的）。那么，濾波器效能是用什么來衡量的 呢圖二（a）表示一個(gè)電源，它的電動(dòng)勢(shì)為 Eg,內(nèi)阻為R1。設(shè)負(fù)載為R2,則當(dāng)負(fù)載直接與電源相接時(shí)，它所能吸收的功率P02為:Po2 =Po2 =(Ri 十 Rz ：現(xiàn)在我們將濾波器A接于電源與負(fù)載之間，如圖二（b）所示，由于濾 波器的特性，當(dāng)電源頻率變化時(shí)，出現(xiàn)于R2兩端的壓降E2是不同的， 即R2從電源所取得的功率P? =E 為 在不同頻率上是不等的。用分 貝來表示的P02與P2的比值稱為插入損耗Li:插入損耗Li是衡量濾波器效能的一個(gè)參數(shù)。根據(jù)上面的討論，顯然可 見，一個(gè)良好的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)

7、應(yīng)該比較低， 而在止帶內(nèi) 應(yīng)該比較高。理想的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該等于零， 而在止 帶內(nèi)應(yīng)該是無窮大。插入損耗是普通濾波器常用的參數(shù)。濾波網(wǎng)絡(luò)具有的阻抗變換特性不 難使負(fù)載R2在整個(gè)通帶內(nèi)與電源達(dá)成匹配。這時(shí)，負(fù)荷所吸收的功 率將超過P02,而使Li取得負(fù)值。根據(jù)R1和R2的比值不同，Li的這 個(gè)負(fù)值也不一樣。因此，插入損耗 Li并不是一個(gè)很方便的比較基準(zhǔn)。 為了避免這種困難，人們還提出另外一個(gè)參數(shù)，它以電源所能供給的 最大功率P0為基準(zhǔn)。從電工基礎(chǔ)我們知道：Po = E 4RP2與P0的比值，如以分貝來表示，稱為變換器損耗LA (TransducterLoss):La = lUU h

8、p根據(jù)以上給出的種種關(guān)系，可以算出：L A = Li +10 也（RRj （db）. 4R島從上式顯然可見，當(dāng)R2= R1時(shí)，變換器損耗就是插入損耗。有些參 考書上，這兩者是混為一談的。必須注意，在（2）式中，當(dāng)頻率變化時(shí)，P2是跟著變化的。在理想 的情況下，濾波器的變換器損耗 LA在通帶內(nèi)應(yīng)該是零，而在止帶內(nèi) 則應(yīng)該具有比較大的數(shù)值。根據(jù)濾波器的具體電路結(jié)構(gòu)，變換器損耗 與頻率保持有各種不同的關(guān)系。圖三給出四種典型關(guān)系，在這些圖中， 橫坐標(biāo)表示頻率以縱坐標(biāo)表示變換器損耗LA。（a凄示有關(guān)器件順 利通過低于3 1的頻率，而阻礙高于 3 1的頻率通過；這樣的器件稱 為低通濾波器（LP- Low

9、PasS。（b）的情況正好相反，稱為高通濾波 器（HP High PasS 。（c）表示有關(guān)器件順利通過至川2之間的頻率，對(duì)于低于3 1或高于2的頻率都阻礙它們通過；這樣的器件稱 為帶通濾波器（BP-Band PasS。（d）是（c）的對(duì)立面，它阻止 3 1至口2 之間的頻率通過，稱為帶阻濾波器（BS5- Band Suppress 。這些不同 的頻率特性取決于電路的具體結(jié)構(gòu)，圖四給出以上四種濾波器的基本 結(jié)構(gòu)形式，各個(gè)元件的數(shù)值是和變換器衰減的頻率特性以及所接負(fù)載 密切聯(lián)系著的。驟然看來，這四種電路結(jié)構(gòu)是很不相同的，似乎各自應(yīng)有各自的設(shè)計(jì) 方法。其實(shí)不然，通過一些數(shù)學(xué)方法，人們可以把這四種濾

10、波器電路 結(jié)構(gòu)完全統(tǒng)一起來，這里用到的數(shù)學(xué)方法叫作頻率變換”。應(yīng)用頻率變換法，其它三種濾波器都可以看作低通濾波器；在設(shè)計(jì)時(shí)，先從它 對(duì)應(yīng)的低通濾波器著手（因?yàn)檫@樣簡(jiǎn)單得多），在獲得低通濾波器的 設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)以后，再用頻率變換法，求得所要設(shè)計(jì)的濾波器的數(shù)據(jù)。因 為這個(gè)關(guān)系，滿足設(shè)計(jì)技術(shù)要求的低通濾波器稱為母型濾波器”或原型濾波器（prototype）。S)（C）(d)S)（C）(d)上面提出了衡量濾波器效能的參數(shù)-變換器損耗 LA,但是，效能 好壞的準(zhǔn)則又是什么呢在實(shí)際濾波器中，變換器損耗的頻率特性往往 不像圖三那樣理想。首先，從通帶過渡到止帶，LA是慢慢增加的，所以，衡量濾波器效能好壞的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)是

11、：從通帶過渡到止帶時(shí)，LA曲線的上升要陡峭。其次在通帶內(nèi)，變換器損耗不是完全不存在的， 一方面因?yàn)闃?gòu)成濾波器的元件多少總帶有一點(diǎn)損耗，如電感中的電 阻，電容中的漏阻等。另一方面，由于設(shè)計(jì)上的考慮，有時(shí)故意要 LA在通帶內(nèi)不能完全為零。故衡量濾波器效能的另一準(zhǔn)則是：在 LA 曲線從通帶過渡到止帶的上升程度相同的情況下，LA在通帶內(nèi)的大小究竟怎樣。對(duì)以上兩點(diǎn)的要求越高，濾波器所需用的元件越多，這將帶來生產(chǎn)工 作和造價(jià)的增加。所以，對(duì)于實(shí)際設(shè)計(jì)，應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)行全面的 考慮，只要濾波性能能夠滿足所提出的要求，那便沒有追求 LA曲線 上升過分陡峭的必要。問題在于能夠完成任務(wù)，這也就是我國老話 殺 雞

12、用不著牛刀”的意思。 1-2濾波器設(shè)計(jì)的兩種出發(fā)點(diǎn)濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)前有兩種不同的出發(fā)點(diǎn) 一種稱為鏡象參數(shù)法。它以濾波網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特性為根據(jù)。 是人們一向 用來設(shè)計(jì)濾波器的老辦法。這種方法的特點(diǎn)是：根據(jù)濾波網(wǎng)絡(luò)的具體 電路，用分析的方法推算出變換器損耗的特性。然后再將這些具體電 路拼湊起來，使總的LA特性滿足所需要的技術(shù)要求。用這種方法設(shè) 計(jì)出來的濾波器一般為K式濾波器和m式濾波器等。這種方法的優(yōu) 點(diǎn)是理論根據(jù)簡(jiǎn)單。它的缺點(diǎn)是在分析過程中沒有考慮外接負(fù)載的影 響，故在具體的設(shè)計(jì)要求提出后，需要反復(fù)試探，才能得到設(shè)計(jì)結(jié)果； 這對(duì)于缺乏經(jīng)驗(yàn)的工作人員來說，是頗費(fèi)時(shí)間的。另一種方法從插入損耗入手，它是近年

13、來應(yīng)用的很多的設(shè)計(jì)方法。這 種方法的特點(diǎn)是：根據(jù)所提出的技術(shù)要求，決定插入損耗Li（在R2=R1 時(shí)也就是孌換器損耗LA）W頻率的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān) 系，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論綜合出具體的電路結(jié)構(gòu)。所以這種方法和前面的一 種方法正好是相反的；這種方法根據(jù)要求推求電路，而鏡象參數(shù)法則 是應(yīng)用已知的特性電路拼湊出滿足要求的結(jié)構(gòu)。 這種方法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè) 計(jì)準(zhǔn)確，而且設(shè)計(jì)是已經(jīng)考慮到外接負(fù)載的影響，無需經(jīng)過多次試探 的手續(xù)。它的缺點(diǎn)是需要用到比較難深的網(wǎng)絡(luò)理論。但是 ，這個(gè)缺點(diǎn) 是可以彌補(bǔ)的，因?yàn)橹灰划?dāng)把滿足各種要求的母型濾波器設(shè)計(jì)出 來以后，后來的設(shè)計(jì)手續(xù)變成了簡(jiǎn)單的查表讀圖和應(yīng)用淺近數(shù)學(xué)方 法換算

14、數(shù)據(jù)，從實(shí)用角度來說比鏡象參數(shù)法還要簡(jiǎn)單得多 1-3綜合法濾波器引言-恩格斯說過：沒有分析就沒有綜合”。要討論綜合法濾波器就需 要從分析濾波器入手。綜合法濾波器設(shè)計(jì)又名插入損耗法。這就是 說插入損耗是該設(shè)計(jì)法的核心。現(xiàn)在需要弄清楚什么是網(wǎng)絡(luò)分析和什 么是網(wǎng)絡(luò)綜合網(wǎng)絡(luò)分析-給出一個(gè)具體網(wǎng)絡(luò)，要我們求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函 數(shù)。網(wǎng)絡(luò)綜合-它是網(wǎng)絡(luò)分析的逆過程。給出一個(gè)具體的傳遞函數(shù)， 要我們求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的電路形式和各種元件的數(shù)值。網(wǎng)絡(luò)綜合的確比分析一個(gè)具體電路要復(fù)雜得多。 而且涉及的數(shù)學(xué)公式 又多又難。但是它又是一個(gè)把數(shù)學(xué)用于工程問題的一個(gè)極好例子。所以我們還是決定詳細(xì)地講一講。我們相信這會(huì)對(duì)同學(xué)們有

15、好處的。（一）二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)工程設(shè)計(jì)中遇到的實(shí)際電路，大多可以用圖五所示的二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)來 表示。圖五的左方代表一個(gè)實(shí)際的電壓源，Eg是它的電動(dòng)勢(shì)，R1是它 的內(nèi)阻。右邊的R2代表負(fù)載。根據(jù)問題的不同 R1和R2可以取得種 種不同的數(shù)值，因?yàn)槿藗冃枰鉀Q的實(shí)際問題是多種多樣的。圖5這樣的兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)主要是用作傳輸系統(tǒng)。既然如此 ，人們首先注意的 問題是：它在外力作用下，輸出端會(huì)產(chǎn)生什么效果。譬如說，當(dāng)輸入端 1-1加上激勵(lì)電壓Eg或送進(jìn)激勵(lì)電流I1時(shí)，接于網(wǎng)絡(luò)輸出端2-2的 端載R2上的電壓E2或流過R2上的電流I2都是很重要的響應(yīng)，我們 把Eg/E2之比稱為傳遞函數(shù)。學(xué)過兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)理論，

16、我們當(dāng)然就希望用網(wǎng)絡(luò)理論來推導(dǎo)這個(gè)電壓 傳遞函數(shù)?？紤]到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)元件的復(fù)雜性，我們就用通用矩陣a來推導(dǎo) 這個(gè)傳遞函數(shù)。圖五所示結(jié)構(gòu)用a矩陣的參數(shù)來表示：根據(jù)a矩陣的定義：E = 3E 2 + BI?L = CE? + DL1先求2-2端接上負(fù)載R2時(shí)，1-1端的輸入阻抗Zin:z = E1 _ AEn + BI 也一彳- ceT+di_ AR2 + B 山 - CR. +B這樣圖五所示的網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)化為圖6那樣。該電路的電壓和電流的關(guān)系式是很容易求得的。= R-i + 山1】二 LAR2 + B 4 CR1R口 + DR1= (CR2= (CR2 +DK2 x白壇 + B + CRiR2+DrJCR

17、. +DE,支 +B + CRH +DR當(dāng) R1=R2= 1Q 時(shí),E.二二 A + B + C +D（3）因?yàn)椋瑢?duì)于純電抗網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)頻率j 3時(shí)，只有B和C是純虛數(shù)，而A和D是實(shí)數(shù)。所以，*2就是一個(gè)復(fù)數(shù)。于是又可以把它表示為：這個(gè)公式（3）是極其重要的一個(gè)關(guān)系式，它所要滿足的條件在我們一般要討論的問題中，很容易達(dá)到R1 = R2。這是因?yàn)椋鹤鳛橐粋€(gè)傳輸 系統(tǒng)總是希望把大部分功率傳到負(fù)載上去的，所以總是想盡辦法使 電流和負(fù)載匹配。這里要提的另一個(gè)問題是：為什么在公式的推導(dǎo)中，用的是R1 = R2 =1 Q,而不是具體值。R1 = R2 = 300 Q ,25跳7舸笛是：這樣可以 簡(jiǎn)化我們的討論

18、。這也 是網(wǎng)絡(luò)分析的一個(gè)極重要的結(jié)論-阻抗歸一(二)電壓傳遞函數(shù)的阻抗歸一化 人們對(duì)大量的具體電壓傳遞函數(shù)進(jìn)行分析后，總結(jié)出一個(gè)重要的特 性。如果網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)獨(dú)立的阻抗乘上一個(gè)常數(shù)因子 A后，那么，這個(gè)網(wǎng) 絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)保持不變?？紤]到以后的實(shí)際情況，我們用帶撇“的R、C和L來表示已歸一化 的元件值，單位分別是歐姆、法拉和亨利，而用不帶撇的R、C和L表 示實(shí)際電路的元件值。具體來說：對(duì)于電阻值！ R = ARP對(duì)于電容值：CK =A 對(duì)于電感值：LK = yVK這個(gè)結(jié)論可以用實(shí)際例子來說明：給我們兩個(gè)如圖7(a)(b)所示的網(wǎng)絡(luò)，要我們分別求出其各自的電壓傳遞函數(shù)，按照電工原理，我們可以求出

19、它們的電壓傳遞函數(shù)：對(duì)于圖7(a)所示的網(wǎng)絡(luò)，我們先求出其回路電流I1:二 Eg50 + 50 + jl00foEEEt = IiRn = x 50 =50(2 + j2co) 2+j2(O于是Eg 、.=2 + j2 對(duì)于圖7(b)所示的網(wǎng)絡(luò)，由于其R1=R2=Q,數(shù)簡(jiǎn)單，所以計(jì)算起來更加簡(jiǎn)潔：E豆 Eg TOC o 1-5 h z I ._ ,1+ 1 + j2o) 2 十 j2ft) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document EEE? = LRt =1-31 22 + 談 2 + j20于是%, r= 2-1- iloe2由此可見這兩個(gè)電路的電壓

20、傳遞函數(shù)是一樣的。圖7(b)的電路的各元件值只是圖7(a)的電中各元件的阻抗值擴(kuò)大了 50倍的反映。所以，這 兩個(gè)電路只有絕對(duì) 阻抗大小的差別，而對(duì)電壓分配比是一樣的。這樣, 我們就可以把阻抗之間的相對(duì)比例一樣的網(wǎng)絡(luò)歸為一類。僅僅研究它的歸一化后的電路的特性，別的阻抗值的電路，都可以從它導(dǎo) 出。(三)電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化受到上述的好處以后，我們很自然地會(huì)想到不同的頻率工作的電路， 其電壓傳遞函數(shù)是否也能歸類，研究的結(jié)果是可行的。其結(jié)論如 下：如果把工作頻率從3=1弧度/秒升高到3=哪度/秒，讓該網(wǎng)絡(luò)的所有 電阻保持不變，而把網(wǎng)絡(luò)中的所有電感L和電容C都除以B,那 么，變換后的電路的電壓傳遞

21、函數(shù)沒有變化。這是很自然的，它好像物理量的單位換算，其基本的道理仍然是使網(wǎng) 絡(luò)各元件的阻抗之比保持不變。對(duì)于電阻，因?yàn)樗凸ぷ黝l率無關(guān)，所以工作頻率變化，不影響它的 值。對(duì)于電容的電感，則有:Xt = oY Lp= wL = (rfB x LfB其中 s= L =一LrBcyB-其中 6= BR這個(gè)結(jié)論也可以用實(shí)際例子來說明 讓我們?nèi)砸詧D7(b)為例：設(shè)3=1弧度/秒,則有E-=2 + |2L = 2 + j2 1 L函數(shù)為于是，滿足保持電路的電壓傳遞函數(shù)不變的可能，只是L這正好就是從原來電感L除以頻率提 高的倍數(shù)2,其最后的具體結(jié)構(gòu)如圖8所示。R2=lR2=l阻抗歸一化和頻率歸一化的概念在網(wǎng)

22、絡(luò)理論中極為重要。因?yàn)?，今后列表中的各種元件值都是以阻抗歸一化和頻率歸一化后的元件值。各種具體阻抗和工作頻率時(shí)的具體都由它們導(dǎo)出。人們能把這兩個(gè)法則合在一起，從而能一下子同時(shí)去掉這兩個(gè)歸一化。因此，對(duì)于一個(gè)已歸一化的電路，要讓它們阻抗提高A倍，頻率提 高B倍，那么人們就有：每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電阻乘上A每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電感乘上 A/B每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電容乘上 1/AB如果一個(gè)設(shè)計(jì)有大量的元件，這個(gè)最后式是有用的。但是，我們推薦 大家研究這兩個(gè)基本概念。如果大家理解了這個(gè)原理 ，從這兩個(gè)基本 法則是很容易推論出像上式那樣的公式。因?yàn)椋狭械奶囟ǖ慕Y(jié)構(gòu)是 很容易忘記或記錯(cuò)的。（四）各種頻率特性的濾波器的歸一化在

23、引言中，我們?cè)劦接懈鞣N不同衰減特性的濾波器：低通、高通、 帶通和帶阻，而且通過數(shù)學(xué)上的變量代換，可以把它們歸并為一個(gè)低 通歸一化原型濾波器。若從數(shù)學(xué)變換的角度看，上述的電壓傳遞函數(shù) 的頻率歸一化也屬頻率變換。這里要講的實(shí)際就是從母型濾波器的數(shù)據(jù)推求實(shí)際濾波器網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié)構(gòu)。(1)頻率擴(kuò)展(頻率歸一化)母型低通濾波器的截止頻率 3 C=1假如 需要設(shè)計(jì)的低通濾波器的截止頻率不等于 1,而是3 C,則從數(shù)學(xué)角度 說相當(dāng)于將原來的頻率軸 3倍乘了 3。3 = 3 C 3 /即 GD = GJ / GJ C圖9(a)表示兩個(gè)頻率軸之間的關(guān)系，(b)表示母型低通濾波器的LA/ 關(guān)系，(c)表示換算后L

24、A之間的關(guān)系。在(b)和(c)的圖形上，我們還 把負(fù)頻率部分畫上。負(fù)頻率實(shí)際上當(dāng)然不是客觀存在的，但從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，它還是可以和LA保持一定的函數(shù)關(guān)系。這兩個(gè)圖形表明LA和頻率保持有偶函數(shù)的關(guān)系，這是由上面所提到的可實(shí)現(xiàn)性決定的。進(jìn)行這種頻率變換時(shí),設(shè)計(jì)電路的元件也跟著改變，具變化規(guī)律 前小節(jié)已經(jīng)說過了。(2)低通轉(zhuǎn)高通-如需要設(shè)計(jì)一個(gè)高通濾波器(參看圖10),它的截 止頻率是3 C,人們使新的頻率變量3與原來的3保持下列關(guān)系：C訃 co=-圖10在頻率軸上表明這種轉(zhuǎn)換關(guān)系。應(yīng)用數(shù)學(xué)上的手法人們?cè)O(shè)計(jì)高 通濾波器時(shí)，實(shí)是利用了母性低通濾波器的負(fù)頻率部分。所以要用這 一部分也可實(shí)現(xiàn)性決定的數(shù)學(xué)方

25、法的運(yùn)用必須切合實(shí)際，絕不能脫離實(shí)際進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲。由母型低通濾波器換算到高通濾波器時(shí),電路元件當(dāng)然要改變：母型 濾波器電感應(yīng)改為電容，其數(shù)值1母型濾波器的電容應(yīng)改為電感，其數(shù)值“1二一叱 C K+1圖10以后可以知道，Lk和Ck+1都是表上查得的母型低通濾波器的元件參(3)低通轉(zhuǎn)帶通-如果要根據(jù)低通濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器(參 看圖11),的截止頻率是3 1和3 2,人們需要進(jìn)行更復(fù)雜些的頻率變換 使母型濾波器的頻變量3與帶通濾波器的頻率變量3保持以下關(guān)系：式中3 2為帶通濾波器的高端截止頻率，3為低端截止頻率，3稱為中央頻率；通常令佻f(o2-(ol為帶通濾波器的通頻帶，%稱為濾波器的相對(duì)通

26、頻帶W:W通常以百分比表示，故(4)式可以改寫成由式(5)求3經(jīng)過演算和分析，人們可以得到母型濾波器的頻率軸 與新頻率軸的關(guān)系(見圖11)。根據(jù)母型低通濾波器換算帶通濾波器，電路元件變得更加復(fù)雜。母型 濾波器的電感應(yīng)改為LC串聯(lián)電路，它的電感Lk和電容Ck與母型的電感Lk保持以下關(guān)系：母型濾波器的電容應(yīng)改為LC并聯(lián)電路，它的電容Ck+1和電感Lk+1與母型的電容Ck+1保持以下關(guān)系：Lk和Ck+1都可以從母型低通濾波器的元件表上查得。低通帶止的問題，這里不再贅述了。我們把以上各種轉(zhuǎn)換關(guān)系綜合在表 1上，表內(nèi) 還列出了低通轉(zhuǎn)帶止所用到 的關(guān)系。 1-4低通濾波器的定量分析經(jīng)過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們已

27、經(jīng)了解到對(duì)于某些具體電路的分析。 可 以通過它們的歸一化低通濾波器來進(jìn)行。下面，我們來分析一到三節(jié) 歸一化低通濾波器。（一）一節(jié)低通濾波器 圖12示出了它的結(jié)構(gòu)，用電路分析，很快就可以求出：回路電流I1為:Eg之十也E.Eg之十也E.圖12若用通用矩陣a來求，此電路的通用矩陣為A/上叫|_01B二 Bi = 1QEA + B + C + D = 2 + iaiLE2和電路分析求出的結(jié)果完全一樣。不過，從過程中可以看出：后一種方法簡(jiǎn)潔很多。而且，當(dāng)元件數(shù)目越多就越顯出矩陣法的優(yōu)越。我們?cè)谶@里還要定義一個(gè)歸一化幅度函數(shù) A( 3 ):E這主要是因?yàn)閭鬟f到負(fù)載的功率，不是指電源總的輸出功率，而是指

28、最大輸出功率,而不是2 ,這樣就差了一個(gè)系數(shù)。所以一節(jié)低通 濾波器的幅度函數(shù)A（o，2 + jetiLA?(=1 + 5： = 1 + Bi#（二）二節(jié)低通濾波器圖13圖13示出了它的結(jié)構(gòu)，用電路分析解，就比較復(fù)雜了，如何解，留給同學(xué)們作練習(xí)，我們下面用通用矩陣來解它：_ 1-o/LC jL.3 +jLj1-62L3C2E2-/（LQ +C2L/ + jcML| + +CJE2- jc/LGLmk （o） = L-廠*-人）/44+ gl/（g-2lJ d + Lc；L非44A= 1 + B田 + B” + B/Z(4)對(duì)偶電路上述一列三節(jié)低通濾波電路都有其對(duì)偶電路。我們把它們都畫在圖15上。

29、它們各自的電壓傳遞函數(shù)、幅度平方函數(shù)也可以求出如下一節(jié)對(duì)偶低通濾波器:E二二二 十 jsC二節(jié)對(duì)偶低通濾波器：a/ 1 Op J叫Lj嗚lo 1 Jr i加 2 boX?i 1-C1L2_E上二十 idC十 L)E2(二1 一生二烏I3+逋1/ 44A2(w)= 1 + BjW2 + B2tt)4三節(jié)對(duì)偶低通濾波器ET = 2 -硝GG +L/：)-+ 遍也 + J + q)e3. (q 十 J lJ 3 l2c12(l2-2C3) 4A () = 1 + B加 + B3g4 + B3G)6從上面分析可以看出對(duì)偶電路各自電壓傳遞函數(shù)是不變的，它們?cè)趥鬟f能量的頻率特性上是一樣的R2=lRl=lJ

30、Ci-oL q j*工 1J-J J1-濯LJ。)LC；、 + jCg,FRl=l像這樣一節(jié)一節(jié)地推下去最終就能導(dǎo)出像圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)的低能濾波器。其幅度平方函數(shù) A2（ 3的一般表示式為：A2()= l+BiW2 + B3ft)4+ + R1t 凸產(chǎn)其中n是濾波器的元件個(gè)數(shù)。通過對(duì)低通濾波器進(jìn)行定量分析以后，得出兩個(gè)極為重要的結(jié)論： （一）一個(gè)特定的電壓傳遞函數(shù)，對(duì)應(yīng)著兩個(gè)具體電路，這兩個(gè)電路就是電工中的對(duì)偶電路。（二）對(duì)于梯形結(jié)構(gòu)的低通濾波器，它的幅度 平方函數(shù)可以表示為頻率 3作參量的一個(gè)2n階的多項(xiàng)式。又因?yàn)?A2（ aj-l Id! iJlK5 D J I & IJL B I ：

31、 ii ： II ： fi 4 HlgF JKiZ 19 til：遍潮鐮&讓躺翻球檄疑黛L.mr. *- J 八師 -. .* -bh- . - jr, , 上式就是x=x0處展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù)的誤差函數(shù)。而且，可以看出：在x=x0處的誤差函數(shù)的前K階導(dǎo)數(shù)為零。這是臺(tái)勞近似法的一個(gè)性質(zhì)。其實(shí)我們可以得出如下定義：如果g(x)-f(x)的前K階導(dǎo)數(shù)在x=x0處為零，則f(x)為g(x)在x=x0處的K階臺(tái)勞近似式。臺(tái)勞型近似法中，在x=x0處誤差為零；而隨著x-x0的增大，誤差增加。因而，這一近似法有利于接近x0的所有x值，而不利于接近區(qū)域兩端的點(diǎn)。其實(shí)這個(gè)近似僅在 x0點(diǎn)十分好，在這一點(diǎn)不僅兩個(gè)函

32、數(shù) 完全相同，而且，它們的若干導(dǎo)數(shù)也完全相同。如果，近似函數(shù)f(X)沿給定函數(shù)g(x)來回?cái)[動(dòng)，則兩者的差將有峰值和谷值，某些峰值將是很大，而某些峰值則很小。f(x)越復(fù)雜，即f(x)的可調(diào)整參數(shù)越多彳導(dǎo)到的近似就越好。假設(shè)，我們規(guī)定f(x)有n個(gè)參數(shù)例如:為具有n個(gè)可調(diào)數(shù)例如:為具有n個(gè)可調(diào)整系數(shù)的多項(xiàng)式最佳近似的一種方法是這樣。它使得誤差函數(shù)的最大值降到最小。我們稱此近似法為切比雪夫近似法 由上可知，對(duì)一個(gè)函數(shù)g(x)或圖形進(jìn)行近似，方法是多種的，上述的 臺(tái)勞級(jí)數(shù)近似法和切比雪夫近似法都是最常用的，此外還有一些近 似法，如橢園函數(shù)近似法。不過，不同的近似法有它各自的特點(diǎn)。所 以就有選擇的余

33、地。(三)最大平滑近似圖17示出了一個(gè)理想低通濾波器，其幅度和截止角頻率3 c都標(biāo)稱為1。這個(gè)理想低通濾波器傳遞函數(shù)為耳(j3)=gO|(il耳(js) = 031Li=10I$|Fi|2圖17 這樣的理想特性是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，其幅 度必須是3的連續(xù)平滑函數(shù)，而圖17的特性則不然，它在3=1處要 折轉(zhuǎn)一個(gè)直角。因此，在綜合過程中，需用近似方法求出一個(gè)有理函 數(shù)來近似圖17的特性。一種簡(jiǎn)單的近似稱為最平幅度特性近似。 這一近似函數(shù)必須是有理函 數(shù),在通帶內(nèi)，即 三同三1的范圍內(nèi)，幅度平方要近似于1。而在 通帶之外，即阿1的范圍，幅度的平方逐漸趨于無窮大。首先，假 定傳遞函

34、數(shù)的無窮大點(diǎn)產(chǎn)生在頻率等于-處，則有：G向 1=照詢/=1 +-F 氏d 4泮其中指數(shù)n和系數(shù)b是待定的常數(shù)，它們的數(shù)值與所求的近似程度有關(guān)。在上式分母中的第一項(xiàng)的系數(shù)取為 1是為了保證近似函數(shù)與給定 函數(shù)在3=0時(shí)重合，在通帶內(nèi)誤差函數(shù)為：Gj (至口 Bn-1=0,于是，函數(shù)G()= 1 +十 Bk+1o2(k+1)-f . + Bna就是對(duì)于幅度為1的K階臺(tái)勞近似。對(duì)于給定n值的最高階臺(tái)勞近似函數(shù)為：G(w2)=l + Bnaj2n上式稱為最平幅度特性近似函數(shù)。在截止頻率處 (3 =1)，上式化為：GM)= l+B.系數(shù)Bn取決于截止頻率處，人們規(guī)定是什么樣的幅度，當(dāng)Bn=1時(shí)，G（12

35、）=2,于是截止頻率3=處對(duì)應(yīng)著輸出功率下降3 db,輸出幅度下 降倍。這種最平幅度近似還有一個(gè)名字叫做勃脫瓦茲 （Butterworth）響 應(yīng)。多項(xiàng)式1+。聲也叫做n階勃脫瓦茲多項(xiàng)式。（四）切比雪夫（Chebyshev近似現(xiàn)在我們?cè)儆懻摿硪环N近似方法。這就是讓近似函數(shù)在給定函數(shù)附近 擺動(dòng)，使誤差平均地分布在整個(gè)頻帶內(nèi)。同時(shí)我們還把最大值的大小 減到最小，這也就等于偏離近似。我們把這種近似叫做切比雪夫近 似。由于在工程中很有用，所以打算詳細(xì)地來講。一般的問題為在區(qū)間（-1,+1）范圍內(nèi)求出與某一常數(shù)為切比雪夫近似的m階多項(xiàng)式的系數(shù)（將軸歸一化成頻率帶邊緣等于1）誤差函數(shù) 本身為一 m階多項(xiàng)式

36、，設(shè)為h（）,且其階狀如圖18所示，其中| h峰值被歸一化于1根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知，一個(gè)m階切比雪夫近似的誤差函數(shù)在近似區(qū)域 內(nèi)應(yīng)達(dá)峰值m+1次；m-1個(gè)出現(xiàn)于近似區(qū)內(nèi)，2個(gè)出現(xiàn)于邊界上。在區(qū) 內(nèi)的峰值點(diǎn)上，h的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零，且所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)應(yīng)為一階零點(diǎn)?，F(xiàn)在, 設(shè)有多項(xiàng)式1-h2;它在所有m+1個(gè)h峰值點(diǎn)將等于零，因?yàn)樵谶@些點(diǎn) 上，h= 土 1而且,它在區(qū)內(nèi)峰值點(diǎn)上將有二階零點(diǎn)。 這可由1-h2的導(dǎo)數(shù) 2hh在這些點(diǎn)也零而得出。在兩端二士電，1-h2僅有一階零點(diǎn)。因止匕 1-h2除了含有(h)2及(1-3 )(1+ &氏無其他因子。這樣我們有以及以及dli . 1d -士其中，K為常數(shù)。h的解可由上

37、式積分得出。其結(jié)果為：-11j 1-1”CQf? 11 = CO 另(0K已知，當(dāng)由-1到+1, h在1間擺動(dòng)m次，這就確定了 K=1/m ,所以h=Cos(m Cos-)| w | )= cos(m cos-1 )-1 co 1圖19示出了幾個(gè)低階切比雪夫多項(xiàng)式圖形及其數(shù)學(xué)表達(dá)式(c) T”尸 - 8co(c) T”尸 - 8co3 +1(d)Ts (o)=l 6g? -2Ooj3 +5c圖19(五)最大平滑濾波器的綜合在我們研究了近似條件和某些特定的近似函數(shù)，加上網(wǎng)絡(luò)分析時(shí)推 導(dǎo)的結(jié)論：圖16所示的梯形結(jié)構(gòu)低能濾波器，其幅度平方函數(shù)A2(co) 的一般表示式為：=1+B】蘇+ 和+ B速、

38、+ 1V科其中n是濾波器的元件個(gè)數(shù)，我們就有條件來綜合濾波器的元件。在近似理論中已經(jīng)指出：理想的低通濾波器特性可以采用臺(tái)勞近似。 它的最高階近似就是勃脫瓦在茲(最大平滑)響應(yīng)。它要求低通濾波器 的幅度平方函數(shù)滿足下列公式：G(,冽。產(chǎn)(8)其中n為濾波器的元件個(gè)數(shù)。比較(7)式(8)式就知道，如果希望用上述 梯形結(jié)構(gòu)來綜合濾波器只要令這兩個(gè)公式中的各項(xiàng)系數(shù)相等，則有：t二1B1 = = Bn-1 = 0利用這個(gè)條件，我們就可以解出滿足最大平滑函數(shù)的濾波器。下面就 來找找看：一節(jié)最大平滑低通濾波器：根據(jù)定量分析，一節(jié)低通濾波器的幅度平方函數(shù)的數(shù)學(xué)式為：,T2A3(o)=要滿足最大平滑的要求，則有

39、:I?L = 2=Bn = 1;L = 2取 L = 2L=-2是物理上不能實(shí)現(xiàn)的。二節(jié)最大平滑低通濾波器： 其幅度平方函數(shù)的通用式為：A洞土生堂療+年小則有：口 _(LgB1-L1 = 土Lh = 上亞?。篖 = 口工二血其他解無物理意義。三節(jié)最大平滑低通濾波器其幅度平方函數(shù)的通用式為A%加一二CJ / +土變金卬44十區(qū)乜江 + 一小?切6要滿足最大平滑的要求，則有:L+Lg-J)4J乜-江3)+ .3乜44T 2C 3L=B3 = 1=B3 = 1求解并取有理解為當(dāng)3 c=1弧度/秒時(shí)，L1=L3=1亨利)C2=2區(qū)拉)從上述討論，已經(jīng)可以看出，當(dāng)濾波器節(jié)數(shù)超過四節(jié)以上，直接求 解法就顯得得很困難了。這里我們就要用到復(fù)變函數(shù)理論來求高階最大平滑濾波器。我們還是從最大平滑近似函數(shù)出發(fā)：A2()=1+2n 用S=j(o把平