新版解析函數(shù)公開課一等獎優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎課件

1、第二章 解析函數(shù)1 復變函數(shù)導數(shù) 一、復變函數(shù)導數(shù) 二、復變函數(shù)導數(shù)存在充要條件 三、解析函數(shù) 四、初等函數(shù) 2 多值函數(shù)和單值分枝3 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)第1頁第二章 解析函數(shù)1 復變函數(shù)導數(shù) 一.復變函數(shù)導數(shù) 1、導數(shù)定義存在，則稱函數(shù)f (z)在z0處可導(可微)，稱該極限值為f (z)在z0處導數(shù)(微商)，記作 設(shè)w=f (z)在z0 鄰域內(nèi)有定義，z0+z鄰域內(nèi)，假如極限第2頁 定義 (-語言 )對于任意給定0，存在()0,當 時，有注意： z0方式是任意。第3頁 2、求導法則第4頁說明假如函數(shù)w=f(z)在區(qū)域B內(nèi)每一點可導，則稱f(z)在區(qū)域B內(nèi)可導：兩個例子：1. 求dzn/dz

2、=nzn-1 2. 求證w= 在z平面上處處連續(xù)，但處處不可導可導必連續(xù)。第5頁第6頁第7頁設(shè)z沿著平行于x軸方向趨向于0，因而y = 0 , z = x,這時極限設(shè)z沿著平行于y軸方向趨向于0，因而x = 0, z = iy,這時極限所以 導數(shù)不存在，原函數(shù)在復平面上處處不可導。 第8頁 3 可導和連續(xù)關(guān)系 我們知道：若復變函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點極限一定存在，反之不一定成立.那么可導與連續(xù)有何關(guān)系？ 若函數(shù)在某點可導，必在該點連續(xù)但反之不一定成立. 如上例 ，顯然在復平面上處處連續(xù)但在復平面處處不可導.第9頁二、復變函數(shù)導數(shù)存在充要條件可導條件分析C-R條件ux = vy vx =

3、-uy充分條件偏導數(shù) ux ，vy ，vx ，uy 連續(xù)滿足C-R條件意義可導函數(shù)虛部與實部不是獨立，而是相互緊密聯(lián)絡(luò)。第10頁Cauchy-Riemann條件必要條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點z=x+iy可導，那么有逆命題不成立f(z)在z=0處不可導第11頁充分條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處滿足那么f(z)在z=x+iy處可導。逆命題不成立其實部在原點不連續(xù)第12頁柯西黎曼條件應用 例2.1.3 討論函數(shù) 在復平面上可導性。 【解】 注意到 ，判斷 C-R條件是否成立 即 ，顯然在復平面處處不滿足C-

4、R條件，故原函數(shù)在復平面處處不可導。 說明：上述例題告訴我們，用C-R條件來判斷函數(shù)不可導是方便但當滿足C-R條件時，函數(shù)就一定可導嗎？ 第13頁第14頁 依據(jù)函數(shù)可導定義式有 當 ，（且使得 ），那么當z沿射線 趨于0時，上式比值為 ，顯然不一樣 趨向得到不一樣值，故原函數(shù)在z0=0 處不可導。 本例題告訴我們即使函數(shù)滿足C-R條件，依然可能不可導那么C-R條件還需加上什么條件才能確保函數(shù)可導呢？所以需要討論可導充分必要條件.第15頁定理 設(shè)函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)，則f (z)在D內(nèi)一點z=x+iy可導充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可

5、微，而且在該點滿足Cauchy-Riemann(柯西黎曼)方程 且意義：可導函數(shù)虛部與實部不是獨立，而是相互緊密聯(lián)絡(luò)。第16頁導數(shù)計算公式極坐標下Cauchy-Riemann條件設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy可導，那么第17頁三、解析函數(shù)概念 1、定義 若函數(shù)w=f (z)在點z0及其鄰域內(nèi)處處可導，則稱函數(shù)w=f (z)在點z0處解析。 若函數(shù)w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導，則稱函數(shù)w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，或稱f (z)是區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)。 若w=f (z)在點z0不解析，則稱點z0為w=f (z)奇點。 應該注意，可導與解析關(guān)系.就個別點來說，可導與解析

6、是兩個不一樣概念，但就區(qū)域而言，可導與解析則是等價概念。第18頁 由導數(shù)運算法則和解析函數(shù)定義，輕易得到下述結(jié)論： 定理 兩個解析函數(shù)和、差、積、商(分母不為零)及復合函數(shù)依然解析，有理分式函數(shù) (其中P(z)、Q(z)都是多項式)，除去使Q(z)=0點外處處解析。第19頁2、 函數(shù)解析充要條件 定理 函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可導，而且滿足Cauchy-Riemann(柯西黎曼) (C-R)方程 例：討論以下函數(shù)連續(xù)性、可導性和解析性第20頁例：假如函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)，那么它一定能單獨

7、用z來表示（即w=f(z),而與 無關(guān)， 即 。 證：第21頁四、初等函數(shù) 1.冪函數(shù) 性質(zhì)：單值，復平面上處處解析。 3.指數(shù)函數(shù)定義：設(shè)z=x+iy是任意復數(shù)，指數(shù)函數(shù)ez定義為 2.分式函數(shù) 性質(zhì)：單值，復平面上除了Q(z)=0外處處解析， Q(z)=0和z= 是奇點。 第22頁性質(zhì)： (3)指數(shù)函數(shù)不取零值：ez0，即復平面上 無零點。 (1)服從加法定理：對于任意z1，z2，有 (2)周期性：ez以2i為周期 (4)ez在復平面上解析，且 (5) 不存在， z= 是奇點第23頁第24頁注意 (1)ez可能取負值。比如，即不滿足Rolle(洛爾)定理，可見數(shù)學分析中微分中值定理不能推廣

8、到復平面上來。 (2)在復平面上，ez=ez+2ki(k為整數(shù))，但第25頁 4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 稱為復數(shù)z正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。 (2)解析性：在復平面上處處解析（為何？） 且 (1)當z為實數(shù)時，與普通正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相同。2）性質(zhì) (4)遵從通常三角恒等式 (3)周期性：以2為周期 1）定義：把第26頁 （5）無界函數(shù)： 與 不成立！ 我們把 分別稱為z正切、余切、正割和余割函數(shù)。 第27頁第28頁 雙曲函數(shù) 我們分別稱為雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)。第29頁第30頁 雙曲函數(shù)性質(zhì) (2)解析性 (1)奇偶性 (3)加法定理成立 (4)周期性 (5)與三角函數(shù)關(guān)系第31頁

9、2 多值函數(shù)和單值分枝 1.根式函數(shù)-冪函數(shù)反函數(shù) 多值函數(shù)，n值 根式函數(shù)多值性源于輻角多值性，也能夠說，是因為自變量z能夠繞支點轉(zhuǎn)動，造成輻角改變假如以某種方式把z平面割破，使得自變量z不能繞支點轉(zhuǎn)動，這等價于對宗量輻角取值范圍加以限制，則函數(shù)值就變成確定，也就是得到了一個單值分支對輻角取值范圍加以不一樣限制就得到不一樣單值分支 第32頁 對于一個給定點z0和給定函數(shù)w=f (z)，假如變點z在z0點充分小鄰域內(nèi)繞z0轉(zhuǎn)一周回到原來點時，函數(shù)值與原來值不相同，則稱此z0點為函數(shù)f (z)支點。 根式函數(shù)如在復平面上割破(連接z=0和z=點)負實軸(標準上，可用任一條連結(jié)z=0和z=射線，把

10、z平面割破)，點z就算也不能繞支點z=0和支點z=回繞了。所以，任意點幅角都是唯一確定。 普通地，用來割破z平面借以分出多值函數(shù)單值分支割線，稱為支割線(通俗地說，支割線就是支點連線)。第33頁 函數(shù) 黎曼面 在z平面上割破(連接z=0和z=)負實軸，能夠得到 兩個不一樣完全分離單值函數(shù)。第34頁為了直觀地表示出w0及w1來，我們構(gòu)想兩個z平面相重迭，原點位置與實軸、虛軸方向都相同，在上平面用D0表示，相當于-；在下平面用D1表示，相當于3,而且沿著支割線(即從原點出發(fā)負半軸)使D0上岸(=)與D1下岸(=)粘合,并使D1上岸(=3)與D0下岸(=-)“粘合”，這么模型就是 黎曼面。 兩葉截口

11、處相互交叉，其在支割線垂直縱面如圖。第35頁 2.對數(shù)函數(shù)-指數(shù)函數(shù)反函數(shù)表示式：稱 為Lnz主值，記為lnz，即 定義：滿足 函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù)，記為為一單值函數(shù)對數(shù)函數(shù)為無窮多值函數(shù)，對每一個k值稱為Lnz一個分支第36頁 解析性：w=Lnz在各個分支，即除去原點及負實軸平面內(nèi)解析，而且有相同導數(shù)值 。 性質(zhì):設(shè)z10,z20，則 注意 普通不能有 ln(z1z2)=lnz1+lnz2 等式子，這一點要尤其小心。第37頁第38頁 2）等式 不再成立。(請舉出例子) 注意 1) 在復變函數(shù)中，負數(shù)也有對數(shù)。這一點和實變函數(shù)中不一樣，而且正實數(shù)對數(shù)在復變函數(shù)中也是無窮多值。第39頁

12、3.普通冪函數(shù) 我們定義 Zs=eslnz (s為復數(shù)，z0)為普通冪函數(shù)。 因為 所以，普通來說zs是一個多值函數(shù)，稱 為zs主值。第40頁 尤其(1)當s=n(n為正整數(shù))時，w=zs=zn為單值函數(shù)，它是zn次乘方。 (2)當s=-n(n為正整數(shù))時，(3)當 (n為正整數(shù))時， ,為根式函數(shù)， 是n多值函數(shù) (4)當 (p和q為互質(zhì)整數(shù)，q0)時， zs含有q個不一樣值，即當k=0,1,q-1時對應各個值(5)當s是無理數(shù)或普通復數(shù)(Ims0)時，zs含有沒有窮多值。第41頁 (1)zs在除去原點與負實軸z平面上解析，而zn在整個z平面上解析(當n取負整數(shù)時除去原點)。 普通冪函數(shù) w

13、=zs解析性在單值分支內(nèi)普通冪函數(shù)是單值函數(shù) w=zs=eslnz也是除去原點與負實軸z平面上解析函數(shù)，而且 注意 普通冪函數(shù)zs與整數(shù)次冪函數(shù)zn有以下兩點較大區(qū)分： (2)zs是無窮多值函數(shù)，而zn是單值函數(shù)。第42頁4.反三角函數(shù) 定義：滿足z=sinw （z=cosw)函數(shù)w=f(z)稱為反正(余）弦函數(shù)，記為 。 第43頁第三節(jié) 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)一、Laplace方程和調(diào)和函數(shù) 二元函數(shù)u(x,y)有連續(xù)二階偏導數(shù)，且滿足Laplace方程 則u(x,y) 是調(diào)和函數(shù)。第44頁二、解析函數(shù)實部和虛部是調(diào)和函數(shù) 如 是解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y) 是調(diào)和函數(shù)。第45頁三、共軛調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)實部和虛部是調(diào)和函數(shù)，不過任何二個調(diào)和函數(shù)并不一定能組成解析函數(shù)，能夠組成解析函數(shù)二個調(diào)和函數(shù)稱為共軛調(diào)和函數(shù)。 定義: 設(shè)f (z)=u+iv為解析函數(shù)，則稱v為u共軛調(diào)和函數(shù)。 利用C-R條件，能夠求出任何一個調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)，普通有二個方法： 1）利用C-R條件進行積分， 2）利用全微分進行積分, 3) 不定積分法（第三章中講）。 第46頁1）利用C-R條件進行積