高一數(shù)學(xué)不等式證明經(jīng)典例題

1、典型例題一例若，證明（且）分析和兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后比較法證明解法（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗詌og)log)log)綜合（）（）知分析直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來(lái)去絕對(duì)值符號(hào)解法作差比較法因?yàn)?，所以說(shuō)明：解法一用分類(lèi)相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào)；解法二用對(duì)數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡(jiǎn)捷、明快典型例題二例2設(shè)b，求證：bbbb.數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式證明：bbbbbbbbbb，bbb.bbbbb又bb，bbbb.說(shuō)明：本題考查不等式的證明方法比較法作商比較法).作商比較法證明不等式的

2、步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與的大小.典型例題三例對(duì)于任意實(shí)數(shù)、b，求證bb（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)）分析的不等式中有b，b出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：b（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)）兩邊同加(b):b)(b)，即：bb（）又：b（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)）兩邊同加(b):b)(b)bbbb（）由（）和（）可得bb（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取等號(hào)）說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式綜合法證明不等式主要是出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來(lái)解典型例題四例已知、b、，b，求證b分析b考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如b，再利b的技巧證明：bbbbbbbbbbbbbb

3、bb，同理：，b。bbbb數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的典型例題五例已知b，求證：0.bb的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書(shū)寫(xiě)，所以此題用兩種方法來(lái)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程.證明一：(分析法書(shū)寫(xiě)過(guò)程)為了證明0bb只需要證明bbbbb,bb0成立bb0成立bb證明二：(綜合法書(shū)寫(xiě)過(guò)程)bbb0bb成立bb0成立bb說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚.典型例題六例6若b，且b，求證：.分析找證明途徑但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步證明：為要證.只需證，即證，也就是()，即證，即證b，b,b，b，故即有，又由b可得b成立

4、，所求不等式成立證需證”，綜合法的書(shū)寫(xiě)過(guò)程是：“因?yàn)椋ǎ┧曰斓湫屠}七例若b，求證b分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)、宜用反證法b，則b(b)(b)b)，而b，故bb從而，bbbb這與假設(shè)矛盾，故b證法二：假設(shè)b，則b，故bbb，即bb，即b，這不可能從而b證法三：假設(shè)b，則bbb由b，得(b)，故(b)又bbb，bbbb，即b這不可能，故b推至與已知事實(shí)矛盾以否定語(yǔ)句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過(guò)頭”時(shí)，都可以考慮用反證法典型例題八例設(shè)、為正數(shù)，求證分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法證明：要證，只需證，即證，化簡(jiǎn)得，原不等式成立說(shuō)明：本題證明易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤證法：，然后分；且；且來(lái)討論，

5、結(jié)果無(wú)效用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一要條件也可以典型例題九例已知，求證值域進(jìn)行證明證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)r，可設(shè)r，r，其中rrrr)由，故rr)r而r，r，故說(shuō)明：三角代換是最常見(jiàn)的變量代換，當(dāng)條件為r或r或b時(shí)，均可用三角代換用換元法一定要注意例例設(shè)是正整數(shù)，求證確性典型例題十分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來(lái)，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍；證明：由；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n時(shí)，說(shuō)明：由如證明，如果從第由項(xiàng)開(kāi)始放縮，正好可證明；如果從第項(xiàng)放縮，可得小于當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化、放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)

6、大分子，分式值增大；縮小分但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后便于求和典型例題十一例已知b例已知b，求證：bb的形式，因而用分析法證明較好證明：欲證bb證明：欲證bb，即要證b(b)b只須證bbbbb，bbbb即要證bbb，即要證bbbb，即bb故b即要證b故bbb，（*）顯然成立，bbb說(shuō)明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件分析法通常采用“欲證只要證即證已知”的格式典型例題十二例如果，求證：（保持兩邊項(xiàng)數(shù)相同由bb，易得b，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明證明：b而得到的左右兩邊都是三項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是b公式的

7、連續(xù)使用如果原題限定，則不等式可作如下變形：進(jìn)一步可得到：顯然其證明過(guò)程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)思路還要有一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程典型例題十三例13已知，b，求證：在)b，b)，三數(shù)中，不可能都大于成立，則)b，b)，)三數(shù)都大于去導(dǎo)出矛盾證明：假設(shè))b，b)，)三數(shù)都大于即)b，b)，)又，b，)b，b)，)bb)又)bb，b)b，)以上三式相加，即得：)bb)顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證反證法的證明過(guò)程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想典型例題十四例已知bb，即只需證把變?yōu)?，?wèn)過(guò)程，b只需證bb，即，移項(xiàng)，得由、b、為正數(shù)，得原不等式成立證法二：、b、為正數(shù)，即，故bb

8、，bb，說(shuō)明：題中給出的，b，只因?yàn)?、b、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來(lái)求證，問(wèn)題就不好解決了原不等式中是用“不大于”連結(jié)，應(yīng)該知道取等號(hào)的條件，本題當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)證明不等式不論采用何種方法，僅僅是一個(gè)手段或形式問(wèn)題，我們必須掌握證題的關(guān)鍵本題的關(guān)鍵是證明典型例題十五bb例15已知，且bbbb，欲證b，欲證M，聯(lián)想到正、余b便，由條件b，b可換元，圍繞公式來(lái)進(jìn)行證明：令，b，且，則1(bb()()，即b成立b說(shuō)明：換元的思想隨處可見(jiàn)，這里用的是三角代換法，這種代換的換元法有：若，可設(shè),；若，可設(shè)，；若，可設(shè)r，r，且r典型例題十六例16已知是不等于的正數(shù)，是正整數(shù)，求證n)nnn分析：從求證

9、的不等式看，左邊是兩項(xiàng)式的積，且各項(xiàng)均為正，右邊有的因子，因此可考慮使用均值不等式證明：是不等于的正數(shù)，又nn將式，兩邊分別相乘得，nnnn說(shuō)明：本題看起來(lái)很復(fù)雜，但根據(jù)題中特點(diǎn)，選擇綜合法求證非常順利由特點(diǎn)選方法是解題的關(guān)鍵，這里因?yàn)?，所以等?hào)不成乘性證得結(jié)果這也是今后解題中要注意的問(wèn)題典型例題十七例已知，且，求證找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再?zèng)Q定證題方法證明：要證，只需證，只需證，)，成立說(shuō)明：此題若一味地用分析法去做，難以得到結(jié)果在題中得到只需證后，思路已較清晰，這時(shí)改用綜合法，是一種例例求證立的典型例題十八并，右邊只有一項(xiàng)注意到這是一個(gè)嚴(yán)格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可nnnnnnnn，nnn說(shuō)明：此題證明過(guò)程并不復(fù)雜，但思路難尋本題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法，即放縮法這類(lèi)題目靈活