淺談圓周率的由來和應(yīng)用

1、 / 16淺談圓周率的由來和應(yīng)用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）班級(jí)： 2009 級(jí)姓名： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 1 圓周率的由來6古希臘求值 7古中國求值 7伊斯蘭求值 8現(xiàn)代求 值 8 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 圓周率的歷史價(jià)值9通過 找出各種表達(dá)式9通過 計(jì)算圓的面積和周長9用 來進(jìn)行一些函數(shù)的定義，積分的計(jì)算，指數(shù)的構(gòu)成 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 圓周率的應(yīng)用10用圓周率來測試計(jì)算機(jī)性能10

2、圓周率在C語言中的應(yīng)用10參考文獻(xiàn) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 結(jié)論 14參考文獻(xiàn)15摘要為了探索圓周率在各種方面上的廣泛應(yīng)用，通過網(wǎng)上以及書籍上的查找知道了圓周率各種各樣的由來方法，還知道了可以由圓周率找到各種級(jí)數(shù)和函數(shù)等多種表達(dá)式，還包括通過來計(jì)算圓的周長和面積，以及一些函數(shù)的定義、積分的計(jì)算、指數(shù)的構(gòu)成都要用到，最終得到了圓周率在測試計(jì)算機(jī)性能上的應(yīng)用以及圓周率在C語言方面中的應(yīng)用等等關(guān)鍵詞：圓周率；周長；面積；級(jí)數(shù)AbstractIn order to explore the PI in various aspects on a

3、wide range of applications, through the Internet and books to find that the Pi of various origin, also know by PI find various series and function and so on many kinds of expressions, including through the PI to calculate the perimeter and the area of a circle, as well as some definition of function

4、 and integral calculation exponential form should be used for PI, PI is finally obtained the test computer performance on the application of PI in the C language and application and so on.Keywords:Pi ; Perimeter; The measure of area;Series引言眾所周知，圓周率一般以來表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)它定義為圓形之周長與直徑之比它也等于圓形之面積與半

5、徑平方之比是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值圓周率是一個(gè)常數(shù)（約等于3.1415926） ，是代表圓周長和直徑的比例它是一個(gè)無理數(shù)，即是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)圓周率在生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用非常廣泛，在科學(xué)不很發(fā)達(dá)的古代，計(jì)算圓周率是一件相當(dāng)復(fù)雜和困難的工作俗話說得好，“有理走遍天下，無理寸步難行”圓周率 好比這個(gè)“理”有了圓周率不僅解決了困惑眾多數(shù)學(xué)家的三大著名幾何問題之一的化圓為方的不可能性更為后續(xù)的數(shù)學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)因此，圓周率的理論和計(jì)算在一定程度上反映了一個(gè)國家的數(shù)學(xué)水平本文通過對(duì)圓周率各個(gè)時(shí)期由來的認(rèn)識(shí)，深刻的理解到圓周率的歷史價(jià)值，包括通過 找出各種表達(dá)式，通過計(jì)算圓的面積和周

6、長，一些函數(shù)的定義，積分的計(jì)算，指數(shù)的構(gòu)成等都要用到；最后還介紹了圓周率在測試計(jì)算機(jī)性能上的應(yīng)用和圓周率在C語言上的應(yīng)用圓周率的由來 TOC o 1-5 h z 很早以前 , 人們看出 , 圓的周長和直經(jīng)的比是個(gè)與圓的大小無關(guān)的常數(shù),并稱之為圓周率.1600 年 , 英國威廉 . 奧托蘭特首先使用表示圓周率, 因?yàn)槭窍ＥD之“圓周”的第一個(gè)字母 , 而 是“直徑”的第一個(gè)字母 , 當(dāng) =1 時(shí) , 圓周率為.1706 年英國的瓊斯首先使用.1737 年歐拉在其著作中使用. 后來被數(shù)學(xué)家廣泛接受, 一直沒用至今.是一個(gè)非常重要的常數(shù). 一位德國數(shù)學(xué)家評(píng)論道：“歷史上一個(gè)國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度

7、, 可以做為衡量這個(gè)這家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的重要標(biāo)志. ”古今中外很多數(shù)學(xué)家都孜孜不倦地尋求過 值（如圖1 所示）的計(jì)算方法.圖1 TOC o 1-5 h z 古希臘求值公元前 200 年間古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首先從理論上給出值的正確求法 . 他用圓外切與內(nèi)接多邊形的周長從大、小兩個(gè)方向上同時(shí)逐步逼近圓的周長 , 巧妙地求得公元前 150 年左右 , 另一位古希臘數(shù)學(xué)家托勒密用弦表法（ 以 1 的圓心角所對(duì)弦長乘以360再除以圓的直徑） 給出了 的近似值3.1416.古中國求值公元 200 年間 , 我國數(shù)學(xué)家劉徽提供了求圓周率的科學(xué)方法 割圓術(shù) 1（如圖 2 所示） , 體現(xiàn)了極限觀點(diǎn). 劉徽

8、與阿基米德的方法有所不同, 他只取 “內(nèi)接” 不取 “外切” . 利用圓面積不等式推出結(jié)果, 起到了事半功倍的效果. 而后 ,祖沖之在圓周率的計(jì)算上取得了世界領(lǐng)先地位, 求得“約率”和“密率”（ 又稱祖率 ）得到 3.1415926 3.1415927. 可惜 , 祖沖之的計(jì)算方法后來失傳了.人們推測他用了劉徽的割圓術(shù), 但究竟用什么方法, 還是一個(gè)謎.正六邊形正十二邊形正二十四邊形正四十八邊形圖2伊斯蘭求值15 世紀(jì) , 伊斯蘭的數(shù)學(xué)家阿爾. 卡西通過分別計(jì)算圓內(nèi)接和外接正3 2 邊形周長 , 把 值推到小數(shù)點(diǎn)后16 位 , 打破了祖沖之保持了上千年的記錄.1.4 現(xiàn)代求 值本世紀(jì) 50 年

9、代以后 , 圓周率 的計(jì)算開始借助于電子計(jì)算機(jī), 從而出現(xiàn)了新的突破 . 目前有人宣稱已經(jīng)把計(jì)算到了億位甚至十億位以上的有效數(shù)字.人們試圖從統(tǒng)計(jì)上獲悉的各位數(shù)字是否有某種規(guī)律. 競爭還在繼續(xù), 正如有人所說, 數(shù)學(xué)家探索中的進(jìn)程也像這個(gè)數(shù)一樣: 永不循環(huán) , 無止無休2 圓周率的歷史作用通過 找出各種表達(dá)式1579 年法國韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了關(guān)系式，首次擺脫了幾何學(xué)的陳舊方法，尋求到了 的解析表達(dá)式1650年瓦里斯把表示成無窮乘積，無窮連分?jǐn)?shù)，無窮級(jí)數(shù)等各種值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，值計(jì)算精度也迅速增加稍后，萊布尼茨發(fā)現(xiàn)接著歐拉證明了這些公式的計(jì)算量都很大盡管形式非常簡單，值的計(jì)算方法的最大突破是找到了它的反正

10、切函數(shù)表達(dá)式1706 年英國數(shù)學(xué)家麥欣首先發(fā)現(xiàn)了其計(jì)算速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過方典算法通過 計(jì)算圓的面積和周長某個(gè)古代文牘員以不同長度的半徑畫了一些圓，他取了每個(gè)圓的直徑（將半徑加倍）只是為了好玩他決定以每個(gè)圓的直徑為單位長度在圓周上丈量令人驚奇的是，不管圓的大小如何，圓周總是直徑的3 倍多一點(diǎn)由于與圓的特殊關(guān)系，故數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)用來計(jì)算出圓的面積和周長的新方法例 已知一個(gè)圓形花壇的直徑是4 米，沿它的外側(cè)鋪一條1 米寬的小路，求這條小路的面積。（精確到0.1 平方米）解 花壇半徑是: 4 2 2（米）3.14 （2 1） （2 1）-3.14 2 2 15.7（平方米）2.3 一些函數(shù)的定義，積分的計(jì)算，指

11、數(shù)的構(gòu)成等都要用到例如， 1777 年，法國數(shù)學(xué)家蒲豐研究投針問題，將一根長為l 的的針任意投到畫有間距為a（a l） 的平行線的平面上，他得到得結(jié)論是：該針與任一平行線相交的概率是p 21 ， 圓周率與隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生了密切聯(lián)系即在概率中a也有作用在數(shù)學(xué)中還有一個(gè)重要公式4log(1 i )2i將圓周率與虛數(shù)單位i1i聯(lián)系起來3 圓周率的應(yīng)用用圓周率來測試計(jì)算機(jī)性能它現(xiàn)在可以被人們用來測試或檢驗(yàn)超級(jí)計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能，特別是運(yùn)算速度與計(jì)算過程的穩(wěn)定性這對(duì)計(jì)算機(jī)本身的改進(jìn)至關(guān)重要就在幾年前，當(dāng)Intel公司推出奔騰(Pentium) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)它有一點(diǎn)小問題，這問題正是通過運(yùn)行的計(jì)算而找到的這正是超高

12、精度的計(jì)算直到今天仍然有重要意義的原因之一圓周率在C語言中的應(yīng)用簡單技術(shù)公式計(jì)算圓周率掌握C語言的循環(huán)2C 語言課程盜了循環(huán)章節(jié)，它的魅力就逐漸顯現(xiàn)了出來，許多小程序和算法都可以讓學(xué)生去嘗試時(shí)限而我們在高等數(shù)學(xué)泰勒公式章節(jié)學(xué)習(xí)的圓周率公式這個(gè)時(shí)候就派上了用場中學(xué)時(shí)我們就已經(jīng)知道：tan 4 1， 從而 4arctan1 ， 如果我們應(yīng)用泰勒公2n 1( 1)2n 1( 1)n 1 2xn 1357 xxx arctan x x357把 x 1 代入，就得到4357( 1)n14357( 1)n12n11這個(gè)簡單的公式就可以用循環(huán)實(shí)現(xiàn)來實(shí)現(xiàn)圓周率的近似計(jì)算(雖然它并不真正適用于計(jì)算圓周率)，下面

13、來分析一下我們用C語言中的double類型的變量來存放最終的結(jié)果，而上面公式中的n 作循環(huán)變量再適合不過了，在實(shí)際編碼中我們?nèi) 從 1變化到 30000. 由于double 類型本身的精度限制，n 其實(shí)也沒有必要取太大的值在循環(huán)中，n每次增加2，而要注意類型轉(zhuǎn)換和在循環(huán)累加中項(xiàng)的符號(hào)變化，這里為了清楚起見，我們增加了變量s，由它產(chǎn)生了正負(fù)符號(hào)的變化下面來看代碼：#include stdio.h main()i n ti 1,s 1;d o u b l ed 0;while(i 300 0)0d s*1/(double)(2* i 1);s* 1;i;pr int f ( pi % If n,

14、4* d);該程序在VC+6.0中運(yùn)行結(jié)果3.141559，達(dá)到預(yù)期要求作為C語言實(shí)驗(yàn)課課后練習(xí)，可嘗試進(jìn)行下面公式的算法實(shí)現(xiàn)：11135711111135711111 13 1711115 7 11 13 17111 TOC o 1-5 h z 122221112226122232這樣鍛煉了C語言能力，同時(shí)也加深了數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，一舉兩得圓周率的概率算法掌握C語言的函數(shù)隨機(jī)模擬方法就是這樣一種計(jì)算圓周率的方法雖然這種方法并不能 “非常好”的逼近圓周率，但是在其他領(lǐng)域，隨機(jī)模擬具有非常大的作用這種算法也稱為蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法簡單描述：在樹枝積分法中，利用求單位圓的41 的面積來求得 4

15、，從而得到單位圓的41 面積是一個(gè)扇形，它是邊長為1單位正方形的一部分 只要求出扇形面積S1在正方形面積S中占的比例KS1 就立即能得到SS1，從而得到的值辦法是在正方形中隨機(jī)投入很多個(gè)點(diǎn)落在扇形內(nèi)將落在扇形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)m與所投點(diǎn)的總數(shù)n 的比 m 作為 k 的近似值P 落在扇形內(nèi)的n充要條件是x2y2 1 代碼：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.hvoid main()i n ti ;d o u b l le, j, k, n;n 0;f o(ri 0;i 3000;i0 )j rand ()/ 32767.0;k rand ()/32

16、767.0;l sqrt(j * j k* k);if (l 1)n;pr int f ( pi %If n,4* n/i);運(yùn)行結(jié)果： =3.126167由于沒初始化隨機(jī)種子，所以該寒暑在執(zhí)行過程中并不具有“隨機(jī)性”由于在TC和在VC+6.0中初始化隨機(jī)種子的函數(shù)并不相同，本程序?yàn)楸３旨嫒菪裕醇尤肽切﹥?nèi)容“外星人計(jì)算 的程序？”C語言閱讀理解在網(wǎng)上流傳很久的“精簡”代碼， 如果你進(jìn)入谷歌的主頁，并且搜索“外星人計(jì)算的程序”這個(gè)詞匯，很容易看到這樣一個(gè)程序：# include stdio.hInt a 10000, b, c 2800,d,e,f2801, g;Main( ) for(; b - c; )fb a/5; for(; d 0),g c* 2;c- 14, printf(%. 4d , e d/a), e d%aFor(b c;d f b) * a, fb d% - -g, d/ g -, -b; d* b; return 0;該程序當(dāng)然違背了C語言的代碼規(guī)范，不過如果你運(yùn)行它，你會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)它得到了圓周率小數(shù)點(diǎn)后面800位數(shù)字這段代碼來自“國際C語言混亂代碼大賽”( The Internati