泛函分析課程總結

1、泛函分析課程總結數(shù)學與計算科學學院 09數(shù)本5班 符翠艷 2009224524 序號：26一知識總結第七章度量空間和賦范線性空間度量空間的定義：設X是一個集合，若對于X中任意兩個元素兀，都有唯一確定的實數(shù)1、dG,y)2O,dG,y) = O的充要條件是r=y;d(x,y)與之相對應，而且滿足3、d(x,y)d(x,z)+ dG,y),對任意z都成立。LJ則稱為X上的一個度量函數(shù)，(x,d)為度量空間，d(x,y)為兩點間的度量。度量空間的例子離散的度量空間(X,d)設X是任意的非空集合，對X中任意兩點兀ycX,令d(3)=1,d(3)=1,當*豐y0,當 x = y令S表示實數(shù)列(或復數(shù)列)

2、序列空間S令S表示實數(shù)列(或復數(shù)列)尸2,氣,)，的全體，對S中任意兩點工=(&,&，尸2,氣,)，12 n1=11 i i有界函數(shù)空間B (A)設A是一給定的集合，令B (A)表示A上有界實值(或復值)函數(shù)全體，對B (A)中任意兩點工,y,定義d (尤，y ) = sup x(0-y(0teA可測函數(shù)空間m(X)設m (X)為X上實值(或復值)的L可測函數(shù)全體，m為L測度，若m(x)oo,對任意兩個可測函數(shù)f(t)及g(t),令f (t) - g (t)x 1 f (t) - g (t)x 1 + f (t) - g (t)dt令C a, b表示閉區(qū)間a, b上實值(或復值)連續(xù)函數(shù)的全體

3、，對C a, b中任意兩點x, y，定d (x, y) = max |x(t) - y(t)|a t bl2空間乙 x, 8kk=1d (x, y)=芝(y -k乙 x, 0,存在正整數(shù)N = N(s)，使當n,mN時，必有dG ,X )則稱x 是X中的柯西點列。那么稱(X,d)是完備的度量空間。 n4。2完備度量空間的例子i s是完備度量空間C是完備度量空間C a,方是完備度量空間4。3定理的證明定理：完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.證明：設M是完備子空間，對每個x g M，存在M中點列x ，使x T x(n r s)，由前述，x nMn是M中的柯西點列，所

4、以在M中收斂，有極限的唯一性可知xgM，即Mu M，所以M = M ,因此M是X中的閉子空間。5。度量空間的完備化5。1等距同構映射定義：設(X, d)，f X, d是兩個度量空間，如果存在X到X上的保距映射T，即 Id (Tx, Ty )= d (x, y )，則稱(X, d )和X, d等距同構，T稱為X到X上的等距同構映射。5.2度量空間的完備化定理定理：設X = (X, d)是度量空間，那么一定都一定存在一個完備空間fX, d ，使X與X的某個稠密子空間w等距同構。并且X在等距同構的意義下時唯一的，即(X, d)也是一完備度量空間，、一一 一 、( 一 一且X與X的某個稠密子空間等距同

5、構，則X,d與(X,d)等距同構。J注：任一度量空間（X,d）都存在唯一的完備度量空間X,d，使X為X的稠密子空間。注：任一度量空間（X,d）都存在唯一的完備度量空間X,d，使X為X的稠密子空間。6。壓縮映射6.1壓縮映射定義：設X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數(shù)a , 0 vav 1，使得對所有的x, y e X，d(TX, Ty )a d (x, y ),(1)則稱T是壓縮映射6。2壓縮映射定理定理：設X是完備的度量空間T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點（就是說，方程Tx = x，有且只有一個解）。證明：設x是X中任意一點令x = Tx ，x = Tx = T2x

6、,.,x = Tx= Tnx ,.。我們證明點列x 10210 nn-10n是X中柯西點列事實上，(2)d (x , x )=d(Tx ,Tx a d (x , x )(2)=a d (Tx , Tx ) a 2 d (x , x ) .a md(x ,x )由三點不等式當由三點不等式當nm時,d(x , x ) d(x , x ) + d(x ,x ) +. + d(x , x )m nmm+1m+1m+2n-1nm）a m（nm）d (x , x ) d (x , x )m n 1 - a 0 1泛函分析課程總結 所以當m T 8,n T 8時，(x ,x ) T 0，即x 是X中柯西點列

7、，由X完備，存在x e X，使x T x(m T 8)，又由三點不等式和條件(1)，我們有d (x, Tx) d (x, x ) + d (x , Tx) d (x, x ) + a d (x , x).上面不等式右端當m T8時趨于0，所以d (x, Tx) = 0,即Tx = x下證唯一性。如果又有xe X，使Tx = x，則由條件(1)，d(x, x) = d(Tx, T x) 0, 且| x=0 等價于尤=0； 2.|ax| = |a|x|,其中以為任意實（復）數(shù); 3x + 圳 x| +|,x, y e X.則稱|x|為向量x的范數(shù)，稱X按范數(shù)|x|成為賦范線性空間。設x 是X中點列

8、，如果存在x e X，使|x -| T 0(n T 8)，則稱x 依范數(shù)收斂于x，記為x T x(n T 8)或lim x = x .如果令 nn T8 nd(x, y) = |x- y|(x, y e X)即x 依范數(shù)收斂于x等價于x 按距離d(x, y)收斂于x,稱d(x, y)為由范數(shù)|x|導出的距離.注：完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間7。2幾種常見的巴拿赫空間歐式空間Rn對每一個工=(& ,&，,&)eRn，定義范數(shù)12 nNI=(1)NI=(1)又因Rn完備，是R又因Rn完備，是Rn中范數(shù).故Rn按(l)式中范數(shù)成為巴拿赫空間?？臻gCa,b對每一個%eCa,b，定義|x| = ma

9、x x(t)(2)a t 1)按(4)式中的范數(shù)成為巴拿赫空間?？臻gIP對每一個x = (,q,.,)elp，定義|x| =R|x| =Rp k /=i(5)Ip按(5)式中的范數(shù)成為巴拿赫空間。7。3兩個重要的不等式和兩條定理(1)霍爾德不等式設 p1,L +1 = 1, f g Lp r a,b 1，g g Lp r a,b ,那么 f (t) g (t)在a, b 1 上 l 可積，并且 p qLLLbf(t)g(t)刃|f| |g|(2)閔可夫斯基不等式設p1，f, g g Lpa, b 1,那么f + g g Lpa, b 1，并且成立不等式Ilf (t)+ g (t )11 疽 |

10、 |f| +| g|定理1：當p 1時，Lpa, b 1按(4)式中范數(shù)|f|成為賦范線性空間.定理2: Lp a, b (P 1)是巴拿赫空間7.4有限維賦范線性空間的性質(zhì)定理3：設X是n維賦范線性空間，,%,.,e是X的一組基，則存在常數(shù)M和M，使得對一切x =芝& ek=11M |X| 應 |&k |2)2 M訴|k=1推論1：設在有限維線性空間上定義了兩個范數(shù)同和|x|，那么必存在常數(shù)M和M，使得MIIXI1XI1 M IXII拓撲同構的定義：設(R ,|x| )和(R ,|圳)是兩個賦范線性空間。如果存在從R到R上的線性映射中 112212和正數(shù)c ， c，使得對一切X g R，有1

11、21匕 |甲Xi, |%| C21|甲她 則稱,|x|1 )和G2,|x| )是兩個賦范線性空間是拓撲同構 推論2:任何有限維賦范空間都和同維數(shù)歐式空間拓撲同構，相同維數(shù)的有限維賦范空間彼此拓撲同構。8.度量空間、賦范線性空間、巴拿赫空間的區(qū)別與聯(lián)系賦范線性空間一定是度量空間，反之不一定成立。度量空間按照加法和數(shù)乘運算成為線性 空間，而且度量空間中的距離如果是由范數(shù)導出的，那么這個度量空間就是賦范線性空間.泛函分析課程總結賦范線性空間與巴拿赫空間的聯(lián)系與區(qū)別：完備的賦范線性空間是巴拿赫空間。巴拿赫空間 一定是賦范線性空間，反之不一定成立。巴拿赫空間一定是度量空間，反之不一定成立。巴拿赫空間滿足

12、度量空間的所有性質(zhì)。巴拿 赫空間由范數(shù)導出距離，而且滿足加法和數(shù)乘的封閉性。滿足完備性，則要求每個柯西點列都在 空間中收斂。度量空間中距離要滿足三個性質(zhì)：非負線性、對稱性、三點不等式，因此距離d (x, y)的定義是 重點。賦范線性空間中范數(shù)要滿足：非負性、線性性、三角不等式，距離定義為d (x, y) = |x - |且 范數(shù)的定義是關鍵。第八章有界線性算子和連續(xù)線性泛函線性算子和線性泛函1。1線性算子和線性泛函定義設X和Y是兩個同為實(或復)的線性空間，D是X的線性子空間，T為D到Y中的映射，如 果對任意的x, y e D及數(shù)a，有T (x + y) = Tx + Ty(1)T (a x)

13、 =aTx(2)則稱T為D到Y中的線性算子，其中D稱為T的定義域，記為D(T)，TD稱為T的值域，記為R(T)。 當值域R (T)取實數(shù)(或復數(shù))域時，T為實(或復)線性泛函。注：1. 算子：函數(shù) 映射 函數(shù)，泛函：函數(shù) 映射 數(shù)泛函是一種特殊的算子3。當中a =0,即Tx = 0，即0e N(T)，其中N(T)表示算子T的零空間。N(T) = x|Tx = 0,x e D(T)1。2線性算子和線性泛函的例子相似算子設X是線性空間，a是一給定的數(shù)，對任意xe X，令Tx =a x,顯然T是X到X中的線性算子。恒等算子設X是線性空間，對任意x g X，令a= 1,則Tx = x .恒等算子記為I

14、X或I零算子設X是線性空間，對任意x g X，令a=0，則Tx = 0 .零算子記為。微分算子設P【0,l為【0,l區(qū)間上多項式全體，對每個x g P0,l,定義(Tx )(t) = dx (t)dt由求導運算的線性性質(zhì)，可知T是P0,1到P0,1中的線性算子注：如果任取t0 g 0,1，對任意的x g P 0,1，定義f (x) = x (t )0則f是P 0,1上的線性泛函積分算子對每一個x g Ca,認定義(Tx)(t) = j tx(T da由積分運算的線性性質(zhì)，可知T是Ca,對到Ca,對中的線性算子注：若令f (x) = jbx(r)dT，則f是Ca,b上的線性泛函.a乘法算子對每一

15、個x g Ca,b,定義(Tx )(t) = tx(t)易知T是線性算子。注：1.線性算子與有限維空間中的方陣相對應。線性泛函與有限維空間中的向量(數(shù)組)相對應1.3有界線性算子泛函分析課程總結 定義：設X和Y是兩個賦范線性空間，T是X的線性子空間D(T)到y(tǒng)中的線性算子，如果存在常數(shù)c，是對所有的x e D(T)，有四 c|x|則稱T是D(T)到y(tǒng)中的有界線性算子.1。4算子的范數(shù)定義：T為賦范線性空間X的子空間D (T)到賦范線性空間y中的線性算子，稱T = s叩亨X。0|xeD (T)為算子T在D(T)上的范數(shù)。注：1. 丁有界=|t|3|T| sn |Tx| ITIIXII丁有界 n

16、|TX| 0,存在5 0當d(x,y) 5時，有d(Tx,Ty) 0，存在5 = 5 () 0,只要x , x e X，且d (x , x ) 5 , TOC o 1-5 h z 1212就有d(x ,x ) 成立，則稱T在X上一致連續(xù)。定理2。1設(x,d), y = (y,d)是度量空間，t:x y, x e x ,則下列各命題等價。T在x0連續(xù)；0對于X中的任意點列x ,若x x (n 3)，則Tx Tx (n 3)。nn 0n 0定理2。2設(x,d), y = (y,d)是度量空間，t:x y。則T是連續(xù)映射的充分必要條件是，對 Y中的任一開集M，其原象T-1( M) = x|x e

17、 X, T (x) e M是開集。線性算子和線性泛函的定理定理1：設T為賦范線性空間X到賦范線性空間y中的線性算子，則T為有界算子o T是X上 的連續(xù)算子。證明：若T有界，由(3)式，當x r x(n T3)時，因為|叫-同| n|x|/n|x| = 1H f n nnnnn這與Ty r 0(n rs)矛盾.所以T是有界算子。 n定理2。設X是賦范線性空間，f是X上線性泛函，那么f是X上連續(xù)泛函O f的零空間N (f)是X中的閉子空間。證明：設f是連續(xù)線性泛函，當x e N (f)，年，2,，并且x r x(n rs)時，由f的連續(xù)性，由 f (x) = lim f (x ) = 0，因此 x

18、 e N(f)，所以 N(f)是閉集。 n rsn反之，若N (f)是閉集，而f無界，則在X中存在一列向量x, |x |豐0 ,n=1, 2,，使得對每個 n，有 |f(x )| n|x|，令 y =土，則 lly 11 = 1,且 |f(y )| n，作 z =-Z_-2，那1 J E 7n |xj7nJn f (y)f (*)1么 f (z ) = 0，因此，z e N (f)，然而由于 |yf (y )| = 1 f (y )| r 0( n rs)，所以nnn nn nz -r 4, 但 f ( 4) = 1 nf (z -r 4, 但 f ( 4) = 1 nf (y1)f (y1)

19、f是線性有界的。注：1。設T是D(T)上的有界線性算子,那么=sup |T| 注：1。設T是D(T)上的有界線性算子,那么xeD (T)xeD (T)H=1H 12。有界算子和有界算子的復合還是有界的.4。有界線性算子的范數(shù)相似算子的范數(shù)們+恒等算子范數(shù)I叫T零算子范數(shù)|。|=05。無界算子例子：微分算子Tx (t) = *x(t),若視p 0,1為C 0,1的子空間，令x(t) = t，則|x| = 1,但 |Tx | = max ntn-1 - n， 所以|T|習|TX| | = n，即T是無界算子.n0t1n有界算子全體所成空間定理1。當Y是巴拿赫空間時，p (X Y)也是巴拿赫空間。注：定義向量的乘積g| |x|，x,y g X則稱X是賦范代數(shù)，當X完備時，稱X為巴拿赫代數(shù)。共軛空間定義1：設X是賦范線性空間，令X 表示X上連續(xù)線性泛函全體所成的空間，稱為X的共軛空 間。注：1. /1的共軛空間為18，即(11) = 18。1.但18個共軛空間