專題18 特殊三角形

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級:輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù)：3特殊三角形教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)，探索并掌握一個三角形是等腰三角形的條件，了解等邊三角形的概念。探索并掌握直角三角形的性質(zhì)，探索并掌握一個三角形是直角三角形的條件，體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題，會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。會算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行度、分、秒的簡單換算，了解角平分線及其性質(zhì)，了解補角、余角、對頂角等概念。二、【三年中考】1.（2008.嘉興）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為50,則這個等腰三角形的頂角為（）A.50B.80C.50或8

2、0D.40或65解析：分情況討論:A.50B.80C.50或80D.40或65解析：分情況討論:答案：C50為頂角；50為底角，此時頂角為80.頂角為50或80.2.（2010寧波）如圖在ABC中AB=AC,NA=36,BD,CE分別是ABC,ABCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）5個4個3個2個解析：.AB=AC,NA=36,NABC=NACB=72BD,CE分別是ABC,BCD的角平分線，.NABD=NCBD=36,NBCE=NDCE=NCBD=36,NBCE=NDCE=36,.NCDE=NA+NABD=72,NCED=NDBC+NBCE=72,二圖中的等腰三角形為ABD,BCE,D

3、CE,BCD,ABC共5個.答案：A3.（2009溫州）如圖，4ABC中，AB=AC=6,BC=8,AE平分NBAC交BC于點,點D為AB的中點，連結(jié)DE,則4BDE的周長是（）7+5解析：VAB=AC10C.4+2,15D.12AE平分NBAC,AAEXBC.AE平分BC,.BE=2BC=4.又D為AB的中點，；.DE=2aB=3,DB=2aB=3,.周長為6+4=10.答案：B.度.（2008湖州）已知等腰三角形的一個底角為70,則它的頂角為解析：考查等腰三角形的兩個底角相等和三角形的內(nèi)角和是180.度.答案：40（2008溫州）文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題

4、時，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD,垂足為D”；彬彬：“作4ABC的角平分線AD”.數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正.”請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里.（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程.：（1）因為已知三角形不是等腰三角形無法作中垂線，只能作中線或垂線.（2）證明：作ABC的角平分線AD,則NBAD=NCAD,又./B=NC,AD=AD,.ABDACD,AB=AC.（2009寧波）等腰直角三角形的一個底角的度數(shù)是（）A.30B.45C.60D.90解析：因

5、為等腰直角三角形的兩底角相等且互余，每個底角是45.答案：B（2009金華）如圖，把一塊直角三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，如果21=32,那么N2的度數(shù)是（）Aa2Aa2+b2=c2.A.32B.58C.68D.60解析：題中隱含條件直尺的對邊平行，易得21+22=90,.22=58.答案：B（2008湖州）利用圖或圖兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達式是.解析：面積法S圖=c2=2abX4+（ba）2,答案：勾股定理a2+b2=C2（2008.溫州）以O(shè)A為斜邊作等腰直角三角形OAB,再以O(shè)B為斜邊在OAB外側(cè)作等腰直角三

6、角形OBC,如此繼續(xù)，得到8個等腰直角三角形（如圖），則圖中OAB與OHI的面積比值是（）A.32B.64C.128D.256解析：易證OABsOHI,Soab：Sohi=（OA:OH）2=（8a/2：1）2=128.答案：C（2008.金華）把兩塊含有30的相同的直角三角尺按如圖所示擺放，使點C,B,E在同一條直線上，連結(jié)CD,若AC=6cm,則4BCD的面積是cm2.解析：由題意，得AC=DE=6cm,可求得BC=BD=63cm,BC邊上的高是3-/3,AS口n=1X3F3X63=BCD227.答案：27(2010義烏)在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是.(寫出一組即可)解析：只要滿足

7、a2+b2=c2即可，其中a,b,c為三角形的三邊長.答案：3,4,5三、【考點知識梳理】(一)等腰三角形.概念及分類有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，有三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形，等腰三角形分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等;(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合，簡稱“三線合一”；(3)等腰(非等邊)三角形是軸對稱圖形，它有一條對稱軸.等腰三角形的判定(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有兩角相等的三角形是等腰三角形.溫馨提示：應(yīng)用性質(zhì)“三線合一”時，一定注意是頂

8、角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，利用它可以證明線段的相等、角的相等及支線垂直。(二)等邊三角形的性質(zhì)與判定.性質(zhì)：等邊三角形的內(nèi)角都相等，且等于60；等邊三角形是軸對稱圖形，等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都三線合一，它們所在的直線都是等邊三角形的對稱軸.判定：三個角相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.(三)線段的中垂線.概念：垂直且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線.性質(zhì)：線段中垂線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段的兩個端點距離相等的點在中垂線上，線段的中垂線可以看作是到線段兩端點距離相等的點的集

9、合.溫馨提示：求線段長度時經(jīng)常作線段的中垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。(四)直角三角形的性質(zhì)與判定.性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角互余;(2)勾股定理：a2+b2=c2(在RtABC中，NC=90)；(3)在直角三角形中，如果有一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；(4)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角為30；(5)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2.判定(1)有一個角是90的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形為直角三角形；(4)有兩個角互余的三角形是直角三

10、角形.溫馨提示：利用直角三角形的概念、性質(zhì)和判定，尤其是勾股定理及其逆定理，能夠解決三角形或四邊形或圓中的一些問題。四、【中考典例精析】類型一等腰三角形的性質(zhì)與判定.例1(1)已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3,則下列四個數(shù)中，第三條邊長是()A.8B.7C.4D.3(2)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,NA=20.線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連結(jié)BE,則NCBE等于()A.80B.70C.60D.50(3)若等腰三角形的一個內(nèi)角為50,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為.4(4)如圖，BD是4ABC的角平分線，NABD=36,NC=72,則圖中的等腰三角形有/個.【點撥】(

11、1)已知條件“兩條邊長”沒有指明是腰長還是底邊長，所以要分情況討論.當(dāng)7為腰長.時，第三邊長是7；當(dāng)3為腰長時，不成立.(2)本小題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和三角形內(nèi)角和定理.VZA=20,AB=AC,AZABC=80.又DE垂直平分AB,AAE=BE,AZABE=ZA=20.AZCBE=ZABC-ZABE=80-20=60.(3)已知條件中“一個內(nèi)角”沒有指明是底角還是頂角，所以要分情況討論.當(dāng)50為頂角時，所求頂角是50;當(dāng)50為底角時，頂角為80.(4)本小題考查等腰三角形的判定，圖中等腰三角形是ABD、ABCD,4人8仁要想說明一個三角形是等腰三角形，只要能找到兩個相等的角或

12、兩條相等的邊即可.本小題主要考查”等角對等邊”的應(yīng)用.【答案】(1)B(2)C(3)50或80(4)3由于BD是4ABC的角平分線，所以NABC=2NABD=72,所以NABC=NC=72,所以4ABC是等腰三角形.ZA=180-2ZABC=180-2X72=36,故NA=NABD,所以ABD是等腰三角形.ZDBC=ZABD=36,NC=72,可求NBDC=72,故NBDC=NC,所以4BDC是等腰三角形.TOC o 1-5 h z方法總結(jié)：,等腰三角形是最常見的圖形之一，其性質(zhì)在研究平行四邊形、等腰梯形、圓、三角函數(shù)等時.應(yīng)用非常廣泛，因此應(yīng)熟練、準(zhǔn)確把握其性質(zhì)并靈活應(yīng)用。,”等邊對等角”或

13、“等角對等邊”僅限于在一個三角形中。在兩個三角形中，如果兩邊相等，/.這兩條邊所對的角不一定相等。類型二等邊三角形的性質(zhì)與判定防例圖(1)一次函數(shù)y=4x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點，使ABC為等腰三角形，則這樣的點C最多有個.(2)已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，BE=DF.求證：AE=AF.若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求證：4AEF為等邊三角形.【解答】(1)4(2)證明：二四邊形ABCD為菱形，AAB=CD,ZB=ZD.又,.,BE=DF,MABEADF,，.AE=AF.連結(jié)AC,VAE垂直平分BC,AF垂直平分CD,，.AB=AC

14、=AD.,VAB=BC=CD=DA,.ABC和ACD都是等邊三角形，.NCAE=NBAE=30,ZCAF=ZDAF=30.AZEAF=ZCAE+ZCAF=60.又由知AE=AF,AAEF是等邊三角形.方法總結(jié)：此類試題做起來容易出現(xiàn)遺漏的情況，因此，應(yīng)對所有可能出現(xiàn)的情況列出并逐一檢驗，才能得到結(jié)論，另外有可能因定義或定理理解不清且所給條件不夠直接而造成錯選或遺漏。類型三直角三角形的性質(zhì)與判定11(1)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是()A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6(2)在RtABC中，NACB=90,D是AB的中點，CD=4cm,則AB=cm.(3)如圖，一

15、個含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EFXAE交/DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.BCE【點撥】(1)考查勾股定理的判定定理，用較小兩數(shù)的平方和與最大數(shù)的平方比較，相等則構(gòu)成直角三角形.(2)考查直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，AB=2CD=8cm.(3)注意仔細審題，探究的是AE與EF的數(shù)量關(guān)系.【解答】(1)C(2)8(3)解：由已知可知HB=EB，XAB=BC,.AH=CE.VZHAE=ZB+ZAEB,ZFEC=ZFEA+ZAEB,又NFEA=NB=90,NHAE=NFEC.NH=NFCE=45,在HAE與CEF

16、中，AH=CE,、NHAE=NFEC,.HAESCEF(ASA).AAE=EF.五、【易錯題探究】等腰ABC的兩邊長分別為2和5,則第三邊長為.【解析】當(dāng)2為腰長時，2+25,所以第三邊長為5.【易錯警示】不知分情況討論；漏掉驗證等腰三角形的存在性.六、【課堂基礎(chǔ)檢測】.判斷下列兩個結(jié)論：正三角形是軸對稱圖形；正三角形是中心對稱圖形，結(jié)果是()A.都正確B.都錯誤C正確，錯誤D.錯誤，正確答案：C.若等腰三角形中有一個角等于70,則這個等腰三角形頂角度數(shù)為()A.70B.40C.45或40D.40或70答案：D.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2,DE是它的中位線，則下面三個結(jié)論：DE=1;

17、CDEsCAB；4CDE的面積與CAB的面積之比為1：4,其中正確的有(),:二A.0個B.1個C.2個D.3個答案：D:.在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50,則NB等于度.答案：20或70.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，4ABC和ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，AD和BC相交于點O,連結(jié)BB.(1)請直接寫出圖中所有的等腰三角形(不添加字母)；(2)求證：4AB,O04CDO.解：(1)4ABB,、4AOC和BBC.(2)在bABCD中，AB=DC,ZABC=ZD.由軸對稱知，AB,=AB,ZABC=ZAB,C.AAB,=CD,ZAB,O=ND.

18、在AB/O和CDO中，Zab，o=zd,NAOB,=NCOD,.,.AB/OCDO(AAS).、AB=CD.如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，N1=30,N2=50,則N3的度數(shù)等于()A.50B.30C.20答案：C.如圖，ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP,重合，如果A.3也B.2V是斜邊，將4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP,重合，如果A.3也B.2V3C.4%回答案：AAD.3V3.如圖，已知ABC中，AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC邊上的中線BD的長為cm.答案：6.5.如圖，RtABC中，NC=90,NAB

19、C=30,AB=6,點D在AB邊上，點E是BC邊上一點(不與點B、C重合)，且DA=DE,則UAD的取值范圍是.答案：2WADV3.(1)如圖是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；(2)如圖，RtABC0RtCDE,NB=ND=90,且B、C、D三點共線，試證明NACE=90；(3)伽菲爾德(Garfield,1881年任美國第20屆總統(tǒng))利用(1)中的公式和圖證明了勾股定理(1876年4月1日發(fā)表在新英格蘭教育日志上)，現(xiàn)請你嘗試該發(fā)明過程.圖R卜CuD圖R卜CuD圖解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2(2)證明：.ABC04CDE,AZBAC=ZDCE.又.ZBAC+ZBCA=

20、90,AZBCA+ZDCE=90,證明：SRfABC證明：SRfABC=2ab，SRtCDE-2ab，SRtACE-*，S梯形ABDE-SRtABC+SRtACDE+SRtAACEab+2c2.S梯形ABDE-2()()(，又B、C、D三點共線，即ZBCD=180.AZACE=90.12c2.ab+2c2=2(a+b)2.由(1)得(a+b)2=a2+2ab+b2,.ab+；c2=(a2+2ab+b2),；.a2+b2=c2.乙乙七、【課后達標(biāo)練習(xí)】一、選擇題1.已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40,則這個等腰三角形的頂角為（）A.40B.100C.40或100D.70A.40解析：分情況討論.答案

21、：C2.已知等邊4ABC的邊長為a,則它的面積是（）1A.2a2BS2解析：數(shù)形結(jié)合法，S等等邊三角形答案：DC22.4a2工3二4a2.3D.a23.3.A.B.C.D.下列命題中，錯誤的是（）三角形兩邊之差小于第三邊三角形的外角和是360三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分等邊三角形即是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形解析：等邊三角形是軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形.答案：D4.如圖，4ABC內(nèi)有一點D,且DA=DB=DC,若ZDAB=20,ZDAC=30,則ZBDC的大小是()CC.70A.100B.80D.50解析：延長AD交BC于點E.VDA=DB=DC;AZABD=ZDAB=

22、20,2ZBAD+2ZDAC=100.答案：AZDAC=ZACD=30,AZBDC=5.如圖，在4ABC中，AC=DC=DB,NACD=100,則NB等于()A.50B.40C.25D.20解析：設(shè)ZB=x,則ZBCD=x,ZACD=1804x,答案：D.1804x=100,.x=20.6.如圖，在RtAABC中，NC=90.斜邊AB的垂直平分線交AB于點D、交BC于點E,AE平分NBAC,那么下列關(guān)系式中不成立的是（A.ZB=ZCAEC.ZB=ZBAE)B.ZDEA=ZCEAD.AC=2EC解析：由DE垂直平分AB得EA=EB,./8=/8人,又AE平分ZBAC,AZEAB=ZCAE,ZB=

23、ZBAE=ZCAE,因此A、C都成立.AE平分ZBAC,AZEAB=ZCAE,又EDAB,ECAC,.NDEA=NCEA（等角的余角相等），B成立.答案：D.如圖，4ABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，連結(jié)BD,則BD的長B.23為()_A/B.2S2解析：.,AB2=BC2+AC2,A(手)2=(甲)2+(D.無法確定AC)2,AS1=S2.答案：A.如圖，在ABC中，NC=90,AC=3,點P是邊BC上的動點，則AP長不可能是（）A.2.5BA.2.5B.3C.4cPD.5解析：根據(jù)垂線段最短知APN3,APW2.5.答案：A.如圖是一株美麗的勾股樹，其中

24、所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面積分別是3,5,2,3,則最大正方形E的面積是（）A.13BA.13B.26C.47D.94解析：由勾股定理得Se=Sa+Sb+Sc+Sd=3+5+2+3=13.答案：A二、填空題.如圖，在ABC中，AB=AC=8,AD是底邊上的高，E為AC的中點，則DE=解析：在RtADC中，E解析：在RtADC中，E為AC中點，答案：4DE=1AC=2x8=4.20.如圖，在邊長為1的等邊4ABC中，中線AD與中線BE相交于點O,則OA的長度為解析：在RtAOE中，AE=1,NOAE=30,AOA=1_AE2、J：3cos30=

25、近-3.2答案：二3：3.如圖，等邊4ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點，將ADE沿著直線DE折疊，點A落在cm.點A處，且點A,在4ABC外部，則陰影部分圖形的周長為cm.解析：依據(jù)折疊重合的邊相等和全等三角形的對應(yīng)邊相等，易得陰影部分圖形的周長為原等邊三角形的周長，即3cm.答案：3.如圖，將第一個圖（圖）所示的正三角形連結(jié)各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，則得到的第五個圖中，共有/、皂Ar個正三角形.進行分割，則得到的第五個圖中，共有/、皂A

26、r個正三角形.解析：圖中有1個正三角形；圖中有5個正三角形，即1+4X1;圖中有9個正三角形，即1+4X2,依此類推，圖中有1+4X4=17個正三角形.答案：17.如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則N1+N2=度.解析：N1+N2=36090=270.考查四邊形的內(nèi)角和、直角三角形的兩銳角互余.答案：270.如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果21=35,那么N2=（解析：觀察圖可得21+22=90,.22=9021=55.答案：55.將一副直角三角板如圖放置，使含30角的三角板的短直角邊和含45角的三角板的一條直角邊重合，則21的度數(shù)為.解析：由三角形外角和定理得21=45+30=75.答案：75.如圖，在ABC中，2B=90,AB=12mm,BC=24mm,動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過秒，四邊形APQC的面積最小.解析：設(shè)經(jīng)過ts,四邊形APQC的面積是S,貝S=