高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用13導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用131函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案新人教A版選修2-2

1、13.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)課本 P2226,摸索并完成以下問題1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么關(guān)系？2 利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？3 怎樣求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 新知初探 1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系在某個區(qū)間 a,b 內(nèi),假如 f x 0,那么函數(shù) yf x 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào) 遞增；如果 f x 0,那么函數(shù) yf x 在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào) 遞減；假如恒有 f x 0,那么函數(shù)yf x 在這個區(qū)間內(nèi)是 常數(shù)函 數(shù) 點睛 對函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系的兩點說明1 如在某區(qū)間上有有限個點使 f x 0,在其余的點恒有 f x0 ,就 f x 仍為增函數(shù) 減函數(shù)的情形完全類似 2

2、 f x 為增函數(shù)的充要條件是對任意的x a,b 都有 f x 0 且在 a,b 內(nèi)的任 一非空子區(qū)間上 f x 不恒為 0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系假如一個函數(shù)在某一范疇內(nèi)導(dǎo)數(shù)的肯定值較大,那么這個函數(shù)在這個范疇內(nèi)變化的快,其圖象比較陡峭即|f x |越大,就函數(shù)fx 的切線的斜率越大,函數(shù)fx的變化率就越大 小試身手 1判定 正確的打“ ” ,錯誤的打“ ” 1 函數(shù) f x 在定義域上都有f x0,就函數(shù) f x 在定義域上單調(diào)遞增 2 函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)在該點處的切線越“ 陡峭” 3 函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的肯定值越大 答案： 1 2 3

3、 2函數(shù)fxx3ex的單調(diào)遞增區(qū)間是1 / 12 B0,3A , 2 C1,4 D2 ,答案： D3函數(shù) f x 2x sin x 在 , 上 A是增函數(shù)B是減函數(shù)C在 0, 上單調(diào)遞增,在 D在 0 , 上單調(diào)遞減,在 , 0 上單調(diào)遞減 , 0 上單調(diào)遞增 答案： A4. 函數(shù)yx3x在,上的圖象是_填“上升”或“下降” 的答案：上升判定或爭論函數(shù)的單調(diào)性 典例 已知函數(shù) f x ax33x 213 a,爭論函數(shù)f x的單調(diào)性 解 由題設(shè)知 a 0.2 f x 3ax 26x 3ax xa,2 令 f x 0,得 x10,x2a. 當(dāng) a0 時,如 x , 0 ,就 f x0. f x 在

4、區(qū)間 , 0 上為增函數(shù)2 如 x 0,a,就 f x0 ,2f x 在區(qū)間 a,上是增函數(shù)2 當(dāng) a0 時,如 x ,a,就 f x0. 2f x 在區(qū)間 a,0 上為增函數(shù)如 x0 , ,就 f x0 和 f x0 ,1由 f x0 得 x 2. 2已知函數(shù)f x x 3ax2bx a、bR的圖象過點P1,2 ,且在點 P 處的切線斜率為 8. 1 求 a,b 的值；2 求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間解： 1 函數(shù) f x 的圖象過點 P1,2 , f 1 2. ab1. 又函數(shù)圖象在點 P 處的切線斜率為 8,f 1 8,又 f x 3x 22axb,4 / 12 2ab5. 解由組成的方程組

5、,可得 a 4,b 3. 2 由1 得 f x 3x 28x33 x1 x3 ,1 令 f x0 ,可得 x 3；1 令 f x0 ,可得 3x1,即 a2 時, f x 在 , 1 和 a 1, 上單調(diào)遞增,在 1 ,a 1 上單調(diào)遞減,由題意知1,4. 1 , a 1 且 6 ,. a 1 , ,所以4 a16,即5a7.故實數(shù) a 的取值范疇為 5,7 法二 數(shù)形結(jié) 合 法 如下列圖, f x x1 xa1 在 1,4 內(nèi) f x 0 ,在6 , 內(nèi) f x 0,且 f x 0 有一根為 1,另一根在 4,6上5 a7.f 40,f 60,即35a0,57a0,故實數(shù) a 的取值范疇為

6、5,7 5 / 12 法三 轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題 f x x 2axa1. 由于 f x 在 1,4 內(nèi)單調(diào)遞減,所以f x 0 在 1,4 上恒成立即 a x1 x 21 在1, 4 上恒成立,所以 ax1,由于 2x17,所以a7 時, f x 0 在 6 , 上恒成立綜上知 5a7.故實數(shù) a 的取值范疇為 5,71利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范疇問題的兩個基本思路1 將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f x 0 或f x 0 恒成立,利用分別參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范疇,然后檢驗參數(shù)取“ ” 時是否滿意題意2 先令 f x0 或 f x0 ,求出參數(shù)的取值范疇后,再驗證參數(shù)取“ ”

7、時f x 是否滿意題意2恒成立問題的重要思路1 mf x 恒成立 . mf x max. 2 mf x 恒成立 . mf xmin. 活學(xué)活用 如 f x 2xa x22 x R在區(qū)間 1,1 上是增函數(shù),就a_. 解析： f x 2 x2ax2 x22 2,f x 在 1,1 上是增函數(shù),x2 ax2f x 2x22 20. x 22 20,x 2ax20 對 x 1,1 恒成立令 g x x 2 ax2,g10,就g 10,1a20,即1a2 0,1 a1.即 a 的取值范疇是 1,1 6 / 12 答案： 1,1 層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1以下函數(shù)中,在 0 , 內(nèi)為增函數(shù)的是 xByx e

8、 Aysin x3Dyln xx Cyxx解析：選 B B 中,y x xe ex exe x10 在 0, 上恒成立,y x xxx e 在 0, 上為增函數(shù)對于 A、C、D 都存在 x0,使y0 的情形3 22如函數(shù) yxxmx1 是 R 上的單調(diào)函數(shù),就實數(shù) m 的取值范 圍是 1 1B.,3 A. 3,1 1D.,3 C. 3,2解析：選 Cy3 x2 xm,由條件知 y 0 在 R 上恒成立,412 m0,1m3 .3函數(shù) yx2 2x5 的單調(diào)遞減區(qū)間為 4B 1,0 和1 ,A , 1 和0,1 解析：選AyD , 1 和1 ,C 1,1 4 x34 x,令y0,即4 x34x

9、0,解得x1或0 x0,當(dāng) x 1,2 時, x1 x 20 , a0,a0.答案： 0 ,9已知函數(shù)fx 13x2 axbx,且f 14,f10.31 求 a 和 b；由f 12 試確定函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間解：1fx 1 3 x3ax2bx,f x2x2 axb, 4,得12ab 4,f 10,12ab0.8 / 12 解得 a1,b 3.f 2由1得fx 1 33x2x3 x.x x22x3x1x3由 f x0 得 x1 或 x3；由 f x0 得 3x1.10f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 , 3 ,1 , ,單調(diào)遞減區(qū)間為 3,1 已知a0,函數(shù)fx 2x2axex .設(shè)fx 在區(qū)間1,1

10、上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范疇解：f x 2x2 aexx22axex3 4 .ex 2x21a x2 a令f x 0,即x221ax2a0.解得1xa11a2,2xa11a2,令f x0,得xx2或xx1,令f x 0,得x1x2x.a0,x1 1,x20.由此可得fx在1,1上是單調(diào)函數(shù)的充要條件為2x1,即a11a21,解得a故所求a的取值范疇為3 4,.層級二應(yīng)試才能達(dá)標(biāo)1.已知函數(shù)fxxln x,就有Bf e f 2 f 3Af 2 f e f 3 Df e f 3 f 2Cf 3 f e0,所以fx在0,內(nèi)是增函x數(shù),所以有f 2 f e0,f x 為增函數(shù), x0,2 時, f x

11、0 ,f x 為增函數(shù)只有 C符合題意,應(yīng)選 C.3 全國卷 如函數(shù) f x kxln x 在區(qū)間 1 , 內(nèi)單調(diào)遞增,就 k 的取值范疇是 B , 1 A , 2 D1 , C2 , 1解析：選 D 由于 f x kxln x,所以 f x kx . 由于 f x 在區(qū)間 1,1 1上單調(diào)遞增,所以當(dāng) x 1 時,f x kx0 恒成立,即 kx 在區(qū)間 1, 上恒成1立由于 x 1,所以 0 x 1,所以 k1. 應(yīng)選 D.f x4設(shè)函數(shù) F x ex 是定義在 R 上的函數(shù),其中 f x 的導(dǎo)函數(shù) f x 滿意f xe f 0,f 2 016e f 02 2 016Bf 2e f 02

12、2 016Cf 2e f 0,f 2 016e f 0,f 2 016e f 0f x f x exf x ex解 析 ： 選 C函 數(shù) F x ex 的 導(dǎo) 數(shù) F x ex 2f xf x0,exf x函數(shù) F x ex 是定義在 R 上的減函數(shù),f 2 f 0 2F 2 F 0,即e2 e0,故有 f 2e f 02 016同理可得 f 2 016e f 0應(yīng)選 C.5已知函數(shù) f x 的定義域為 R,f 1 2,對任意 xR,f x2,就 f x 2x4 的解集為 _10 / 12 解析：設(shè) g x f x 2x4,就 g x f x 2.對任意 xR,f x 2, g x 0. g

13、x 在 R上為增函數(shù)又 g 1 f 1 240, x 1 時, g x 0.由 f x 2x4,得 x 1.答案： 1,6如fx12xb lnx2在1,上是減函數(shù),就b的取值范疇是2_解析： f x 在 1, 上為減函數(shù),f x 0 在 1, 上恒成立,f x xb,x 2xb0,x2bx x2 在 1, 上恒成立,gxx x2x121,gxmin1,b1.答案： , 117已知 x0,證明不等式 ln1x x2 2x 成立1 2證明：設(shè) f x ln1xx2 x,1 x2其定義域為 1,就 f x 1x.1x 1x當(dāng) x 1 時, f x 0,就 f x 在 1, 內(nèi)是增函數(shù)當(dāng) x0 時, f x f 0 0.8已知函數(shù)f x x 3ax1. 當(dāng)x0時,不等式ln1xx12x成立21 是否存在實數(shù)a,使 f x在 1,1 上單調(diào)遞減？如存在,求出a 的取值范疇；如不存在,說明理由2 證明： f xx 3ax1 的圖象不行能總在直線 ya 的上方解： 1 已