量子力學電子科學系

1、陳強廈門大學 電子科學系 助教：邱雯綺 量子力學1代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號 u = v 表示 把函數(shù) u 變成 v， 就是這種變 換的算符。1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是對函數(shù) u 微商， 故稱為微商算符。2）x u = v， x 也是算符。 它對 u 作用 是使 u 變成 v。由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：算符定義3.1 算符的運算規(guī)則 23（1）線性算符：(c11+c22)= c11+c22（3）算符之和: ( + ) = + = （4）算符之積: 若() =

2、( ） （2）算符相等：若對任意函數(shù) 有 = ，則= 3.1 算符的運算規(guī)則 4（7） 逆算符若= , 能夠唯一的解出 , 則可定義算符 之逆 -1 為: -1 = （8） 算符函數(shù)（10）轉置算符（9） 復共軛算符*就是把表達式中的所有量換成復共軛.(11) 厄密共軛算符(12) 厄密算符3.1 算符的運算規(guī)則 例題 5證明 是厄米算符。所以是厄米算符，同理都是厄米算符5證： 也是厄米的。+（）證明：如果算符和都是厄米的，那么也是厄米的+（）例題 66問下列算符是否是厄米算符：例題 7 解： 因為 不是厄米算符。7 是厄米算符。 8定理I：體系任何狀態(tài)下，其厄密算符的平均值必為實數(shù)。證：逆定

3、理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：取=1+c2 ，其中 1 、2 也是任意態(tài)的波函數(shù)，c 是任意常數(shù)。9所得二式正是厄密算符的定義式， 故逆定理成立。實驗上的可觀測量當然要求在任何狀態(tài)下平均值都是實數(shù)，因此相應的算符必須是厄密算符。10二式相加得：二式相減得：定理I：體系任何狀態(tài)下，其厄密算符的平均值必為實數(shù)。例1：（ 為實數(shù)） 例2：動量算符為厄密算符例3：證明Hamilton為厄密算符綜上所述：表示力學量的算符必為線性、厄密算符， 但線性厄密算符不一定是力學量算符。所以明確厄米算符的基本性質是討論力學量的理論基礎。表示力學量的算符必為線性厄密算符

4、。11力學量的算符為線性厄密算符 當我們試圖用算符表示力學量時，首先注意到：力學量的測量值都是實數(shù)值，而算符只表示對態(tài)函數(shù)的某種作用，并不代表數(shù)值，只有算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的數(shù)值。進一步說，只有厄米算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的實數(shù)值。這提示我們，力學量的值只可能與厄米算符的本征值相聯(lián)系。于是提出假設：量子力學中每一個力學量可以用一個線性厄米算符來表示，狀態(tài)用線性厄米算符的本征態(tài)表示。12（1）漲落因為是厄密算符必為實數(shù)因而也是厄密算符于是有：（2）力學量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)， 在此狀態(tài)下測量F所得結果 是唯一確定的，即：則稱這種 狀態(tài)為力 學量 F 的 本征態(tài)?？砂殉?/p>

5、數(shù)記為Fn，把狀態(tài) 記為n，于是得：其中Fn, n 分別稱為算符 F的本征值和相應的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時， 作為力學量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標準條件。厄密算符平方的平均值一定大于等于零證明：3.2 厄米算符的本征值與本征函數(shù)13定理1：厄密算符的本征值必為實。 當體系處于 F 的本征態(tài)n 時，則每次測量結果都是 Fn 。由 本征方程可以看出，在n（設已歸一）態(tài)下證（3）量子力學基本假定根據(jù)上節(jié)定理 I測量力學量F時所有可能出現(xiàn)的值，都對應于線性厄密算符 F的本征值 Fn（即測量值是本征值之一），該本征值由力學量算符 F的本征方程給出：14定

6、理II: 厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交設取復共軛，并注意到 Fm 為實。兩邊右乘 fn 后積分二式相減 得：若FmFn，則必有：證畢15證因為F 是厄米算符，則有 微觀體系所處的狀態(tài)，只可能分為兩大類：一是體系狀態(tài)恰好處于力學量算符的本征態(tài)；二是處于任意態(tài)。 當體系處于力學量算符 的本征態(tài)時，力學量 具有確定值。這種確定的關系可以表示為： 量子力學重要的基本任務之一，就是確定力學量算符的本征態(tài)及本征值。但必須隨時注意：力學量算符的本征態(tài)可能不止一個。163.2 厄米算符的本征值與本征函數(shù)17P56頁 的本征值和本征函數(shù)18例1:例2:動量分量 的本征值和本征函數(shù)若粒子位置不受限制,

7、則 可以取一切實數(shù),是連續(xù)變化的.是平面波,不能歸一化.19例3: 一維自由粒子的能量本征值和本征函數(shù)一維自由粒子的Hamilton量其本征函數(shù)可以取為:相應能量本征值為:二重簡并20大致可分為三類： （1）連續(xù)譜本征值可取任何實數(shù)值。如自由粒子的坐標和動量的本征值譜； （2）帶譜本征值被限定在某些區(qū)域， 例如固體中的能帶； （3）分立譜本征值只能取一系列孤立實數(shù)，如粒子在束縛態(tài)下的能譜。 重點討論連續(xù)譜和分立譜。通常連續(xù)譜記為 或 分立譜記為 。對應的本征函數(shù)分別記為 及 。力學量算符的本征態(tài)及本征值可能不是一一對應，而出現(xiàn)若干個（如 f 個）本征態(tài)對應一個本征值，稱這種情況為 f 度簡并。

8、21力學量算符的本征值被稱為力學量譜或本征值譜下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？， ， ， 解： 不是的本征函數(shù)。 是的本征函數(shù)，其對應的本征值為1。 例題 822試求算符的本征函數(shù) 解：的本征方程為（的本征值）例題 923(4) 簡并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設 這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。如果 F 的本征值Fn是f度簡并的，則對應Fn有f個本征函數(shù)：n1 ,n2 , ., nf 滿足本征方程：一般說來，這些函數(shù) 并不一定正交?？梢宰C明由這 f 個函數(shù)可以線性組合成 f 個獨立的新函數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦?Fn 且滿足正交歸一化條件。但是證明由這 f

9、 個n i 線性組合成 f 個新函數(shù) n j可以滿足正交歸一化條件：證明分如下兩步進行1.nj 是本征值 Fn 的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的 f 個新函數(shù)n j可以組成。241. nj是本征值Fn的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)nj可以組成。方程的歸一化條件有 f 個，正交條 件有f(f-1)/2 個，所以共有獨立方 程數(shù)為二者之和等于 f(f+1)/2 。為此只需證明線性 疊加系數(shù) Aji 的個 數(shù) f 2 大于或等于 正交歸一條件方程 個數(shù)即可。算符 F 本征值 Fn簡并的本質是： 當 Fn 確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學量算符，F(xiàn) 算符與這些算符兩兩對易，其本征值與 Fn 一起共同確定狀態(tài)。綜合上述討論可得如下結論： 既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本