抽象代數(shù) 群的定義

1、抽象代數(shù) 群的定義1第1頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三 群的定義 設(shè)非空集S上有一個(gè)運(yùn)算 ,1、如果運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，則稱(chēng)(S,)是半群。2、如果半群S中有一個(gè)元素 e 滿(mǎn)足aS有 e a = a e = a，則稱(chēng)(S, e) 是幺半群，稱(chēng)e為單位元 或幺元。3、如果幺半群S滿(mǎn)足aS有S使得 a = a = e則稱(chēng) a 是可逆元，并稱(chēng)是 a 的一個(gè)逆元。注：通常用 1 表示單位元。2022/9/192第2頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三群定義命題 若 a 是可逆元，則 a 的逆元是唯一的，記為 a證明：若 a 有兩個(gè)逆元和，即有 ab=ba=

2、1, ac=ca=1 b=1b=cab=c1=c. 5、如果幺半群S的每個(gè)元素都有逆元，則稱(chēng)是一個(gè)群 (group)。運(yùn)算滿(mǎn)足交換律的群稱(chēng)為交換群.2022/9/193第3頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三群定義6、對(duì)群G中的元 a 和正整數(shù) n an 表示 n 個(gè) a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 17、驗(yàn)證： amn =(am)n ; am+n =am an.2022/9/194第4頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三幾個(gè)問(wèn)題:(1)、為什么要求群的運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律? (2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性有何運(yùn)算意義? 2

3、022/9/195第5頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三 群的例子 再明確一下群的概念定義設(shè)是一個(gè)非空集合，如果上定義了一個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足（）結(jié)合律a,b,cA 有 (ab)c=a(bc)；（）有單位元 e：aA有ea=ae=a；（）有逆元aG，有 b使得 ab=ba=e(其中 b 稱(chēng)為 a 的逆元，記為 a )。則稱(chēng)是一個(gè)群注意：記住驗(yàn)證運(yùn)算的封閉性！2022/9/196第6頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三1.群的概念和例子例實(shí)集、有理數(shù)集、整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法都是交換群（滿(mǎn)足交換律的群）；關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？規(guī)定：只有交換群的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”

4、表示。當(dāng)交換群G的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”表示時(shí)，則稱(chēng)G為加群。例正實(shí)集、正有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法都是交換群；正整數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？2022/9/197第7頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三例即方程xn = 1的全部根之集，不難驗(yàn)證:1.群的概念和例子設(shè)是n次單位根集n 關(guān)于數(shù)的乘法是一個(gè)群叫做n次單位根群。2022/9/198第8頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三1.群的概念和例子證明：例域上的全體 n 階可逆方陣GLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為上的 n 階一般線(xiàn)性群即,GLn(F)，有ABGLn(F)封閉性可逆矩陣的乘積還是可逆矩

5、陣，結(jié)合律:矩陣的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律；單位元:單位矩陣就是單位元；逆 元:GLn(F)，可逆，A的逆矩陣就是的逆元2022/9/199第9頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三1.群的概念和例子例域上的行列式為1的全體n階方陣之集SLn(F)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為上的n階特殊線(xiàn)性群例6實(shí)數(shù)域R上的全體n階正交矩陣之集On(R)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為n階正交群2022/9/1910第10頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)37分，星期三例7向量空間V上的全體可逆線(xiàn)性變換GL(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群例8 n 維歐氏空間V上的全體正交變換之集On(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群例9平面上繞一定點(diǎn)按同一方向旋轉(zhuǎn) 2k / n 的變換記為k ，則1, 2, , n 關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。2022/9/1911第11頁(yè)，共12頁(yè)，