控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第1頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三12.3 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型2.3.1 傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應。系統(tǒng)結構和參數(shù)變化時分析較麻煩。用拉氏變換法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型傳遞函數(shù)。第2頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三2求例2-1 RLC無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)例2-8解：RLC網(wǎng)絡的微分方程零初始條件下，對上述方程作拉氏變換 傳遞函數(shù)第3頁，共48頁，202

2、2年，5月20日，15點11分，星期三3傳遞函數(shù)具體定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初始條件含義：1）輸入量：t0時才作用于系統(tǒng)，t=0-時，輸入量及其各階導數(shù)均為零。2）輸出量：輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導數(shù)在t=0-時的值為零。第4頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三4式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，a/b是與系統(tǒng)結構和參數(shù)有關的常系數(shù)。設r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令R(s)Lc(t)，

3、R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述： 第5頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三5第6頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三6傳遞函數(shù)的特點 :1.作為一種數(shù)學模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算。 2.傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)中輸入量與輸出量的關系式，它表達了系統(tǒng)內在的固有特性，只與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關。 第7頁，共48頁，2022年，5月20日，15點

4、11分，星期三73.傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結構。許多物理性質不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 4.傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關系，對多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示。 第8頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三85.傳遞函數(shù)可表示成 式中p1，p2pn為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點；z1、z2、 zn為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點； 第9頁，共48頁，2022年

5、，5月20日，15點11分，星期三96.傳遞函數(shù)分母多項式稱為特征多項式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項式的階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。這是由于實際系統(tǒng)的慣性所造成的。 第10頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三10傳遞函數(shù)的性質如果將置換 傳遞函數(shù)與微分方程之間有關系。性質1性質2傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應g(t)脈沖響應（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應。傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，并用以求出給定輸入量時系統(tǒng)的零初始條件響應，即由拉氏變換的卷積定理，有第11頁，共48頁，2022年，5月20日，

6、15點11分，星期三11在例1-1中，設當輸入為 單位階躍函數(shù),即 時,求輸出解： 根據(jù)例1得到的微分方程。 例2-6第12頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三12第13頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三132.3.2 傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響 為傳遞函數(shù)的零點 為傳遞函數(shù)的極點 K*=b0/a0 為傳遞系數(shù)或根軌跡增益極點是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。第14頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三14零點（O）距極點（X）的距離越遠，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所

7、產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點重合該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。 第15頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三152.3.4典型元部件的傳遞函數(shù)電位器將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。 單個電位器用作為信號變換裝置。第16頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三16單位角位移，輸出電壓(v/rad)E -電位器電源(v) 電位器最大工作角(rad) 第17頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三17典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何一個復雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1 比例環(huán)節(jié) 環(huán)節(jié)輸出量與輸

8、入量成正比，不失真也無時間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達式為c(t)=Kr(t) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。 第18頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三182 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的動態(tài)方程是一個一階微分方程 其傳遞函數(shù)為 式中 T 慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù) 第19頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三19當輸入為單位階躍函數(shù)時，其單位階躍響應為 單位階躍響應曲線 第20頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三20 慣性環(huán)節(jié)實例很多，如圖所示

9、的R-L網(wǎng)絡，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中 第21頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三213 微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動態(tài)方程 其傳遞函數(shù) 式中Td稱微分時間常數(shù) 它的單位階躍響應曲線 第22頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三22如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實際上難以實現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù) :其單位階躍響應為 第23頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三23 曲線如下圖所示，實際微分環(huán)節(jié)的階躍響應是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值很大而Td值很小時，實際微分環(huán)節(jié)就愈接近

10、于理想微分環(huán)節(jié)。 第24頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三244 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性方程 其傳遞函數(shù) 式中Ti為積分時間常數(shù)。 第25頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三25積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應為 它隨時間直線增長，當輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。 第26頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三26上圖為運算放大器構成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為 式中Ti = RC 第27頁，共48頁，2022年，5月20日，15

11、點11分，星期三275 振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為 其傳遞函數(shù) 式中 為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，在后面時域分析中將詳細討論。 第28頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三28 圖中所示為RLC網(wǎng)絡，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動態(tài)特性方程 其傳遞函數(shù) 式中 第29頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三296 純時間延時環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間后才重現(xiàn)輸入信號，其動態(tài)方程為 其傳遞函數(shù)是一個超越函數(shù) 式中稱延遲時間 第30頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三302.4.1 結構圖 結構

12、圖也稱方塊圖或方框圖，具有形象和直觀的特點。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)間的相互關系。構成方框圖的基本符號有四種，即信號線、比較點、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點。 第31頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三31第32頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三322.4.2系統(tǒng)方框圖的構成 對于一個系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信號傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)方框圖。 圖中為一無源RC網(wǎng)絡。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為 第33頁，共48頁，2022年，5月20日，

13、15點11分，星期三33第34頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三34零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 第35頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三35 RC網(wǎng)絡方框圖 各環(huán)節(jié)方框圖 第36頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三362.4.3 環(huán)節(jié)間的連接 環(huán)節(jié)的連接有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式。 1.串聯(lián) :在單向的信號傳遞中，若前一個環(huán)節(jié)的輸出就是后一個環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。 n個環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù) :第37頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三37即環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)

14、等于串聯(lián)的各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 環(huán)節(jié)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡第38頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三382.并聯(lián) :若各個環(huán)節(jié)接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點時，稱為并聯(lián)。如圖所示。由圖可知 總的傳遞函數(shù)為 環(huán)節(jié)的并聯(lián)第39頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三393.反饋：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，與輸入信號相比較，就構成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號與給定信號極性相反，則稱負反饋連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱為單位反饋。 反饋連接第40頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三40 反饋連接后

15、，信號的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號輸入點到信號輸出點的通道稱為前向通道；把輸出信號反饋到輸入點的通道稱為反饋通道。 對于負反饋連接，給定信號r(t)和反饋信號b(t)之差，稱為偏差信號e(t) 即 通常將反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)，即 開環(huán)傳遞函數(shù)= 第41頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三41輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，稱為前向通道傳遞函數(shù)，即 前向通道傳遞函數(shù)= 而系統(tǒng)輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，記為(s)或GB(s)。 第42頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三42得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 對于正反饋連接，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為 第43頁，共48頁，2022年，5月20日，15點11分，星期三432.4.4方框圖的變換和簡化 除了前面介紹的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接可以簡化為一個等效環(huán)節(jié)外，還有信號引出點及比較點前后移動的規(guī)則。 第44頁，共