沈陽師范大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院高等代數(shù)第六章§2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)課件

1、一、線性空間的定義 二、線性空間的簡單性質(zhì)2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)許多形式不同的對象, 往往有一些共同點, 將它們統(tǒng)一研究, 這就有了線性空間的概念.而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律,如 引例1空間Pn，定義了兩個向量的加法和數(shù)量乘法：在第三章2中，我們討論了數(shù)域P上的n維向量2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即 引例2數(shù)域P上的一元多頂式環(huán)Px中，定義了兩個多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法，而且這兩種運算2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)一.線性空間的定義 設(shè)V 是一個非空集合, P 是一個數(shù)域, 在集合V 中 的和，記為 ；在P與V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法

2、：即在V中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為 的數(shù)量乘積，記為 如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V 為數(shù)域P上的線性空間：定義了一種代數(shù)運算，叫做加法: 即對在V 中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)加法滿足下列四條規(guī)則： 對 都有V中的一個元素，使得 數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則： 在V中有一個元素0，對（具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素） 數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則 :;（稱為 的負元素） 2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)例1 引例1, 2中的 Pn, Px 均為數(shù)域 P上的線性空間例2數(shù)域 P上的次數(shù)小于 n 的多項式的全體，再添用 表示的加法和數(shù)量乘

3、法，構(gòu)成數(shù)域 P上的一個線性空間,法構(gòu)成數(shù)域 P上的一個線性空間，常用 Pxn表示上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數(shù)量乘例3 數(shù)域 P上 矩陣的全體作成的集合,按矩陣2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)判斷 R是否構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間 .例5全體正實數(shù)R，加法與數(shù)量乘法定義為： 例4任一數(shù)域 P 按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個數(shù)域P上的線性空間R構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間 解：2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)即a 的負元素是 ； ;R； ; R構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間 ;2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)2、 ，的負元素是唯一的，記為- 證明：假設(shè) 有兩個負元素 、 ，則有01010202證明：假設(shè)線性空間V有兩個零元素01、02，則有利用負元素，我們定義減法： 二、線性空間的簡單性質(zhì)1、零元素是唯一的.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)兩邊加上 即得 0 0； 兩邊加上 ；即得k 00 ; 兩邊加上 即得 即得 兩邊加上 3、 證明：2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)證：設(shè)而數(shù)域P中有無限多個不