數(shù)學(xué)物理方程(2)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、數(shù)學(xué)物理方程任課教師：李棟航空學(xué)院流體系翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)試驗(yàn)室中樓303室Tel：88460290Mail: 第1頁(yè)第1頁(yè)定義: 主要是指從物理學(xué)及其它各門(mén)自然科學(xué)、技術(shù) 科學(xué)中所產(chǎn)生偏微分方程(有時(shí)也包括積分 方程、微分積分方程等), 比如特點(diǎn): 反應(yīng)了相關(guān)未知變量關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)和關(guān)于 空間變量導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系。范圍: 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面基 本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程范圍。數(shù)學(xué)物理方程第2頁(yè)第2頁(yè)“一切科學(xué)理論，總是從實(shí)踐中來(lái)，又回到實(shí)踐中去，接受檢查，指導(dǎo)實(shí)踐，同時(shí)在實(shí)踐中豐富和發(fā)展自己?！?力學(xué)問(wèn)題弦線振動(dòng)問(wèn)題流體運(yùn)動(dòng)、彈性體振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、電磁作用、原子核-電子作用、

2、化學(xué)反應(yīng)偏微分方程（基本規(guī)律）偏微分方程（基本規(guī)律）求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象改變（氣象預(yù)報(bào)等）各種工程設(shè)計(jì)（機(jī)械強(qiáng)度計(jì)算等）第3頁(yè)第3頁(yè)物理問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程）求解辦法分離變量法特殊函數(shù)邊界與初始泛定方程與定解條件第4頁(yè)第4頁(yè)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理方程偏微分方程理論偏微分方程理論新課題、新辦法自然現(xiàn)象實(shí)際問(wèn)題歷史悠久對(duì)象、內(nèi)容、辦法純正數(shù)學(xué)泛函分析復(fù)變函數(shù)微分幾何計(jì)算數(shù)學(xué)多樣復(fù)雜處理問(wèn)題工具純正數(shù)學(xué)、分支自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)數(shù)學(xué)物理方程分支第5頁(yè)第5頁(yè)課 程 概 覽二、熱傳導(dǎo)方程（拋物型）三、調(diào)和方程 （橢圓型）四、二階方程分類(lèi)總結(jié)五、一階偏微分方程組七、偏微分方程數(shù)值解一、波動(dòng)方程 （雙曲型

3、）1. 方程導(dǎo)出、定解條件2. 初值問(wèn)題求解3. 初邊值問(wèn)題求解第6頁(yè)第6頁(yè)第一章 波動(dòng)方程物理背景：波傳播和彈性體振動(dòng)。 1-1 一維波動(dòng)方程導(dǎo)出、定解條件 首先，考察下面物理問(wèn)題： 給定一根兩端固定拉緊均勻柔軟弦線，設(shè)其長(zhǎng)度為 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第7頁(yè)第7頁(yè)基本假設(shè)：1. 弦是均勻，弦截面直徑與長(zhǎng)度相比能夠忽略。 弦能夠視為一條曲線，線密度為常數(shù)。2. 弦在某平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。弦位置始終在始終線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于該直線方向上作微小振動(dòng)?；疽?guī)律： 牛頓第二定律 F=m*a沖量定理 Ft=m*(v1-v2)3. 弦是柔軟，它

4、在形變時(shí)不抵抗彎曲。 弦上各質(zhì)點(diǎn)張力方向與弦切線方向一致，而弦伸長(zhǎng)變形 與張力關(guān)系服從虎克定律。Ft=m*a* t第8頁(yè)第8頁(yè)用u(x, t)表示弦點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x軸位移。 由基本假設(shè)2可知， 與1相比能夠忽略不計(jì)，因此 因此，能夠認(rèn)為弦在振動(dòng)過(guò)程中并未伸長(zhǎng)，即可認(rèn)為張力大小與時(shí)間無(wú)關(guān) T(x,t)T(x)（2）由于弦只在x軸垂直方向作橫振動(dòng)，因此水平方向合力為零，即 由基本假設(shè)2可知， ，因此 因此，弦張力大小與空間變量x無(wú)關(guān) ，能夠把弦線張力T(x)在x軸方向分量當(dāng)作常數(shù)。（1）任取一弦段(x, x+x)，它弧長(zhǎng)為 第9頁(yè)第9頁(yè)（3）對(duì)于圖中選取弦段而言，張力在x軸垂直 方向上合力為：

5、在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)該合力產(chǎn)生沖量為：（4）另一方面，在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)弦段(x, x+x)動(dòng)量變化為：第10頁(yè)第10頁(yè)（5）因此，依據(jù)沖量定理，得到：從而有第11頁(yè)第11頁(yè)進(jìn)一步由t， x 任意性，有 假定有垂直于x軸方向外力存在，并設(shè)其線密度為F(x,t)，則弦段(x, x+x)上外力為：它在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)沖量為：于是有：進(jìn)一步由t， x 任意性，有下面弦振動(dòng)方程（一維波動(dòng)方程）：第12頁(yè)第12頁(yè)二維波動(dòng)方程（如薄膜振動(dòng)）三維波動(dòng)方程（如電磁波、聲波傳播）第13頁(yè)第13頁(yè) 弦振動(dòng)方程描述是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)位移函數(shù)u(x, t)所應(yīng)滿足普通性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全

6、擬定一條弦詳細(xì)運(yùn)動(dòng)情況。這是由于弦運(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處情況相關(guān)系。 在前面推導(dǎo)中，弦兩端被固定在x=0和x=l兩點(diǎn)，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個(gè)等式稱(chēng)為邊界條件。另外，設(shè)弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)位置和速度為這兩個(gè)等式稱(chēng)為初始條件。邊界條件和初始條件總稱(chēng)為定解條件。把微分方程和定解條件結(jié)合起來(lái)，就得到了與實(shí)際問(wèn)題相相應(yīng)定解問(wèn)題。2. 定解條件第14頁(yè)第14頁(yè)對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問(wèn)題能夠描述為：要在區(qū)域上（見(jiàn)右上圖）求上述定解問(wèn)題解，就是要求這樣連續(xù)函數(shù)u(x, t) ，它在區(qū)域0 x0中滿足波動(dòng)方程(1.19)；在x軸上區(qū)間0,l上滿足

7、初始條件(1.20)；并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(1.21)和 (1.22)。 普通稱(chēng)形如(1.21)和(1.22)邊界條件為第一類(lèi)邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件。第15頁(yè)第15頁(yè)弦振動(dòng)方程邊界條件通常還能夠有下列兩種： （a）設(shè)弦一端（x=0）處于自由狀態(tài)，即能夠在垂直于x軸直線上自由滑動(dòng)，且未受到垂直方向外力。由于在邊界右端張力垂直方向分量是于是邊界處應(yīng)有考慮更普通情況，上述邊界條件能夠?qū)憺?（b）弦一端（x=l）處于固定在伸縮符合胡克定律彈性支承上，假如支承初始位置為（u=0），那么在端點(diǎn)u值表示支承伸長(zhǎng)量，于是這種邊界條件稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件，又稱(chēng)諾依曼（

8、Neumann）邊界條件數(shù)學(xué)上，能夠考慮更普通情況，上述邊界條件寫(xiě)為（第三類(lèi)邊界條件）第16頁(yè)第16頁(yè)偏微分方程分類(lèi) 第17頁(yè)第17頁(yè) 分類(lèi)依據(jù)：階數(shù)、線性性質(zhì)、齊次性。 階：偏微分方程所含有未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)階數(shù) 線性方程：方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)總體來(lái)說(shuō)是線性。 方程（1）,（2）,（3） 擬線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)總體來(lái)說(shuō)是線性。 方程（4）,（5） 完全非線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)不是線性。 方程（6） 齊次性：以方程（1）為例，函數(shù) f (x,y,z,t)與未知函 數(shù)無(wú)關(guān)（自由項(xiàng)），若該項(xiàng)恒為零，則該 方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。 邊界條件和初始條件也有

9、齊次和非齊次之分。第18頁(yè)第18頁(yè)3. 定解問(wèn)題適定性概念解存在性：定解問(wèn)題解是否一定存在？解唯一性：定解問(wèn)題解是否只有一個(gè)？解穩(wěn)定性：當(dāng)定解條件或自由項(xiàng)作很小改變時(shí)，問(wèn)題解是否也作很小改變？定解問(wèn)題存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱(chēng)為定解問(wèn)題適定性。假如一個(gè)定解問(wèn)題解是存在，唯一，并且是穩(wěn)定，我們就稱(chēng)這個(gè)問(wèn)題是適定，即認(rèn)為這樣定解問(wèn)題提法是適當(dāng)。除了研究定解問(wèn)題適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究問(wèn)題包括：解正則性（光滑性）、解漸近性（包括衰減性）和定解問(wèn)題求解辦法（準(zhǔn)確解、漸近解、數(shù)值解）等。定解問(wèn)題提法是否適當(dāng)？第19頁(yè)第19頁(yè)1-2 達(dá)朗貝爾（dAlembert）公式、波傳播1. 疊加原理 從本節(jié)開(kāi)

10、始我們討論弦振動(dòng)方程各類(lèi)定解問(wèn)題。先簡(jiǎn)介疊加原理。在物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這么現(xiàn)象：幾個(gè)不同原因綜合所產(chǎn)生效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其它原因不存在）產(chǎn)生效果累加。這就是疊加原理。它對(duì)于用線性方程和線性定解條件描述物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，都是成立。比如：若u1(x, t)是方程解，而u2(x, t)是方程解，則對(duì)于任意常數(shù)C1、C2，函數(shù)是方程解。典型例子：聲學(xué)中把弦線振動(dòng)時(shí)所發(fā)出復(fù)雜聲音分解成各種單音疊加。第20頁(yè)第20頁(yè)2. 弦振動(dòng)方程達(dá)朗貝爾解法 為了考察波動(dòng)方程定解問(wèn)題，先從最簡(jiǎn)樸情形入手，即首先考察邊界影響能夠忽略不計(jì)情況。假如所考察物體（弦線）長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們所關(guān)注又只是在較短時(shí)間內(nèi)且距離邊

11、界較遠(yuǎn)一段范圍中運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件影響就能夠忽略，并不妨把所考察物體長(zhǎng)度視為無(wú)限長(zhǎng)。這樣情況下，定解問(wèn)題歸結(jié)為下列形式： 在這個(gè)定解問(wèn)題中，定解條件只有初始條件，故通常稱(chēng)為初值問(wèn)題(也稱(chēng)柯西（Cauchy）問(wèn)題）。相應(yīng)地，前一節(jié)中定解問(wèn)題(1.19) (1.22)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱(chēng)為初邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題。 方程(2.5)中自由項(xiàng)f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生，因此方程(2.5)中f(x,t)恒為零情況相應(yīng)于自由振動(dòng)；f(x,t)不為零情況相應(yīng)于逼迫振動(dòng)。第21頁(yè)第21頁(yè) 下面，我們求解上述初值問(wèn)題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性。對(duì)于這種定解問(wèn)題，同樣存在疊加原理，

12、即若u1(x, t)和u2(x, t)分別是下述初值問(wèn)題和解，那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值問(wèn)題(2.5)、(2.6)解。這樣求解初值問(wèn)題(2.5)、(2.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件初值問(wèn)題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件初值問(wèn)題(II)單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)振動(dòng)過(guò)程影響。單獨(dú)考慮外力原因?qū)φ駝?dòng)過(guò)程影響。第22頁(yè)第22頁(yè) 首先，考察初值問(wèn)題(I)，它能夠通過(guò)自變量變換辦法求解。引入新自變量：=x-at， =x+at，有類(lèi)似地，代回本來(lái)自變量，得通解為 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2.14）從而，得到其通解為 u(,)=F()+G()，

13、其中，F(xiàn)和G是任意可微分單變量函數(shù)。第23頁(yè)第23頁(yè) 利用這個(gè)通解表示式，就能夠利用初始條件(2.8)來(lái)決定函數(shù)F和G，進(jìn)而求出初值問(wèn)題(I)解。把上述通解表示式代入初始條件(2.8)，得到：(2.16)式是一個(gè)簡(jiǎn)樸常微分方程，求解它得到由(2.15)和(2.17)式聯(lián)立求解能夠得出函數(shù)F和G把它們代入方程(2.7)通解表示式(2.14)就得到了初值問(wèn)題(I)解第24頁(yè)第24頁(yè) 這個(gè)公式(2.19)稱(chēng)為達(dá)朗貝爾公式。從以上推導(dǎo)過(guò)程能夠看出：假如初值問(wèn)題(I) 有解，則解一定能夠依據(jù)初始條件由達(dá)朗貝爾公式表示出來(lái)，因此該問(wèn)題解是唯一。 同時(shí)，若函數(shù)(x)在求解區(qū)域內(nèi)含有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(x)在求

14、解區(qū)域內(nèi)含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么能夠驗(yàn)證公式(2.19)給出確實(shí)是初值問(wèn)題(I)解。存在性 另外，初值問(wèn)題(I)解關(guān)于初始條件連續(xù)依賴(lài)性也能夠很容易地從達(dá)朗貝爾公式中看出。穩(wěn)定性定理2.1 設(shè)，那么初值問(wèn)題(2.7),(2.8)存在唯一解u(x,t)，它由達(dá)朗貝爾公式(2.19)給出。第25頁(yè)第25頁(yè) 如右圖所表示，在t=0時(shí)， (x,0)=F(x)，它相應(yīng)于初始振動(dòng)狀態(tài)（弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)位移狀態(tài)）。通過(guò)時(shí)刻t0后， (x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上 ，它相稱(chēng)于本來(lái)圖形向右平移了一段距離at0。這闡明振動(dòng)波形以常速度a向右傳播。因此，齊次波動(dòng)方程形如F(x-at)解所描述運(yùn)動(dòng)

15、規(guī)律稱(chēng)為右傳播波，同樣形如G(x+at)解稱(chēng)為左傳播波。并且，我們知道了方程(2.5)中常數(shù)a事實(shí)上表示了波動(dòng)傳播速度。（行波法）3. 傳播波 由前文中推導(dǎo)可見(jiàn)，自由振動(dòng)情況下波動(dòng)方程解能夠表示為形如F(x-at)和G(x+at)兩個(gè)函數(shù)和。由此能夠尤其清楚地看出波動(dòng)傳輸性質(zhì)。 考察(x,t)=F(x-at) (a0)，顯然它是齊次波動(dòng)方程解。給出不同t值就能夠看出作一維振動(dòng)物體在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)位置。自己思考、討論第26頁(yè)第26頁(yè)4. 依賴(lài)區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 從達(dá)朗貝爾公式馬上能夠看出，初值問(wèn)題(I)解在上半平面 (t0)上點(diǎn)(x,t)處值u(x,t)由初始資料(x)和(x)在x軸區(qū)間x-

16、at，x+at上值所唯一擬定,而與(x)和(x)在該區(qū)間以外值無(wú)關(guān)。這個(gè)區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)(x,t)依賴(lài)區(qū)間。 對(duì)初始軸t=0上一個(gè)區(qū)間x1,x2，過(guò)點(diǎn)x1作斜率為1/a直線x=x1+at，過(guò)點(diǎn)x2作斜率為-1/a直線x=x2-at，它們和區(qū)間x1,x2一起構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域。顯然，這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)依賴(lài)區(qū)間都在區(qū)間x1,x2內(nèi)部，因此，解在此三角形區(qū)域內(nèi)部數(shù)值完全由區(qū)間x1,x2上初始條件決定，與該區(qū)間外初始條件無(wú)關(guān)。這個(gè)三角形區(qū)域稱(chēng)為區(qū)間x1,x2決定區(qū)域。第27頁(yè)第27頁(yè) 另一方面，如果在初始時(shí)刻t=0，初始資料(x)和(x)值在區(qū)間x1,x2上有變動(dòng)(初始擾動(dòng))。那么，通過(guò)時(shí)間t后該擾動(dòng)

17、所影響到范圍就由不等式 所限定，而在此范圍外區(qū)域則感受不到區(qū)間x1,x2上初始影響。在(x,t)平面上，上式所表示區(qū)域(以下圖所表示)稱(chēng)為區(qū)間x1,x2影響區(qū)域。區(qū)間x1,x2上初始條件只能對(duì)上述區(qū)間影響區(qū)域中初值問(wèn)題(I)解u(x,t)產(chǎn)生影響，而不會(huì)影響到此區(qū)域外 u(x,t)數(shù)值。尤其地，假如區(qū)間x1,x2收縮為一點(diǎn)，那么就得到了點(diǎn)影響區(qū)域。第28頁(yè)第28頁(yè) 在前面討論中，我們看到在(x,t)平面上斜率為1/a直線x=x0-at和x=x0+at對(duì)波動(dòng)方程研究起著主要作用，它們稱(chēng)為波動(dòng)方程特性線。我們看到，擾動(dòng)事實(shí)上沿特性線傳播。擾動(dòng)以有限速率傳播，是弦振動(dòng)方程一個(gè)主要特點(diǎn)。例題：利用行波

18、法來(lái)討論一端固定半無(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題 為了求解此問(wèn)題，我們能夠設(shè)想在x=0左側(cè)仍然有弦存在,只是在振動(dòng)過(guò)程中x=0點(diǎn)始終不動(dòng)。問(wèn)題于是轉(zhuǎn)化為：如何將x0上已知初始函數(shù)延拓為整個(gè)直線-x0, =0以及0而不同，下面分以上三種情況討論。情況A 當(dāng)0時(shí)，方程(3.10)通解為第37頁(yè)第37頁(yè)要使它滿足邊界條件X(0)=0和 X(l)=0，就必有從而推知C1=C2=0。故在0時(shí)，方程(3.10)通解為要使此解滿足邊界條件X(0)=0，則C1=0。再由X(l)=0，可知為了使C20，就必須有,于是能夠擬定取值為這樣就找到了一族非零解：第38頁(yè)第38頁(yè)數(shù)學(xué)上，稱(chēng)(3.13)右端函數(shù)為常微分方程(3.10)

19、滿足邊界條件X(0)=0和 X(l)=0固有函數(shù)（或特性函數(shù)），而=k22/l2 稱(chēng)為相應(yīng)固有值或特性值。 將固有值k帶入方程(3.9)中，可求得其通解為上式中Ak ，Bk 為任意待定常數(shù)。這樣我們就得到了方程(3.4)滿足邊界條件u(0,t)=0和 u(l,t)=0分離變量形式特解:現(xiàn)在我們?cè)O(shè)法作出這種特解適當(dāng)線性組合，以得出初邊值問(wèn)題()解。也就是說(shuō)，要擬定出常數(shù)Ak 和Bk 使?jié)M足初始條件(3.14)第39頁(yè)第39頁(yè)在(3.15)式中級(jí)數(shù)能夠逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，我們得到：結(jié)合初始條件，應(yīng)有將由(3.16)式表示Ak ，Bk 代入(3.15)式中，就得到了用級(jí)數(shù)形式表示初邊值問(wèn)題()解。觀測(cè)發(fā)覺(jué)A

20、k 和Bkka/l分別是(x)和(x)在區(qū)間0,l上正弦展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)，即第40頁(yè)第40頁(yè)前面推導(dǎo)闡明了初邊值問(wèn)題()假如有解，那么它解能夠表示為(3.15)式級(jí)數(shù)形式，現(xiàn)在問(wèn)題是：什么條件下，初邊值問(wèn)題()解一定存在？定理3.1：若函數(shù)(x)在求解區(qū)域內(nèi)含有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(x)在求解區(qū)域內(nèi)含有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且則弦振動(dòng)方程初邊值問(wèn)題()解是存在，它能夠由級(jí)數(shù)(3.15)給出， Ak和Bk 由(3.16)式擬定。通常我們稱(chēng)(3.17)式為 相容性條件。假如(x)和(x)不滿足以上定理?xiàng)l件，我們能夠把(x)和(x)當(dāng)作函數(shù)列平均收斂極限，當(dāng)n很大時(shí)，由于方程和邊界條件都已滿足，初始條件也

21、近似得到了滿足，由此能夠把un(x,t)當(dāng)作問(wèn)題近似解。第41頁(yè)第41頁(yè)2. 解物理意義由級(jí)數(shù)(3.15)可知，初邊值問(wèn)題()解是疊加，上式又能夠?qū)懗晌锢砩希琋k稱(chēng)為波振幅，k稱(chēng)為波初相位，k稱(chēng)為圓頻率，它只與弦本身性質(zhì)相關(guān)，因此也稱(chēng)為固有頻率。于是(3.19)代表這樣振動(dòng)波：在所考慮弦上各點(diǎn)均以同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；它們相位相同，而振幅依賴(lài)于點(diǎn)x位置。弦上位于xml/k（m0，1，k）處點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中保持不動(dòng)，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。弦這種振動(dòng)狀態(tài)叫做 駐波。第42頁(yè)第42頁(yè) 由此可見(jiàn)，初邊值問(wèn)題()解是由一系列頻率成倍增加，且相位不同、振幅不同駐波疊加而成，因此分離變量法又稱(chēng)為駐波法。 弦所發(fā)出聲音，其音調(diào)由其振動(dòng)頻率決定，而聲音強(qiáng)度則決定于振動(dòng)振幅。弦所能發(fā)出最低音所對(duì)應(yīng)圓頻率