高考數(shù)學(xué)參數(shù)方程和普通方程的互化練習(xí)題

1、精品精品【參數(shù)方程和普通方程的互化】尸=嚴(yán)卜2亡終日例i求曲線!/ = 一”（七為參數(shù)）與曲線V = 251n日（日為參數(shù)）的交點(diǎn).p - 2cos6, ,二一”代入&室也日J(rèn) = 2cosd得： = 2 sm白兩式平方相加可得? = 2：.產(chǎn)三尬（戶=_2舍去）于是卜=-石即所求二曲線的交點(diǎn)是（、泛、魚）.說明：在求由參數(shù)方程所確定的兩曲線的交點(diǎn)時(shí).最好由參數(shù)方程組求解.如果化為普通方程求交點(diǎn)時(shí)要注意等價(jià)性.如該例若化為普通方程求解時(shí)要注意點(diǎn)（-逸尤）是增解.例2化直線的普通方程 V一技空口6-礴）為參數(shù)方程（其中傾斜角笈滿足總工0且解法一：因，二故.?： - 1J-Jo = -0L !_二

2、一一匚 尸一九_(tái) R - Q-:_ 工設(shè)sm h cosfz 。取為參數(shù).則得所求參數(shù)方程工=瓦coe ay = y0 tsin a解法二：如圖.維（加及）為直線上的定點(diǎn) 那（“）為直線上的動(dòng)點(diǎn).因 動(dòng)點(diǎn)M與籃取的數(shù)量L過四對(duì)應(yīng)（當(dāng)M在加0的向上方向或正右方時(shí)|抬|；當(dāng)M在熊的下方或正左方時(shí). 一囑1 ；當(dāng)M與4重合時(shí). = 0 ） 故取.為參數(shù).過點(diǎn)M作y軸的平行線.過點(diǎn) 口作K軸的平行線.兩直線相交于點(diǎn) Q （如圖）.則有崎Q ”-飛翻二vk =% 十 cos a= Ju+ sm儀為所求的參數(shù)方程。跖CE R 一說明：在解法二中.不必限定5g 口 H。.cosaHlj .即不必限定aHO.

3、2 .由此可知.無論口目0M）中任意值時(shí).所得方程都是經(jīng)過加 （“）.傾斜角為&的直線的參數(shù)方程.可 稱它是直線參數(shù)方程的“點(diǎn)角式”或“標(biāo)準(zhǔn)式”.要充分理解解法二所示的參數(shù) L 姓的幾何意義.這對(duì)解決某些問題較為方便.如果取y-y坦的一島為參數(shù).則得直線參數(shù)方程X = % +心駛廠Ml十工一般地.直線的參數(shù)方程的一般形式是G -坨十 口上jr。+如田+川川工為參數(shù)）但只有當(dāng)且僅當(dāng)401 .且上20時(shí).這個(gè)一般式才是標(biāo)準(zhǔn)式.參記才具有上述的幾何意義.F七0）例3求橢圓口b的參數(shù)方程.7/A += 1二 ,二=COS 6分析一：把良 “ 與亡然我：的!對(duì)比.不難發(fā)現(xiàn).可設(shè)口也可設(shè)二in 3 a解法

4、一：設(shè)（g為參數(shù)）.則a cos a cos 9因此.所得參數(shù)方程是(i),=$仙&或(i),=$仙&或（n） &加8由于曲線（n）上的點(diǎn)（025日一8m白）.就是曲線（I）上的點(diǎn)尸3.）所以曲線（n）上的點(diǎn)都是曲線（I）上的點(diǎn).K y r十 - 1顯然.橢圓H 占的參數(shù)方程是的幾何意義.分析二：借助于橢圓的輔助圓.可明確橢圓參數(shù)方程中的幾何意義.解法二：以原點(diǎn)O為圓心.途為半徑作圓.如圖.設(shè)以五軸正半軸為始邊.以動(dòng)半徑OA為終邊的變角為E.過點(diǎn)k 的變角為E.過點(diǎn)k - ON - 16MA作/兇_L X軸于cos 0 - acos3N.交橢圓于M.取日為參數(shù) 則點(diǎn)M （見T ）的橫坐標(biāo)（以下

5、同解法一）.由解法二知.參數(shù)日是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓半徑 OA的轉(zhuǎn)角.而不是OM的轉(zhuǎn)角.因而稱日為橢圓的 離角.（如果以O(shè)為圓心小為半徑作圓.過M作軀0V.交圓于B.由N二如161可知日也是 半徑OB的轉(zhuǎn)角）.日的參數(shù)形式。例4用圓上任一點(diǎn)的半徑與 x軸正方向的夾角 且為參數(shù).把圓= 0化為參數(shù)方 程。日的參數(shù)形式。分析：由圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可把圓上任意一點(diǎn)化為/ 2則:解：如圖所示.圓方程化為（工73 十寸=1.設(shè)圓與x軸正半軸交于 A.尸（見了）為圓上任 點(diǎn).過P作L*工x軸于B.OP與x軸正半軸所成角為 6/ 2則:a - Qf|c=包_y - |o尸卜in &又SAOP中口尸初夕 2

6、cos日.x = 2cosa,jJ = 2cossin 82 Ji.工=2cos 6網(wǎng)簿,日巨巨 ,.此圓的參數(shù)方程為 U = 2ch&沏夕2 2.例5設(shè)y . 451nd （日為參數(shù)）把普通方程工-趺=口化為以日為參數(shù)的參數(shù)方程。解：把V4$in6代入原方程.得爐-&J16細(xì)）”0 .8 i - 64sB * 6 A,A -工=44cos解得二卜- 4（1 cos S）,.參數(shù)方程為U = 4所？（日為參數(shù)）（x -4（1+ cos（x -4（1- cos3）,.卜=4曲9.與y=4ssi.表示的是同一曲線.所以它們是等價(jià)的.可以省略一個(gè)。 4（1 十 cos 日），:所求參數(shù)方程y=4即旦

7、例6化雙曲線工 =1為參數(shù)方程。解：設(shè)K = 2代入為得,.cecH（荒 sin 8E為參數(shù)注點(diǎn)）這是同學(xué)中較為常見的解法 .這種解法是錯(cuò)誤的.那么錯(cuò)在哪里呢？請(qǐng)你找出來。錯(cuò)誤在于.雙曲線 1上x的取值范圍是不等于零的一切實(shí)數(shù).錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程中x的取值范圍僅僅 -1&X 4 1 .故錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程只表示雙曲線= 1上一部分.不符合普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性要求.普通方程化為參數(shù)方程時(shí)關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).注意使所得參數(shù)方程與原普通方程中變量X、y的允許值范圍要保持一致。下面給出正確解法：設(shè)L但華代入97得VC。. 1的參數(shù)方程為：例7化參數(shù)方程X （1）1十1 ty r（上、1十工

8、分析一：用代入消元法K =解法一：二1十/y = l=iX _J_1+Myy日為參數(shù).2）（上為參數(shù)）為普通方程。.從已知方程中解出參數(shù)看.代入后消去參數(shù)J 0上，目芫將它代入（1）.并化簡(jiǎn)得分析二：用整體消參法。注意表達(dá)式的分母相向解法二：。）、口得一-/ .（工）（工尸_L1 + ?（1 + /,1+/1汗 =又; 1 +X 0于是得所求普通方程為-11 1即，.一s ”t仆瓦，尸+產(chǎn)功=“2分析三：因?yàn)槭?.所以1十工。從/變換.然后利用三角公式再消參。.而分子的平方和恰為原來相同的分母。*表達(dá)式可聯(lián)想萬能公式。于是可用三角解法三:可令22 keZ1-?又7T?又1上2x-1 = -A

9、= c.?s 9 1十戶X2y =T = sin &于是得I、(4尸得f(29=1 2加十里5一1十 2加十里5一1十.普通方程是一4（/0）說明：解法一是用代入法消參.解法二是整體消參法.解法三是運(yùn)用萬能公式.三角變換消參三種解法中都應(yīng)注意 黑的限制條件.使參數(shù)方程化為普通方程時(shí)保持等價(jià)性。例8將下列參數(shù)方程（其中3 .為參數(shù)）化為普通方程。t十t十1 x =E十2%y -工十2(3)耳=十e-1) Z夜 T)x - sin -1J解：（1）y = xs% = 1 -2sin & = 1-才（1建士1）為所求。y = I 由十2.得2-尸（*2）I +1了 = 將它代入七十2 .并化簡(jiǎn)得4工

10、-小-2。酬=2）X 1 - H ，, （1） TOC o 1-5 h z +2 + 2 +222位+2）4 _4y = 2 射 2*（2j另解：. I上+2 上十2十24 - （1） - Q）并整理得4工-y-2。（.1）X = （ + gT ” 3 2 J成整=1,二二，一/ =心十二）f - *-日初=1且-J所求普通方程為 ：-J1 .說明：（1）小題是用三角公式變形后用代入法消參.（2）是用代入（消元）法消參變形后整體消參.（3）小題是通過代數(shù)變換法消參。但都應(yīng)特別注意等價(jià)性。A -d + / COS a,=須& （a.b為常數(shù)）（1）當(dāng)t為常數(shù)日為參數(shù)時(shí).方程表示何種曲線；（2）當(dāng)

11、t為參數(shù) 日為常數(shù)時(shí).方程表示何種曲線解：（1）當(dāng)t為常數(shù).原方程可變形為這是以(ab)為圓心.口為半徑的圓。(2)當(dāng)&為常數(shù)時(shí).由第一式得cos由第一式得cos8代入第二式得3 了一田,Ky =d Ein 6ccs 6即一：-這是過點(diǎn)(ab).這是過點(diǎn)(ab).斜率為的一條直線.曲線的類小結(jié)：同一參數(shù)方程.由于參數(shù)不同.所表示的曲線也不同消去參數(shù)化為普通方程后 型也就顯現(xiàn)出來。.曲線的類B兩點(diǎn)線段例io已知直線,過點(diǎn)p(2.0).斜率為3 o直線和拋物線y = 2工相交于a、 AB的中點(diǎn)為MoB兩點(diǎn)線段(1)線段PM的長(zhǎng)戶M;(2) M點(diǎn)的坐標(biāo);(3)線段AB的長(zhǎng)解：如圖。(1)由直線工過點(diǎn)

12、(1)由直線工過點(diǎn)P (2.0).斜率為設(shè)其傾斜角為.則有4sm ce =5可得直線1的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為:2 + -Z54一 （其中t為參數(shù)）設(shè)直線，上兩點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)參數(shù)1消去工不可得：出=一曳-50 =015-25備十邑一R=有 一1 由M為AB的中點(diǎn).1516(2)設(shè)M點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為 2 .則有_4乜 J56 - - “2161- M點(diǎn)坐標(biāo)為:一 3J5 . 41X - 2 + - X ,5 16 164 15 3V = 一三,5 16 A41 3 .M點(diǎn)坐標(biāo)為(I6 .4)-25丁-25丁】十馬不hG 分別代入1-.點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)片的幾何含義.在解決諸如直線I上的兩點(diǎn)

13、距離、某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí).顯得很方便和簡(jiǎn)捷。例ii已知橢圓4上的一個(gè)點(diǎn)p（3）.求/=匯+ 丫的最值2 解：設(shè)橢圓 的參數(shù)方程為：- 2亡。公日為參數(shù)“的最大值是寸17最小值是一品7 o點(diǎn)撥：這個(gè)題雖然很簡(jiǎn)單 .但它說明了一個(gè)道理：曲線的參數(shù)方程不僅表示了曲線.同時(shí)也表示了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)曲線的參數(shù)方程表示曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí).實(shí)際上起到了消元的作用.即用一個(gè)參數(shù)表示了 汽、丁 .因此在求某些幾何量的最值時(shí) .參數(shù)方程可以起到一元化即消元的作 用.（犬-4cos &y - 2siii B（8為參數(shù)）的弦ab.若M為ab的三等分點(diǎn).求 AB直線方程。，萬2十二。0曰 cos

14、&解：設(shè)AB的方程為1nH （t為參數(shù)）.將x.y代入曲線I二如由日（歸為參數(shù)）整理、化簡(jiǎn)得 I一1-cos2 +4 singcos2 a 十 4sin2 g丁點(diǎn)M在AB的內(nèi)部 .-25.工乜 . EdJ =(22)6=-2片=2招中隊(duì)了將、代入上式有1效力 +】6磔+ 3 = 。tg8 4 士，解得.小結(jié)：本題是首先設(shè)出過定點(diǎn)的參數(shù)方程.然后和橢圓方程聯(lián)立.再利用韋達(dá)定理及直線參數(shù)方程中t的意義.求得斜率.用點(diǎn)斜式寫出直線方程。例13圓。內(nèi)一定點(diǎn)A.過A任作兩互相垂直的弦.求證這兩弦長(zhǎng)的平方和為定值。證明：以圓心 O為原點(diǎn)OA所在的直線為 x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)圓的方程1=戶.過定點(diǎn)出工口而

15、互相垂直的兩弦PQ、RS的方程分別為分別代入圓方程.得* +2和3十君-一.其二根為h、右口 .其二根為七、.故有=&乜尸-亳向e&zJt我=4A/ cos2 g -4（% - J）十 4k： sin5 8 4（工一產(chǎn)）= 4（2戶-J）.兩弦平方和為定值1 :： 小結(jié)：涉及圓的弦長(zhǎng)問題.可利用直線參數(shù)方程來解。例14已知F退是拋物線N = 4皿 。）的一動(dòng)弦.O為原點(diǎn)。當(dāng)上耳口白恒為直角時(shí) 如圖求弦斗弓的中點(diǎn)P的軌跡方程。分析點(diǎn)P是鳥的中點(diǎn).點(diǎn)P的坐標(biāo) 三丁與巴瑪 的坐標(biāo)演.馮.馬、當(dāng)相關(guān).如果選取士.乃.七、丹作為參數(shù).則要列出 兀A.F.當(dāng).F、為有關(guān)的五個(gè)方程.最后消去參數(shù) 巧當(dāng)巧、就可以得到P點(diǎn)的軌跡方程。解設(shè)p （工尸）.6（丐.乃）.片（F乃） p是片舄的中點(diǎn)心共口網(wǎng)十%2VMM十為5.舄在拋物六g上.4 =4啊1 =4%又.匚K芻恒為直角.即。百1 o旦A/3 - -1 .3由X：二：,jJVa = 16 笳= , ,由，+，.十二3i -少溫=44國(guó)+工j把、式代入得：IJ 一 一： ；：.一2p點(diǎn)的軌跡方程是y =(工-4M說明此題的解法是利用參數(shù)求點(diǎn)