建筑力學(xué)組合變形

1、建筑力學(xué)組合變形第1頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三11.1 組合變形的概念在實(shí)際工程中，構(gòu)件的受力情況是復(fù)雜的，構(gòu)件受力后的變形往往不僅是某一種單一的基本變形，而是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的復(fù)雜變形，稱為組合變形。例如，圖11.1(a)所示的屋架檁條；圖11.1(b)所示的空心墩；圖11.1(c)所示的廠房支柱，也將產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。 11.1.1 組合變形的概念第2頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.1 第3頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三解決組合變形強(qiáng)度問(wèn)題，分析和計(jì)算的基本步驟是：首先將構(gòu)件的

2、組合變形分解為基本變形；然后計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形情況下的應(yīng)力；最后將同一點(diǎn)的應(yīng)力疊加起來(lái)，便可得到構(gòu)件在組合變形情況下的應(yīng)力。試驗(yàn)證明，只要構(gòu)件的變形很小，且材料服從虎克定律，由上述方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情況基本上是符合的。11.1.2 組合變形的解題方法第4頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三11.2 斜彎曲對(duì)于橫截面具有對(duì)稱軸的梁，當(dāng)橫向力作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁變形后的軸線仍位于外力所在的平面內(nèi)，這種變形稱為平面彎曲。如果外力的作用平面雖然通過(guò)梁軸線，但是不與梁的縱向?qū)ΨQ面重合時(shí)，梁變形后的軸線就不再位于外力所在的平面內(nèi)，這種彎曲稱為斜彎曲。 第5頁(yè)，共46頁(yè)，

3、2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三如圖11.2(a)所示的矩形截面懸臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用線通過(guò)截面形心，并與豎向形心主軸y的夾角為。將力P沿截面兩個(gè)形心主軸y、z方向分解為兩個(gè)分力，得Py=PcosPz=Psin分力Py和Pz將分別使梁在xOy和xOz兩個(gè)主平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。11.2.1 外力的分解第6頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.2 第7頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三在距自由端為x的橫截面上，兩個(gè)分力Py和Pz所引起的彎矩值分別為Mz=Pyx=Pcosx=McosMy=Pzx=Psinx=Msin該截面上

4、任一點(diǎn)K(y，z)，由Mz和My所引起的正應(yīng)力分別為= Mzy/Iz =y Mcos/Iz = Myz/Iy =z Msin/Iy 11.2.2 內(nèi)力和應(yīng)力的計(jì)算第8頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三根據(jù)疊加原理，K點(diǎn)的正應(yīng)力為=+ = Mzy/Iz + Myz/Iy =M(ycos/Iz +zsin/Iy) 式中Iz和Iy分別是橫截面對(duì)形心主軸z和y的慣性矩。正應(yīng)力和的正負(fù)號(hào)，可通過(guò)平面彎曲的變形情況直接判斷，如圖11.2(b)所示，拉應(yīng)力取正號(hào)，壓應(yīng)力取負(fù)號(hào)。 第9頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.2 第10頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月

5、20日，8點(diǎn)26分，星期三因?yàn)橹行暂S上各點(diǎn)的正應(yīng)力都等于零，設(shè)在中性軸上任一點(diǎn)處的坐標(biāo)為y0和z0，將=0代入式(12.1)，有 =M(y0cos/Iz +z0 sin/Iy)=0則 y0 cos/Iz +z0sin/Iy =0上式稱為斜彎曲時(shí)中性軸方程式。 11.2.3 中性軸的位置第11頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三從中可得到中性軸有如下特點(diǎn)：(1) 中性軸是一條通過(guò)形心的斜直線。(2) 力P穿過(guò)一、三象限時(shí)，中性軸穿過(guò)二、四象限。反之位置互換。(3) 中性軸與z軸的夾角(圖11.2(c)的正切為tan=y0/z0= Iz/Iytan從上式可知，中性軸的位置與外力

6、的數(shù)值有關(guān)，只決定于荷載P與y軸的夾角及截面的形狀和尺寸。 第12頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.2 第13頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，首先要確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。危險(xiǎn)點(diǎn)在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處，對(duì)于工程上常用具有棱角的截面，危險(xiǎn)點(diǎn)一定在棱角上。圖11.2(a)所示的懸臂梁，固定端截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截面，該截面上的B、C兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，B點(diǎn)產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，C點(diǎn)產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。若材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相等，則斜彎曲的強(qiáng)度條件為max= Mzmax/Wz + Mymax/Wy 11.2.4 強(qiáng)度條件第14頁(yè)，共

7、46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三對(duì)于不同的截面形狀， Wz/Wy 的比值可按下述范圍選?。壕匦谓孛妫?Wz/Wy = h/b=1.22；工字形截面：Wz/Wy =810；槽形截面： Wz/Wy =68。 第15頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三【例11.1】跨度l=4m的吊車梁，用32a號(hào)工字鋼制成，材料為A3鋼，許用應(yīng)力=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用線與橫截面鉛垂對(duì)稱軸的夾角=15，如圖11.3所示。試校核吊車梁的強(qiáng)度?！窘狻?1) 荷載分解將荷載P沿梁橫截面的y、z軸分解 Py=Pcos=30cos15kN=29kN Pz=P

8、sin=30sin15kN=7.76kN(2) 內(nèi)力計(jì)算吊車荷載P位于梁的跨中時(shí)，吊車梁處于最不利的受力狀態(tài)，跨中截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截面。 第16頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.3 第17頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三該截面上由Py在xOy平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為Mzmax= Pyl/4 = 294/4kNm=29kNm該截面上由Pz在xOz平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為Mymax= Pzl/4 = 7.764/4 kNm=7.76kNm(3) 強(qiáng)度校核由型鋼表查得32a號(hào)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wy和Wz分別為 Wy=70.8cm3=70.8

9、103mm3 Wz=692.2cm3=692.2103mm3第18頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三【例11.2】圖11.4所示矩形截面木檁條，兩端簡(jiǎn)支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面?zhèn)鱽?lái)的豎向均布荷載q=2kN/m。屋面的傾角=20，材料的許用應(yīng)力=10MPa。試選擇該檁條的截面尺寸。【解】(1) 荷載分解荷載q與y軸間的夾角=20，將均布荷載q沿截面對(duì)稱軸y、z分解，得 qy=qcos=2cos20kN/m=1.88kN/m qz=qsin=2sin20kN/m=0.68kN/m第19頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.4 第20頁(yè)，共4

10、6頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三(2) 內(nèi)力計(jì)算檁條在qy和qz單獨(dú)作用下，最大彎矩均發(fā)生在跨中截面，其值分別為Mzmax= qyl2/8 = 1.8842/8kNm=3.76kNmMymax= qzl2/8 = 0.6842/8kNm=1.36kNm(3) 選擇截面尺寸根據(jù)式(12.4)，檁條的強(qiáng)度條件為 Mzmax/Wz + Mymax/Wy 上式中包含有Wz和Wy兩個(gè)未知數(shù)。現(xiàn)設(shè) Wz/Wy = h/b=1.5，代入上式，得 3.76106/1.5Wy + 1.36106/Wy 10第21頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三 Wy387103mm3由

11、Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 387103解得 b115.68mm為便于施工，取截面尺寸b=120mm，則h=1.5b=1.5120mm=180mm選用120mm180mm的矩形截面。第22頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三11.3 偏心壓縮（拉伸）圖11.5(a)所示的柱子，荷載P的作用線與柱的軸線不重合，稱為偏心力，其作用線與柱軸線間的距離e稱為偏心距。偏心力P通過(guò)截面一根形心主軸時(shí)，稱為單向偏心受壓。(1) 荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算將偏心力P向截面形心平移，得到一個(gè)通過(guò)柱軸線的軸向壓力P和一個(gè)力偶矩m=Pe的力偶，如圖11.5(b)所示。橫截面m-n上的內(nèi)力為軸

12、力N和彎矩Mz，其值為 N=P Mz=Pe11.3.1 單向偏心壓縮（拉伸）第23頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.5 第24頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三(2) 應(yīng)力計(jì)算對(duì)于該橫截面上任一點(diǎn)K(圖11.6)，由軸力N所引起的正應(yīng)力為=- N/A 由彎矩Mz所引起的正應(yīng)力為=- Mzy/Iz 根據(jù)疊加原理，K點(diǎn)的總應(yīng)力為=+=- N/A - Mzy/Iz第25頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.6 第26頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三(3) 強(qiáng)度條件從圖11.6(a)中可知：最大壓應(yīng)力

13、發(fā)生在截面與偏心力P較近的邊線n-n線上；最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面與偏心力P較遠(yuǎn)的邊線m-m線上。其值分別為min=ymax=- P/A - Mz/Wz max=lmax=- P/A + Mz/Wz 截面上各點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以單向偏心壓縮的強(qiáng)度條件為min=ymax=- P/A - Mz/Wzymax=lmax=- P/A + Mz/Wz l第27頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三(4) 討論下面來(lái)討論當(dāng)偏心受壓柱是矩形截面時(shí)，截面邊緣線上的最大正應(yīng)力和偏心距e之間的關(guān)系。圖12.6(a)所示的偏心受壓柱，截面尺寸為bh，A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe，將

14、各值代入得max=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h)邊緣m-m上的正應(yīng)力max的正負(fù)號(hào)，由上式中(1- 6e/h )的符號(hào)決定，可出現(xiàn)三種情況：第28頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三 當(dāng) 6e/h 1，即e1，即e h/6 時(shí)，max為拉應(yīng)力。截面部分受拉，部分受壓，應(yīng)力分布如圖11.7(c)所示。第29頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.7 第30頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三【例11.3】圖11.8所示矩形截面柱，屋架傳來(lái)的壓力P1=100kN，吊車梁傳來(lái)的壓力P2=50kN，P2

15、的偏心距e=0.2m。已知截面寬b=200mm，試求：(1) 若h=300mm，則柱截面中的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力各為多少?(2) 欲使柱截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，截面高度h應(yīng)為多少?在確定的h尺寸下，柱截面中的最大壓應(yīng)力為多少?【解】(1) 內(nèi)力計(jì)算將荷載向截面形心簡(jiǎn)化，柱的軸向壓力為N=P1+P2=(100+50)kN=150kN第31頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.8 第32頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三截面的彎矩為Mz=P2e=500.2kNm=10kNm(2) 計(jì)算lmax和ymax由式(12.6)，得 lmax=- P/A + Mz

16、/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa ymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa(3) 確定h和計(jì)算ymax欲使截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，應(yīng)滿足lmax0，即 - P/A + Mz/Wz 0第33頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三 - 150103/200h + 10106/ 200h2/6 0則 h400mm取 h=400mm當(dāng)h=400mm時(shí)，截面的最大壓應(yīng)力為ymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa對(duì)于工程中常見(jiàn)的另一類構(gòu)件，除受軸向荷載外，還有橫向荷載的作用，

17、構(gòu)件產(chǎn)生彎曲與壓縮的組合變形。 第34頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三【例11.4】圖11.9(a)所示的懸臂式起重架，在橫梁的中點(diǎn)D作用集中力P=15.5kN，橫梁材料的許用應(yīng)力=170MPa。試按強(qiáng)度條件選擇橫梁工字鋼的型號(hào)(自重不考慮)?！窘狻?1) 計(jì)算橫梁的外力橫梁的受力圖如圖11.9(b)所示。為了計(jì)算方便，將拉桿BC的作用力NBC分解為Nx和Ny兩個(gè)分力。由平衡方程解得 Ry=Ny= P/2 =7.75kN Rx=Nx=Nycot=7.75 3.4/1.5 kN=17.57kN第35頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.9第36頁(yè)

18、，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三(2) 計(jì)算橫梁的內(nèi)力橫梁在Ry、P和Ny的作用下產(chǎn)生平面彎曲，橫梁中點(diǎn)截面D的彎矩最大，其值為Mmax= Pl/4 = 15.53.4/4 kNm=13.18kNm橫梁在Rx和Nx作用下產(chǎn)生軸向壓縮，各截面的軸力都相等，其值為N=Rx=17.57kN(3) 選擇工字鋼型號(hào)由式(12.7)，有ymax=- N/A - Mmax/Wz第37頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三由于式中A和Wz都是未知的，無(wú)法求解。因此，可先不考慮軸力N的影響，僅按彎曲強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào)，再按照彎壓組合變形強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。由 max

19、= Mmax/Wz 得Wz Mmax/ = 77.5103mm3=77.5cm3查型鋼表，選擇14號(hào)工字鋼，Wz=102cm3，A=21.5cm2。根據(jù)式(12.7)校核，有ymax =- N/A - Mmax/Wz=137MPa結(jié)果表明，強(qiáng)度足夠，橫梁選用14號(hào)工字鋼。若強(qiáng)度不夠，則還需重新選擇。第38頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三當(dāng)偏心壓力P的作用線與柱軸線平行，但不通過(guò)橫截面任一形心主軸時(shí)，稱為雙向偏心壓縮。如圖11.10(a)所示，偏心壓力P至z軸的偏心距為ey，至y軸的偏心距為ez。11.3.2 雙向偏心壓縮（拉伸）第39頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三圖11.10第40頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三 (1) 荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算將壓力P向截面的形心O簡(jiǎn)化，得到一個(gè)軸向壓力P和兩個(gè)附加力偶矩mz、my(圖11.10(b)，其中mz=Pey，my=Pez可見(jiàn)，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個(gè)相互垂直的平面彎曲的組合。由截面法可求得任一截面ABCD上的內(nèi)力為N=P，Mz=Pey，My=Pez第41頁(yè)，共46頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)26分，星期三 (2) 應(yīng)力計(jì)算對(duì)于該截面上任一點(diǎn)K(圖11.10(c)，由軸力N所引起